Subespacio cíclico

En matemàtiques, àlgebra llineal i anàlisis funcional, un subespacio cíclico és un subespacio especial d'un espai vectorial associat en un vector en est i una transformació llineal de l'espai sobre sí mateixa. El subespacio cíclico associat a un vector v en un espai vectorial V i a una transformació llineal T de V es denomina subespacio T-cíclico generat per v.

El concepte de subespacio cíclico és un component bàsic en la formulació de la teorema de descomposició cíclica en àlgebra llineal.

Definició

Siga $T : V \to V$ una transformació llineal d'un espai vectorial $V$ i siga $v$ un vector en $V$ . El subespacio $T$ -cíclico de $V$ generat per $v$ , denotat $Z (v; T)$ és el subespacio de $V$ generat pel conjunt de vectores ${v, T (v), T^{2} (v), \dots, T^{r} (v), \dots}$ . En el cas en que $V$ siga un espai vectorial topològic, el vector $v$ es coneix com el vector cíclico per a $T$ si és que $Z (v; T)$ és dens en $V$ . Per al cas particular d'espais de dimensió finita, açò equival a dir que $Z (v; T)$ és tot l'espai $V$ . ^[1]

Existix una atra definició equivalent per a espai cíclico. Siga $T : V \to V$ una transformació llineal d'un espai vectorial topològic sobre un camp $F$ i siga $v$ un vector en $V$ , el conjunt de tots els vectores de la forma $g (T) v$ , on $g (x)$ és un polinomi en l'anell $F [x]$ de tots els polinomis en $x$ sobre $F$ , és el subespacio $T$ -cíclico generat per $v$ . ^[2]

El subespacio $Z (v; T)$ és un subespacio invariante para $T$ , en el sentit de que $T Z (v; T) \subset Z (v; T)$ .

Eixemples

Per a qualsevol espai vectorial $V$ i qualsevol operador llineal $T$ en $V$ , el subespacio $T$ -cíclico generat pel vector zero és el subespacio zero de $V$ .
Si $I$ és l'operador identitat llavors tot subespacio $I$ -cíclico és unidimensional.
$Z (v; T)$ és unidimensional si i solament si $v$ és un vector característic (autovector) de $T$ .
Siga $V$ un espai vectorial bidimensional i siga $T$ l'operador llineal en $V$ representat per la matriu $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ relativa a la base canònica ordenada de $V$ . Siga $v = [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]$ . Llavors $T v = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}], T^{2} v = 0, \dots, T^{r} v = 0, \dots$ . Per lo tant, ${v, T (v), T^{2} (v), \dots, T^{r} (v), \dots} = {[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}], [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]}$ en lo que $Z (v; T) = V$ . És dir, $v$ és un vector cíclico de $T$ .

Matriu companyera

Siga $T : V \to V$ una transformació llineal d'un espai vectorial n-dimensional $V$ sobre un camp $F$ i siga $v$ un vector cíclico per a $T$ . Llavors els vectores

B = {v_{1} = v, v_{2} = T v, v_{3} = T^{2} v, \dots v_{n} = T^{n - 1} v}

formen una base ordenada per a $V$ . Siga el polinomi característic para $T$

p (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + \dots + c_{n - 1} x^{n - 1} + x^{n}

.

Llavors

\begin{matrix} T v_{1} & = v_{2} \\ T v_{2} & = v_{3} \\ T v_{3} & = v_{4} \\ ⋮ \\ T v_{n - 1} & = v_{n} \\ T v_{n} & = - c_{0} v_{1} - c_{1} v_{2} - \dots c_{n - 1} v_{n} \end{matrix}

Per lo tant, l'operador $T$ relatiu a la base ordenada $B$ està representat per la matriu

[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & - c_{0} \\ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & - c_{1} \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & - c_{2} \\ ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & - c_{n - 1} \end{matrix}]

Esta matriu es coneix com a matriu companyera del polinomi $p (x)$ . ^[3]

Vore també

Referències

↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.
↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.
↑ Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.

Bibliografia

(1971) Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Subespacio cíclico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[LA2-1] Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.

[LA3-2] Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.

[LA-3] Hoffman, Kenneth; Kunze, {{{nom2}}} (1971). Linear algebra, 2nd edició, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., p. 227. ISBN 9780135367971.

[1]

[2]

[3]