Medició en la mecànica quàntica

En física quàntica, una medició és la comprovació o manipulació d'un sistema físic per a obtindre un resultat numèric. Una característica fonamental de la teoria quàntica és que les prediccions que fa són provabilístiques. El procediment per a trobar una provabilitat consistix en combinar un estat quàntic, que descriu matemàticament un sistema quàntic, en una representació matemàtica de la medició que es va a realisar en eixe sistema. La fòrmula per a este càlcul es coneix com regla de Born. Per eixemple, una partícula quàntica com un electró pot descriure's per mig d'un estat quàntic que associa a cada punt de l'espai un número complejo denominat amplitut de provabilitat. Aplicant la regla de Born a estes amplitut s'obtenen les provabilitats de que l'electró es trobe en una regió o una atra quan es realisa un experiment per a localisar-ho. Açò és lo millor que pot fer la teoria; no pot dir en certea on es trobarà l'electró. El mateix estat quàntic també pot utilisar-se per a predir cóm es mourà l'electró, si es realisa un experiment per a medir el seu moment en lloc de la seua posició. El principi d'incertitut implica que, siga com siga l'estat quàntic, el ranc de prediccions per a la posició de l'electró i el ranc de prediccions per al seu moment no poden ser abdós estrets. Alguns estats quàntics impliquen una predicció casi segura del resultat d'una mida de posició, pero el resultat d'una mida de moment serà altament impredictible, i viceversa. Ademés, el fet de que la naturalea viole les condicions estadístiques conegudes com desigualtats de Bell indica que la imprevisibilidad dels resultats de les medicions quàntiques no pot explicar-se com a deguda a l'ignorança sobre les "variables amagades locals" dins dels sistemes quàntics.

Medir un sistema quàntic sol canviar l'estat quàntic que descriu eixe sistema. Es tracta d'una característica central de la mecànica quàntica, matemàticament complexa i conceptualment sotil. Les ferramentes matemàtiques per a predir els resultats de les medicions i cóm poden canviar els estats quàntics es varen desenrollar en el XX i utilisen l'àlgebra llineal i l'anàlisis funcional. La física quàntica ha demostrat ser un èxit empíric i tindre una àmplia aplicabilidad. No obstant, en un pla més filosòfic, continuen els debats sobre el significat del concepte de medició.

Formalisme matemàtic

"Observables" com a operadors autoadjuntos

Vore també: Cuantización i Postulats de la mecànica quàntica

En mecànica quàntica, cada sistema físic està associat a un espai de Hilbert, cada u dels elements del qual representa un possible estat del sistema físic. L'enfocament codificat per John von Neumann representa una mida sobre un sistema físic per mig d'un operador autoadjunto sobre eixe espai de Hilbert denominat "observable"^[1]^{: 17} Estos observables eixerciten el paper de les magnituts mesurables conegudes de la física clàssica: posició, moment, energia, moment angular, etcétera. La dimensió de l'espai de Hilbert pot ser infinita, com ocorre en l'espai de funcions quadrades integrables en una recta, que s'utilisa per a definir la física quàntica d'un grau de llibertat continu. Una atra possibilitat és que l'espai de Hilbert siga finito, com ocorre en els graus de llibertat dels espin. Molts tractaments de la teoria se centren en el cas de dimensió finita, ya que les matemàtiques implicades són alguna cosa menys exigents. De fet, els texts introductoris de física sobre mecànica quàntica a sovint passen per alt els tecnicismos matemàtics que sorgixen per a observables de valor continu i espais de Hilbert de dimensió infinita, com la distinció entre operadors acotats i no acotats; qüestions de convergència (si el llímit d'una seqüència d'elements de l'espai de Hilbert també pertany a l'espai de Hilbert), possibilitats exòtiques per a conjunts de valors propis, com els conjunts de Cantor, etc.^[2]^{: 79} ^[3] Estes qüestions poden resoldre's satisfactòriament utilisant la teoria espectral;^[2]^{: 101} el present artícul les evitarà sempre que siga possible.

