Teorema de Bell

Teorema de Bell

La teorema de Bell (també conegut com de Bell-Kochen-Specker) o desigualtats de Bell s'aplica en mecànica quàntica per a quantificar matemàticament les implicacions plantejades teòricament en la paradoxa d'Einstein-Podolsky-Rosen i permetre aixina la seua demostració experimental. Deu el seu nom al científic norirlandés John S. Bell, que la va presentar en 1964.

La teorema de Bell és un metateorema que mostra que les prediccions de la mecànica quàntica (MC) no són intuïtives, i afecta a temes filosòfics fonamentals de la física moderna. És el llegat més famós del físic John S. Bell. La teorema de Bell és un teorema d'impossibilitat, que afirma que:

Donades les seues implicacions en el pla de la no localitat, va supondre la consagració definitiva de la física quàntica front a atres teories de variables amagades i és considerat per la majoria de físics del món com el descobriment més profunt de la història de la ciència. [1]

Introducció

Ilustració del test de Bell per a partícules d'espin 1/2. La font produïx un parell d'espin singlete, una partícula s'envia a Alicia i una atra a Bob. Cada una medix un dels dos espin possibles.

Com en l'experiment expost en la paradoxa EPR, Bell va considerar un experiment a on una font produïx parells de partícules entrellaçades. Per eixemple, quan un parell de partícules en espin entrellaçats és creat; una partícula s'envia a Alicia i l'atra a Bob. En cada intent, cada observador independentment elegix entre varis ajusts del detector i realisa una medida sobre la partícula (Nota: encara que la propietat entrellaçada utilisada ací és l'espin de la partícula, podria haver segut qualsevol "estat quàntic" entrellaçat que codifique exactament un bit quàntic.)

Quan Alicia i Bob medixen l'espin de la partícula a lo llarc del mateix eix (pero en sentits oposts), obtenen resultats idèntics el 100% de les voltes.

Pero quan Bob medix en ànguls ortogonals (perpendiculars) a les mides d'Alicia, obtenen resultats idèntics únicament el 50% de les voltes.

En térmens matemàtics, les dos mides tenen una correlació de 1, o correlació perfecta quan es medixen de la mateixa forma; pero quan es medixen en ànguls perpendiculars, tenen una correlació de 0; és dir, cap correlació. (Una correlació de −1 indicaria tindre resultats oposts en cada mida.)

Mateix eix:	parell 1	parell 2	parell 3	parell 4	...n
Alicia, 0°:	+	−	−	+	...
Bob, 180°:	+	−	−	+	...
Correlació: (	+1	+1	+1	+1	...)/n = +1
					(100% idèntica)
Eixos ortogonals:	parell 1	parell 2	parell 3	parell 4	...n
Alicia, 0°:	+	−	+	−	...
Bob, 90°:	−	−	+	+	...
Correlació: (	−1	+1	+1	−1	...)/n = 0.0
					(50% idèntica)

De fet, els resultats poden explicar-se afegint variables amagades locals - cada parell de partícules podria haver-se enviat en instruccions sobre cóm comportar-se segons li les medixca en els dos eixos (si '+' o '−' per a cada eix).

Clarament, si la font únicament envia partícules les instruccions de les quals siguen idèntiques per a cada eix, llavors quan Alicia i Bob medixquen sobre el mateix eix, obtindran sempre resultats idèntics, o ben (+,+) o (−,−). Pero (si es generen per igual tots les possibles combinacions de + i −) quan ells medixquen sobre eixos perpendiculars voran correlació zero.

Ara, considere que Alicia o Bob poden rotar els seus aparats de forma relativa entre ells un àngul qualsevol i en qualsevol moment abans de medir les partícules, inclús despuix de que les partícules abandonen la font. Si les variables amagades locals determinen el resultat de les mides, llavors les partícules deurien codificar en el moment d'abandonar la font els resultats de mida per a qualsevol possible direcció de mida, i no solament els resultats per a un eix particular.

Bob comença este experiment en el seu aparat rotado 45 graus. Cridem als eixos d'Alicia $a$ i $a^{\prime }$, i als eixos rotados de Bob $b$ i $b^{\prime }$. Llavors, Alice i Bob graven les direccions en que ells medixen les partícules, i els resultats que obtenen. Al final, comparen els seus resultats, puntuant +1 per cada volta que obtenen el mateix resultat i −1 si obtenen un resultat opost - llevat que si Alicia va medir en $a$ i Bob va medir en $b^{\prime }$, puntuaran +1 per un resultat opost i −1 per al mateix resultat.

