Lema de Borel-Cantelli

En la teoria de les provabilitats, medida i integració, el lema de Borel-Cantelli assegura la finitud en casi tots els punts de la suma de funcions integrables positives si és que la suma de les seues integrals és finita.

Definició en provabilitat i demostració

1º Lema de Borel-Cantelli

Siga $\{A_n\}$ una successió d'events tal que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)<\mathrm{\infty }$ llavors $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=0$.

Demostració:

Tenim que $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=$ $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcup _{j\ge n}{A}_j)=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcup _{j\ge n}{A}_j)\le$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)$ . Ya que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)<\mathrm{\infty }$ implica que $\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)⟶0,n⟶\mathrm{\infty }$.

2º Lema de Borel-Cantelli

Siga $\{A_n\}$ una successió d'events tal que $\sum _{n\ge 1}P(A_n)=\mathrm{\infty }$ i $\{A_n\}$ són independents, llavors $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=1$.

Demostració:

Tenim que $P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{A}_n)=$ $1-P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{A}_n^c)=$ $1-P(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\bigcap _{j\ge n}{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcap _{j\ge n}{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(\bigcap _{j=n}^m{A}_j^c)=$ $1-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))$, a on l'última igualtat resulta de l'independència.

Basta ara provar que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))=0$.

Recordem la desigualtat $1-x\le e^{-x},0<x<1$.

Per tant, $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m(1-P(A_j))\le \underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{j=n}^m{e}^{-P(A_j)}=$ $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-\sum _{j=n}^{m}P(A_j)}=$ $e^{-\sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}P(A_j)}=0$.

Definició formal i demostració

Siga $\{f_n\}$ una successió de funcions positives mesurables des de l'espai de mida $(\Omega ,𝒜,\mu )$ en els reals. $\mu$ és la mida. Siga $\mu f$ l'integral de f respecte de $\mu$. Supongam que:

$\sum _n\mu f_n<\mathrm{\infty }$

llavors per convergència monòtona $\mu \sum _n{f}_n=\sum _n\mu f_n<\mathrm{\infty }$. Per això la funció $\sum _n{f}_n$ és finita c.t.p.-$\mu$.

Si la successió de funcions són indicatrices de conjunts $A_n$ en $𝒜$, o siga $f_n={\chi }_{A_n}$ i la mida $\mathbb{P}$ és de provabilitat llavors: $\sum _n\mathbb{P}{A}_n<\mathrm{\infty }$ implica que $\sum _n{\chi }_{A_n}<\mathrm{\infty }$ c.t.p.-$\mu$, és dir, en $\Omega$, el conjunt dels punts que pertanyen a infinits $A_n$ té provabilitat zero.

Bibliografia

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).