Problema del subespacio invariante

Archiu:Eigenvalue equation.svg

El vector $x$ és un autovector de la matriu $A$. Tot operador en un espai vectorial complex no trivial de dimensió finitao té un autovector, lo que resol el problema del subespacio invariante per a estos espais.

En matemàtiques, més concretament en anàlisis funcional, el problema del subespacio invariante és un problema parcialment sense resoldre que pregunta si tot operador acotat en un espai de Banach complex mana algun subespacio tancat no trivial a sí mateixa. Vàries variants del problema han segut resoltes, restringint la classe d'operadors acotats considerats o especificant una classe particular d'espais de Banach. El problema està encara sense resoldre en el cas dels espais de Hilbert separables; és dir, tots els eixemples trobats fins a la data d'operadors sense subespacios invariantes no trivials són operadors que actuen en un espai de Banach no isomorfo a un espai de Hilbert separable.

Història

El problema sembla haver segut plantejat a mitan de el XX despuix del treball de Beurling i von Neumann, els qui varen trobar (pero mai varen publicar) una solució positiva per al cas d'operadors compactes. Després, va ser plantejat per Paul Halmos per al cas d'operadors $T$ tals que $T^2$ és compacte. Açò va ser resolt afirmativament, per a una classe més general d'operadors polinomialmente compactes (operadors $T$ tals que $p(T)$ és un operador compacte per a un polinomi no nul $p$ adequadament triat), per Allen R. Bernstein i Abraham Robinson en 1966.

Para espais de Banach, el primer eixemple d'operador sense subespacio invariante va ser construït per Per Enflo, qui va propondre un contraeixemple al problema del subespacio invariante en 1975, publicant un resum en 1976. Enflo va presentar l'artícul complet en 1981, i la complexitat i llongitut de l'artícul varen atrassar la seua publicació fins a 1987.El treball de Enflo va inspirar a una similar construcció d'un operador sense subespacios invariantes, per eixemple a Beauzamy, qui va reconéixer les idees de Enflo.

En la década de 1990, Enflo va desenrollar un enfocament «constructiu» al problema del subespacio invariante en espais de Hilbert.

En maig de 2023, va aparéixer una prepublicación de Enflo en arXiv, en la qual, de ser correcta, es resol el problema per a espais de Hilbert i completa el panorama.

Enunciat detallat

Formalment, el problema del subespacio invariante per a un espai de Banach complex $H$ de dimensió > 1 pregunta si tot operador llineal acotat $T:H\to H$ té un subespacio $T$-invariante tancat no trivial: un subespacio llineal tancat $W$ de $H$, que és distint de $\{0\}$ i de $H$, tal que $T(W)\subset W$.

Una resposta negativa al problema està estretament relacionada en les propietats de les òrbites $T$. Si $x$ és un element de l'espai de Banach $H$, l'òrbita de $x$ baixe l'acció de $T$, denotada per $[x]$, és el subespacio generat per la seqüència $\{T^n(x):n\ge 0\}$. A açò també li'l crida subespacio $T$-cíclico generat per $x$. A partir de la definició, es deduïx que $[x]$ és un subespacio $T$-invariante. Ademés, és el subespacio $T$-invariante mínim que conté a $x$: si $W$ és un atre subespacio invariante que conté $x$, llavors necessàriament $T^n(x)\in W$ para tot $n\ge 0$ (ya que $W$ és $T$-invariante), i $[x]\subset W$. Si $x$ és no nul, llavors $[x]$ no és igual a $\{0\}$, per lo que la seua clausura és ben l'espai sancer $H$ (en el cas del qual a $x$ també li'l crida vector cíclico para $T$), o be es tracta d'un subespacio $T$-invariante no trivial. Per tant, un contraeixemple al problema del subespacio invariante seria un espai de Banach $H$ i un operador acotat $T:H\to H$ per als que tot vector no nul $x\in H$ és un vecotr clíclico per a $T$. (A on un «vector cíclico» $x$ per a un operador $T$ en un espai de Banach $H$ es tracta d'un vector per al que l'òrbita $[x]$ de $x$ és densa en $H$).

Referències

• (2011).«A hereditarily indecomposable L_∞-space that solves the scalar-plus-compact problem».Acta Math..206(1)

1–54.doi:10.1007/s11511-011-0058-i.

• (1954).«Invariant subspaces of completely continuous operators».Annals of Mathematics.60(2)

345–350.doi:10.2307/1969637.

• (1983).«An operator without invariant subspaces on a nuclear Fréchet space».Annals of Mathematics.117(3)

669–694.doi:10.2307/2007039.

• (1985).«Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l'exemple de P. Enflo».Integral Equations and Operator Theory.8(3)

314–384.doi:10.1007/BF01202903.

• (1988).«Introduction to operator theory and invariant subspaces».North-Holland.Amsterdam:42
• (1966).«Solution of an invariant subspace problem of K. T. Smith and P. R. Halmos».Pacific Journal of Mathematics.16(3)

421–431.doi:10.2140/pjm.1966.16.421.

• (1966).«Invariant subspaces of polynomially compact operators».Pacific Journal of Mathematics.16(3)

433–437.doi:10.2140/pjm.1966.16.433.

• (1973).«Invariant subspaces of the family of operators that commute with a completely continuous operator».Akademija Nauk SSSR. Funkcional' Nyi Analiz I Ego Prilozenija.7(3)

55–56.doi:10.1007/BF01080698.

• (1974).«Topics in operator theory».American Mathematical Society.Providence, R.I.:(13)

219–229.

• (1984).«A solution to the invariant subspace problem».The Bulletin of the London Mathematical Society.16(4)

337–401.doi:10.1112/blms/16.4.337.

• (1985).«A solution to the invariant subspace problem on the space l₁».The Bulletin of the London Mathematical Society.17(4)

305–317.doi:10.1112/blms/17.4.305.

• (1988).«The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators».Israel Journal of Mathematics.63(1)

1–40.doi:10.1007/BF02765019.

• (2000).«Simultaneous triangularization».Springer-Verlag.New York:

xii+318.doi:10.1007/978-1-4612-1200-3.

• (2008).«The Invariant Subspace Problem for Senar-Archimedean Banach Spaces».Canadian Mathematical Bulletin.51(4)

604–617.doi:10.4153/CMB-2008-060-9.

• (2005).«The present state and heritages of the invariant subspace problem».Milan Journal of Mathematics.73(1)

289–316.doi:10.1007/s00032-005-0048-7.