Funció base

En anàlisis funcionals i les seues aplicacions, un espai funcional pot vore's com un espai vectorial de dimensió infinita que els seus vectores de base són funcions, no vectores. Açò significa que cada funció en l'espai funcional pot representar-se com una combinació llineal de les funcions de base.

Per a ilustrar el concepte, es pot amprar un eixemple. Es pot crear un vector bidimensional sumant múltiples dels vectores (1,0) i (0,1):

En este eixemple, es pot dir que el vector (x,i) està generat pels vectores (1,0) i (0,1). Els vectores base més adequats són ortogonals, lo que es complix para (1,0) i (0,1). Dos vectores són ortogonals si el seu producte escalar és zero, lo que significa que estan en àngul recte. De la mateixa forma, dos funcions són ortogonals si el seu producte escalar és zero. Les funcions sen i coseno són ortogonals, ya que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x)\cos (x)dx=0$.

Una funció f(x) és de quadrat integrable si i solament si

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }$.

Qualsevol funció de quadrat integrable (com per eixemple una gravació musical) pot representar-se per una suma de sens i cosenos de vàries amplitut i freqüències. Esta descomposició du a la transformada de Fourier. En este eixemple els sens i els cosenos són les funcions de base. És important destacar que mentres que l'espai bidimensional està generat únicament per dos vectores, un espai funcional està generat per un número infinit de funcions de base, perque el seu espai funcional és de dimensió infinita.