Teorema d'aproximació de Weierstrass

En anàlisis matemàtic, la teorema d'aproximació de Weierstrass és un resultat que afirma que les funcions reals contínues definides en un interval tancat i acotat poden ser aproximades tant com es vullga per un polinomi. És dir, els polinomis de coeficients reals són densos en el conjunt de les funcions contínues sobre un interval tancat.

Karl Weierstrass va donar una demostració d'este resultat en 1885. Posteriorment, Marshall H. Stone va generalisar la teorema i va simplificar la demostració. A esta generalisació li la coneix com la teorema de Stone–Weierstrass.

Teorema d'aproximació de Weierstrass

Per a qualsevol ε>0 i per a qualsevol funció f contínua sobre un interval $[a,b]\subset ℝ$, existix un polinomi de coeficients reals, p, tal que

Demostració

Una demostració constructiva pot trobar-se utilisant-se els polinomis de Bernstein. En efecte, si f(x) és una funció contínua en l'interval [0, 1] es definix el polinomi de Bernstein com

$B_n(f)(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}.$

Es pot demostrar que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n(f)(x)=f(x)$

convergix uniformemente en l'interval [0, 1]. Una volta demostrat en l'interval [0,1] és fàcil demostrar el resultat per a qualsevol interval compacte.

Vore també

• Polinomi de Bernstein