Medició proyectiva

Els vectores propis d'un observable de von Neumann formen una base ortonormal per a l'espai de Hilbert, i cada resultat possible d'eixa medició correspon a un dels vectores que componen la base. Un operador de densitat és un operador positiu-semidefinido en l'espai de Hilbert que la seua traça és igual a 1.^[1]^[2] Per a cada mida que puga definir-se, la distribució de provabilitat sobre els resultats d'eixa mida pot calcular-se a partir de l'operador de densitat. El procediment per a fer-ho és la regla de Born, que establix que:

P (x_{i}) = tr (Π_{i} ρ),

A on $ρ$ és l'operador de densitat, i $Π_{i}$ és l'operador de proyecció sobre el vector base corresponent al resultat de la medició $x_{i}$ . La mija dels valors propis d'un observable de von Neumann, ponderada per les provabilitats de la regla de Born, és el valor d'expectativa d'eixe observable. Per a un observable $A$ , el valor d'expectativa donat un estat quàntic $ρ$ és :

$⟨ A ⟩ = tr (A ρ) .$

Un operador de densitat que és una proyecció de ranc 1 es coneix com a estat quàntic pur, i tots els estats quàntics que no són purs es denominen mixts. Els estats purs també es coneixen com a funcions d'ona. Assignar un estat pur a un sistema quàntic implica certea sobre el resultat d'alguna mida en eixe sistema (és dir, $P (x) = 1$ per a un resultat $x$ ). Qualsevol estat mixt pot escriure's com una combinació convexa d'estats purs, encara que no de forma única.^[4] l'espai d'estats d'un sistema quàntic és el conjunt de tots els estats, purs i mixts, que se li poden assignar.

La regla de Born associa una provabilitat a cada vector unitari de l'espai de Hilbert, de manera que estes provabilitats sumen 1 per a qualsevol conjunt de vectores unitaris que comprenga una base ortonormal. Ademés, la provabilitat associada a un vector unitari és una funció de l'operador de densitat i del vector unitari, i no d'informació adicional com l'elecció de la base en la que s'inserta dit vector. El teorema de Gleason establix lo contrari: totes les assignació de provabilitats a vectores unitaris (o, equivalentement, als operadors que es proyecten sobre ells) que satisfan estes condicions adopten la forma d'aplicar la regla de Born a algun operador de densitat.^[5]^[6]^[7]

Medició generalisada (POVM)

Artícul principal → Mida POVM.

En anàlisis funcional i teoria de la mida quàntica, una mida en valor d'operador positiu (POVM) és una mida els valors de la qual són operadors semidefinidos positius en un espai de Hilbert. Les POVM són una generalisació de les mides valorades per proyecció (PVM) i, en conseqüència, les mides quàntiques descrites per POVM són una generalisació de les mides quàntiques descrites per PVM. Per analogia, una POVM és a una PVM lo que un estat mixt és a un estat pur. Els estats mixts són necessaris per a especificar l'estat d'un subsistema d'un sistema major (vore el teorema de Schrödinger-HJW); análogament, els POVM són necessaris per a descriure l'efecte en un subsistema d'una mida proyectiva realisada en un sistema major. Les POVM són el tipo més general de mida en mecànica quàntica, i també poden utilisar-se en teoria quàntica de camps.^[8] S'utilisen àmpliament en el camp de l'informació quàntica.

En el cas més senzill, d'una POVM en un número finito d'elements que actuen sobre un espai de Hilbert de dimensió finita, una POVM és un conjunt de matrius semidefinidas positives ${F_{i}}$ en un espai de Hilbert $ℋ$ i sumen la matriu identitat,^[9]

\sum_{i = 1}^{n} F_{i} = I .

En mecànica quàntica, l'element POVM $F_{i}$ s'associa en el resultat de la medició $i$ , tal que la provabilitat d'obtindre-la en realisar una mida sobre l'estat quàntic $ρ$ ve dau per:

Prob (i) = tr (ρ F_{i})

,

A on $tr$ és l'operador de traça. Quan l'estat quàntic que es medix és un estat pur $| ψ ⟩$ esta fòrmula es reduïx a:

Prob (i) = tr (| ψ ⟩ ⟨ ψ | F_{i}) = ⟨ ψ | F_{i} | ψ ⟩

.

Canvi d'estat per la medició

Una mida sobre un sistema quàntic generalment produirà un canvi de l'estat quàntic d'eixe sistema. Escriure un POVM no proporciona l'informació completa necessària per a descriure este procés de canvi d'estat. Per a remediar-ho, s'especifica més informació descomponent cada element POVM en un producte:

E_{i} = A_{i}^{†} A_{i} .