Utilisant este sistema de puntuació, qualsevol possible combinació de variables amagades produiria una puntuació mija esperada de, com a màxim, +0.5 (per eixemple, mirant la taula inferior, a on els valors més correlacionados de les variables amagades tenen una correlació mija de +0.5, i.i. idèntiques al 75%. El "sistema de puntuació" inusual assegura que la màxima correlació mija esperada és +0.5 per a qualsevol possible sistema que estiga basat en variables locals).

Model clàssic:	variables altament correlacionadas								variables menys correlacionadas
Variable amagada per a 0° (a):	+	+	+	+	−	−	−	−	+	+	+	+	−	−	−	−
Variable amagada per a 45° (b):	+	+	+	−	−	−	−	+	+	−	−	−	+	+	+	−
Variable amagada per a 90° (a'):	+	+	−	−	−	−	+	+	−	+	+	−	+	−	−	+
Variable amagada per a 135° (b'):	+	−	−	−	−	+	+	+	+	+	−	+	−	+	−	−
Puntuació de correlació:
Si es medix sobre a-b, puntuació:	+1	+1	+1	−1	+1	+1	+1	-1	+1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	+1
Si es medix sobre a' − b, puntuació:	+1	+1	−1	+1	+1	+1	−1	+1	−1	−1	−1	+1	+1	−1	−1	−1
Si es medix sobre a'-b', puntuació:	+1	−1	+1	+1	+1	−1	+1	+1	-1	+1	−1	−1	−1	−1	+1	−1
Si es medix sobre a − b', puntuació:	−1	+1	+1	+1	−1	+1	+1	+1	−1	−1	+1	−1	−1	+1	−1	−1
Puntuació esperada promig:	+0.5	+0.5	+0.5	+0.5	+0.5	+0.5	+0.5	+0.5	−0.5	−0.5	−0.5	−0.5	−0.5	−0.5	−0.5	−0.5

La teorema de Bell mostra que si les partícules es comporten com prediu la mecànica quàntica, Alicia i Bob poden puntuar més alt que la predicció clàssica de variables amagades de correlació +0.5; si els aparats es rotan 45° entre sí, la mecànica quàntica prediu que la puntuació esperada promig serà 0.71.

(Predicció quàntica en detalle: quan les observacions en un àngul de $\theta$ es realisen sobre dos partícules entrellaçades, la correlació predita és $\cos \theta$. La correlació és igual a la llongitut de la proyecció del vector de la partícula sobre el seu vector de mida; per trigonometria, $\cos \theta$. $\theta$ és 45°, i $\cos \theta$ és $\frac{\sqrt{2}}{2}$, per a tots els parells d'eixos llevat $(a,b^{\prime })$ – a on són 135° i $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ –, pero este últim es pren negatiu en el sistema de puntuació acordat, per lo que la puntuació total és $\frac{\sqrt{2}}{2}$=0.707. En atres paraules, les partícules es comporten com si quan Alicia o Bob fan una mida, l'atra partícula decidira commutar per a prendre eixa direcció instantàneament).

Varis investigadors han realisat experiments equivalents utilisant diferents métodos. Sembla que molts d'estos experiments produïxen resultats que estan d'acort en les prediccions de la mecànica quàntica [2], i tendixen a refutar les teories de variables amagades locals i la demostració de la no localitat. Encara existixen científics que no estan d'acort en estes troballes [3]. Es varen trobar dos escapatorias en el primer d'estos experiments: la de detecció i la de comunicació, en els experiments associats per a tancar estes escapatorias. Despuix de tota l'experimentació actual sembla que estos experiments donen prima facie soport per a les prediccions de la mecànica quàntica de no localitat [4].

Importància de la teorema

Este teorema s'ha denominat "el més profunt de la ciència." L'influent artícul de Bell de 1964 es va titular "Sobre la paradoxa d'Einstein Podolsky Rosen." La paradoxa Einstein Podolsky Rosen (paradoxa EPR) demostra, sobre la base de l'assunció de "localitat" (els efectes físics tenen una velocitat de propagació finita) i de "realitat" (els estats físics existixen abans de ser medits), que els atributs de les partícules tenen valors definits independentment de l'acte d'observació. Bell va mostrar que el realisme local conduïx a un requisit per a certs tipos de fenomens que no està present en la mecànica quàntica. Este requisit és denominat desigualtat de Bell.

