Teorema del sen

Teorema del sen.

En trigonometria plana, la teorema del sen o teorema dels sens,^[1] és una proporció entre les llongituts dels costats d'un triàngul i els sens dels seus corresponents ànguls oposts.

Usualment es presenta de la següent forma:

Història

Segons Ubiratàn D'Ambrosio i Helaine Selin, la llei esfèrica dels sens va ser descoberta en el X. Ha segut indistintament atribuït a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi i Abu Nasr Mansur.^[2]

El llibre d'Ibn Muʿādh al-Jayyānī de el XI, El llibre dels arcs desconeguts d'una esfera va introduir la llei general dels sens.^[3] La llei plana dels sens va ser descrita més vesprada en el XIII per Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En el seu Sobre la figura del sector, va declarar la llei dels sens per a triànguls plans i esfèrics, i va proporcionar les proves d'esta llei.^[4]

Segons Glen Van Brummelen, «La llei dels sens està en realitat basada en Johann Regiomontanus, en les seues solucions de triànguls rectànguls en el Llibre IV, i estes solucions varen ser a la seua volta les bases de les seues solucions dels triànguls generals.»^[5] Regiomontanus va ser un matemàtic alemà de el XV.

Demostració

A pesar de ser dels teoremas trigonométricos més usats i de tindre una demostració particularment simple, és poc comú que es present o discutixca la mateixa en cursos de trigonometria, de modo que és poc coneguda.

Archiu:Ley de los senos-prueba.svg

La teorema dels sens establix que a/sen(A) és constant.

Donat el triàngul ABC, denotem per O el seu circumcentre i dibuixem el seu circumferència circumscrita. Prolongant el segment BO fins a tallar la circumferència, s'obté un diàmetro BP.

Ara, el triàngul PCB és recte, ya que BP és un diàmetro, i ademés els ànguls A i P són congruents, perque abdós són ànguls inscrits que òbrin el segment BC (Vore definició d'arc capaç). Per definició de la funció trigonométrica sen, es té

$sen A = sen P = \frac{B C}{B P} = \frac{a}{2 R}$

a on R és el radi de la circumferència. Rebujant 2R obtenim:

$\frac{a}{sen A} = 2 R$

Repetint el procediment en un diàmetro que passe per A i un atre que passe per C, s'aplega a que les tres fraccions tenen el mateix valor 2R i per tant són iguals.

La conclusió que s'obté sol cridar-se teorema dels sens generalisat i establix:

Pot enunciar-se la teorema d'una forma alternativa:

En un triàngul la raó, entre cada costat i el sen del seu àngul opost, és constant i igual al diàmetro de la circumferència circumscrita.

Aplicació

La teorema dels sens és utilisat per a resoldre problemes en els que es coneixen dos ànguls del triàngul i qualsevol dels tres costats. També s'usa quan coneixem dos costats del triàngul i un àngul opost a un d'ells.

Pot ser amprat la llei dels sens, en reajustaments circunstanciales, en:

Càlcul de l'altura d'un arbre
Trobar l'àngul d'elevació del sol
Pla per a construcció de ponts
Estudie i dibuix de carrils d'una autopista
Itinerari d'un planege
Ubicació d'un foc d'incendi
Situació d'un transmissor de radi clandestí

Resolució de problemes vectorials

L'altitut d'una montanya i atres casos.^[6] Un agricultor desija instalar un sistema de rec entre tres punts d'un terreny que formen un triàngul. Es coneix que el costat AB medix 80 m, l'àngul A = 45° i l'àngul B = 60°. ¿Quin és la distància AC?

Senyes: AB = 80 m ∠A = 45° ∠B = 60° ∠C = 180° − 45° − 60° = 75° Aplicació de la teorema del sen: AC=sense75∘80×sense60∘sense60∘ AC=sense75∘80 AC=0.96680×0.866≈71.7 m

Relació en l'àrea del triàngul

Archiu:Formulas para área de un triángulo.svg

Dos fòrmules per a calcular l'àrea d'un triàngul

Per a un triàngul ABC, l'àrea es calcula com ah/2 a on h és la mida de l'altura sobre la base a. Novament, per definició de sen, es té sen C = h/b o lo que és lo mateix h = b sen C, de modo que es complix:

A r e a = \frac{a h}{2} = \frac{a b sen C}{2}

.

No obstant, la teorema dels sens implica que c = 2R sen C, per lo que en substituir en l'expressió anterior s'obté una nova teorema:

$A r e a = \frac{a h}{2} = \frac{a b sen C}{2} = \frac{a b c}{4 R}$ .

Referències

↑ Pogorélov. Geometria elemental. Editorial Mir, Moscou(1977)
↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in (2000).«Mathematics Across Cultures: The History of Senar-western Mathematics».Springer.
↑ Plantilla:Obra citada/núcleo.
↑ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam», The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, Índia, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
↑ "The Law of Sines is really Regiomontanus's foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and these solutions llaure in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8
↑ Larson. Op. cit

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema del seno» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Pogorélov. Geometria elemental. Editorial Mir, Moscou(1977)

[Sesiano-2] Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000) "Islamic mathematics" pp. 137–157, in (2000).«Mathematics Across Cultures: The History of Senar-western Mathematics».Springer.

[MacTutor_Al-Jayyani-3] Plantilla:Obra citada/núcleo.

[4] Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam», The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, Índia, and Islam: A Sourcebook, Princeton University Press, p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.

[5] "The Law of Sines is really Regiomontanus's foundation for his solutions of right-angled triangles in Book IV, and these solutions llaure in turn the bases for his solutions of general triangles." Glen Van Brummelen (2009). "The mathematics of the heavens and the earth: the early history of trigonometry". Princeton University Press. p.259. ISBN 0-691-12973-8

[6] Larson. Op. cit

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]