Matriu companyera

En àlgebra llineal, la matriu companyera del polinomi mónico

p (t) = c_{0} + c_{1} t + \dots + c_{n - 1} t^{n - 1} + t^{n},

és la matriu quadrada definida com

C (p) = [\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - c_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - c_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - c_{n - 1} \end{matrix}] .

Esta matriu junt en una base $(v 1, ... , v n)$ , transforma el polinomi $p (t)$ en un sistema d'equacions llineals simultànees de la forma:

t^{n} (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = t^{n - 1} [\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & - c_{0} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - c_{1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - c_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - c_{n - 1} \end{matrix}] (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ v_{n} p (t) \end{matrix})

En este conveni, i sobre la base $(v 1, ... , v n)$ , un té

C v_{i} = C^{i} v_{1} = v_{i + 1}

(Para $i < n$ ), i $v 1$ generar V com $K [C]$ -mòdul: C cicles de vectores de la base.

Alguns autors utilisen la transposició d'esta matriu, que és més convenient per a alguns propòsits, com les relacions de recurrencia llineals.

Caracterisació

El polinomi característic aixina com el polinomi mínim de $C (p)$ són iguals a p.^[1]

En este sentit, la matriu $C (p)$ és la "companyera" del polinomi p.

Si A és una matriu de n per n en entrades en algun cos K, llavors són equivalents les següents afirmacions:

A és similar a la matriu companyera sobre K del seu polinomi característic.
El polinomi característic de coincidix en el polinomi mínim de A, equivalentement, el polinomi mínim té grau n.
Existix un vector cíclico $v$ en $V = K^{n}$ para A, lo que significa que {v, Av, A²v,..., Aⁿ⁻¹v} és una base de V. De manera equivalent, si V és cíclico com una $K [A]$ -module (i $V = K [A] / (p (A))$ ); es diu que A és regular.

No tota matriu quadrada és similar a una matriu companyera. Pero tota matriu és similar a una matriu formada per blocs de matrius de companyia. Ademés, estes matrius de companyia poden ser elegides de modo que els seus polinomis es dividixquen entre sí; llavors, es determinen de forma única per A. Esta és la forma canònica relacional de A.

Diagonalisació

Si $p (t)$ té raïls distintes $λ 1, ..., λ n$ (els valors propis de C(p)), llavors C(p) és diagonalisable com seguix:

V C (p) V^{- 1} = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

a on V és la matriu de Vandermonde corresponent als I's.

En este cas,^[2] traces de les potencies m de C produïxen fàcilment sumes de les mateixes potencies m de totes les raïls de p(t),

T r C^{m} = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{m} .

En general, la matriu companyer pot ser no diagonalisable.

Vore també

Notes

↑ Horn, Roger A. (1985). Matrix Analysis, Cambridge, UK: Cambridge University Press, pp. 146–147. ISBN 0-521-30586-1.
↑ Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz compañera» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Horn, Roger A. (1985). Matrix Analysis, Cambridge, UK: Cambridge University Press, pp. 146–147. ISBN 0-521-30586-1.

[2] Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994.

[1]

[2]