Despuix de EPR (Einstein–Podolsky–Rosen), la mecànica quàntica va quedar en una posició insatisfactòria:

• o estava incompleta, en el sentit de que fallava en tindre en conte alguns elements de la realitat física,
• o violava el principi de propagació finita dels efectes físics.

En una modificació del experiment mental EPR, dos observadors, ara comunament cridats Alicia i Bob, realisen mides independents de l'espin sobre un parell d'electrons, preparats en una font en un estat especial cridat un estat d'espin singlete. Era equivalent a la conclusió de EPR de que una volta Alicia medira l'espin en una direcció ( i.i. sobre l'eix x), la mida de Bob en eixa direcció estaria determinada en total certea, en resultat opost al d'Alicia, mentres que immediatament abans de la mida d'Alicia, el resultat de Bob estava solament determinat estadísticament. Per tant, o l'espin en cada direcció és un element de realitat física, o els efectes viagen des d'Alicia a Bob de forma instantànea.

En mecànica quàntica (MC), les prediccions es formulen en térmens de provabilitatés — per eixemple, la provabilitat de que un electró siga detectat en una regió particular de l'espai, o la de que tinga espin dalt o avall. No obstant, persistix l'idea de que un electró té una posició i espin definits, i que la debilitat de la MC és la seua incapacitat de predir exactament eixos valors de forma precisa. Queda la possibilitat de que alguna teoria més potent encara desconeguda, com una teoria de variables amagades, puga ser capaç de predir estes cantitats exactament, i al mateix temps estiga en complet acort en les respostes provabilístiques donades per la MC. Si una teoria de variables amagades fora correcta, la MC no les descriuria, i per lo tant seria una teoria incompleta.

El desig d'una teoria local realista es basava en dos hipòtesis:

1. Els objectes tenen un estat definit, que determina els valors de totes les atres variables mesurables, com la posició i el moment.

1. Els efectes de les accions locals, com les medicions, no poden viajar més ràpit que la velocitat de la llum (com a resultat de la relativitat especial). Si els observadors estan suficientment alluntats, una mida realisada per un no té efecte en la mida realisada per l'atre.

En la formalisació del realisme local utilisada per Bell, les prediccions de la teoria resulten d'aplicar la provabilitat clàssica a un espai de paràmetros subjacent. Per mig d'un simple (encara que inteligent) argument basat en la provabilitat clàssica, va mostrar que les correlació entre les medides estan acotades d'una forma que és violada per la MC.

La teorema de Bell sembla posar punt final a les esperances del realisme local per a la MC. Per la teorema de Bell, o be la mecànica quàntica o be el realisme local estan equivocats. Es necessiten experiments per a determinar quin és correcte, pero va dur molts anys i molts alvanços en la tecnologia el poder realisar-los.

Els experiments de prova de Bell fins a la data mostren inequívocament que les desigualtats de Bell són violades. Estos resultats proveïxen evidència empírica contra el realisme local i en favor de la MC. El teorema de no comunicació prova que els observadors no poden utilisar les violacions de la desigualtat per a comunicar-se informació entre ells més ràpit que la llum.

L'artícul de John Bell examina tant la prova de 1932 de John von Neumann sobre l'incompatibilitat de les variables amagades en la mecànica quàntica, com l'influent artícul d'Albert Einstein i els seus colegues de 1935 sobre la matèria.

Referències

• A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981)
• A. Aspect et al., Experimental Realization of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm Gedankenexperiment: A New Violation of Bell's Inequalities, Phys. Rev. Lett. 49, 91 (1982).
• A. Aspect et al., Experimental Test of Bell's Inequalities Using Clave-Varying Analyzers, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982).
• A. Aspect and P. Grangier, About resonant scattering and other hypothetical effects in the Orsay atomic-cascade experiment tests of Bell inequalities: a discussió and some new experimental data, Lettere al Nuovo Cimente 43, 345 (1985)
• J. S. Bell, On the problem of hidden variables in quàntum mechanics, Rev. Mod. Phys. 38, 447 (1966)
• J. S. Bell, Introduction to the hidden variable question, Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi', Course IL, Foundations of Quàntum Mechanics (1971) 171–81
• J. S. Bell, Bertlmann’s socks and the nature of reality, Journal de Physique, Colloque C2, suppl. au número 3, Prenga 42 (1981) pp C2 41–61
• J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quàntum Mechanics (Cambridge University Press 1987) [A collection of Bell's papers, including all of the above.]
• J. F. Clauser and A. Shimony, Bell's theorem: experimental tests and implications, Reports on Progress in Physics 41, 1881 (1978)
• J. F. Clauser and M. A. Horne, Phys. Rev. D 10, 526–535 (1974)
• E. S. Fry, T. Walther and S. Li, Proposal for a loophole-free test of the Bell inequalities, Phys. Rev. A 52, 4381 (1995)
• E. S. Fry, and T. Walther, Atom based tests of the Bell Inequalities — the legacy of John Bell continues, pp 103–117 of Quàntum [Un]speakables, R.A. Bertlmann and A. Zeilinger (eds.) (Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 2002)
• R. B. Griffiths, Consistent Quàntum Theory', Cambridge University Press (2002).

• L. Hardy, Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. Physical Review Letters 71 (11) 1665–1668 (1993)
• M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quàntum Computation and Quàntum Information, Cambridge University Press (2000)
• P. Pearle, Hidden-Variable Example Based upon Data Rejection, Physical Review D 2, 1418–25 (1970)
• A. Peres, Quàntum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht, 1993.
• P. Pluch, Theory of Quàntum Probability, PhD Thesis, University of Klagenfurt, 2006.
• B. C. van Frassen, Quàntum Mechanics, Clarendon Press, 1991.
• M.A. Rowe, D. Kielpinski, V. Meyer, C.A. Sackett, W.M. Itano, C. Monroe, and D.J. Wineland, Experimental violation of Bell's inequalities with efficient detection,(Nature, 409, 791–794, 2001).
• S. Sulcs, The Nature of Light and Twentieth Century Experimental Physics, Foundations of Science 8, 365–391 (2003)
• S. Gröblacher et al., An experimental test of senar-local realism,(Nature, 446, 871–875, 2007).

Llectures adicionals

Les següents llectures estan pensades per al públic en general.

• Amir D. Aczel, Entanglement: The greatest mystery in physics (Four Walls Eight Windows, New York, 2001).
• A. Afriat and F. Selleri, The Einstein, Podolsky and Rosen Paradox (Plenum Press, New York and London, 1999)
• J. Baggott, The Meaning of Quàntum Theory (Oxford University Press, 1992)
• N. David Mermin, "Is the moon there when nobody looks? Reality and the quàntum theory", in Physics Today, April 1985, pp. 38–47.
• Louisa Gilder, The Age of Entanglement: When Quàntum Physics Was Reborn (New York: Alfred A. Knopf, 2008)
• Brian Greene, The Fabric of the Cosmos (Vintage, 2004, ISBN 0-375-72720-5)
• Nick Herbert, Quàntum Reality: Beyond the New Physics (Anchor, 1987, ISBN 0-385-23569-0)
• D. Wick, The infamous boundary: seven decades of controversy in quàntum physics (Birkhauser, Boston 1995)
• R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New Falcon Publications, 1997, ISBN 1-56184-056-4)
• Gary Zukav "The Dancing Wu Li Masters" (Perennial Classics, 2001, ISBN 0-06-095968-1)

Enllaços externs

• Sobre la Paradoxa d'Einstein Podolsky Rosen John S. Bell, Departament de Física, Universitat de Wisconsin, (Rebut el 4 de Novembre de 1964)

• ¿Pot Considerar-se Completa la Descripció Mecànic Quàntica de la Realitat Física?. A. Einstein, B. Podolsky i N. Rosen, Institut d'Estudis Alvançats, Princeton, Nova Jersey (Rebut el 25 de Març de 1935)

• ¿Pot Considerar-se Completa la Descripció Mecànic Quàntica de la Realitat Física?. N. Bohr, Institut de Física Teòrica, Universitat de Copenhague (Rebut el 13 de Juliol de 1935)

• Una explicació de la teorema de Bell, basada en l'artícul de N. D. Mermin, "Bringing Home the Atomic World: Quàntum Mysteries for Anybody," Am. J. of Phys. 49 (10), 940 (October 1981)
• Entrelazamiento quàntic Inclou una explicació simple de la desigualtat de Bell.
• Teorema de Bell en arxiv.org

• Refutació de la teorema de Bell per mig d'un àlgebra de Clifford de variables locals [5] archivat en Wayback Machine. Refutació de la teorema de Bell
• Una demostració simple de la desigualtat de Bell basada en la teoria elemental de conjunts.