Els operadors Kraus $A_{i}$ , en honor a Karl Kraus, proporcionen una especificació del procés de canvi d'estat. No són necessàriament autoadjuntos, pero els productes $A_{i}^{†} A_{i}$ lo són. Si en realisar la medició el resultat $E_{i}$ s'obté, llavors l'estat inicial $ρ$ s'actualisa a:

ρ \to ρ^{'} = \frac{A_{i} ρ A_{i}^{†}}{P r o b (i)} = \frac{A_{i} ρ A_{i}^{†}}{tr (ρ E_{i})} .

Un cas especial important és la regla de Lüders, cridada aixina per Gerhart Lüders.^[10]^[11] Si el POVM és a la seua volta un PVM, llavors els operadors de Kraus poden prendre's com els proyectores sobre els eigenspaces de l'observable de von Neumann:

ρ \to ρ^{'} = \frac{Π_{i} ρ Π_{i}}{tr (ρ Π_{i})} .

Si l'estat inicial $ρ$ és pur, i els proyectores $Π_{i}$ tenen ranc 1, poden escriure's com proyectores sobre els vectores $| ψ ⟩$ i $| i ⟩$ , respectivament. La fòrmula se simplifica aixina:

ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | \to ρ^{'} = \frac{| i ⟩ ⟨ i | ψ ⟩ ⟨ ψ | i ⟩ ⟨ i |}{| ⟨ i | ψ ⟩ |^{2}} = | i ⟩ ⟨ i | .

Açò s'ha conegut històricament com "reducció del paquet d'ones" o "colapse de la funció d'ona". L'estat pur de $| i ⟩$ implica una predicció de provabilitat un per a qualsevol observable von Neumann que tinga $| i ⟩$ com un vector propi. Els texts introductoris a la teoria quàntica solen expressar-ho dient que si una medició quàntica es repetix en ràpida successió, es produirà el mateix resultat les dos voltes. Açò és una simplificació excessiva, ya que l'implementació física d'una medició quàntica pot implicar un procés com l'absorció d'un fotó; despuix de la medició, el fotó no existix per a ser medit de nou.^[9]

Podem definir un mapa llineal, preservador de traces, completament positiu, sumant sobre tots els possibles estats post-mida d'un POVM sense la normalisació:

ρ \to \sum_{i} A_{i} ρ A_{i}^{†} .

És un eixemple de canal quàntic,^[10]^:150 i pot interpretar-se com l'expressió de cóm canvia un estat quàntic si es realisa una medició pero es pert el resultat de la mateixa.^[10]^:159

Eixemples

Archiu:Bloch sphere representation of optimal caps block 35 and states for unambiguous quantum state discrimination.svg

Representació dels estats en l'esfera de Bloch (en blava) i POVM òptim (en roig) per a la discriminació d'estats quàntics sense ambigüitat[18] en els estats

| ψ ⟩ = | 0 ⟩

i

| φ ⟩ = (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) / \sqrt{2}

. Observe's que en l'esfera de Bloch els estats ortogonals són antiparalelos.

L'eixemple prototípico d'un espai de Hilbert finito és un qubit, un sistema quàntic l'espai del qual de Hilbert és bidimensional. Un estat pur per a un qubit pot escriure's com una combinació llineal de dos estats base ortogonals $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩$ en coeficients complexos:

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

Una mida en la base de $(| 0 ⟩, | 1 ⟩)$ donarà un resultat $| 0 ⟩$ en la provabilitat $| α |^{2}$ i resultat $| 1 ⟩$ en provabilitat $| β |^{2}$ , aixina que per normalisació,

| α |^{2} + | β |^{2} = 1.

Un estat arbitrari per a un qubit pot escriure's com una combinació llineal de les matrius de Pauli, que proporcionen una base per a matrius autoadjuntas $2 \times 2$

ρ = \frac{1}{2} (I + r_{x} σ_{x} + r_{y} σ_{y} + r_{z} σ_{z}),

A on els número real $(r_{x}, r_{y}, r_{z})$ són les coordenades d'un punt dins de la bola unitària i

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

Els elements POVM poden representar-se de la mateixa manera, encara que la traça d'un element POVM no és fixa i igual a 1. Les matrius de Pauli no tenen traça i són ortogonals entre sí sobre el producte interior de Hilbert-Schmidt, per lo que les coordenades $(r_{x}, r_{y}, r_{z})$ de l'estat $ρ$ són els valors de les expectatives de les tres mides de von Neumann definides per les matrius de Pauli.^[10]^:126 Si s'aplica una mida d'este tipo a un qubit, llavors, per la regla de Lüders, l'estat s'actualisarà al vector propi d'eixa matriu de Pauli corresponent al resultat de la mida. Els vectores propis de $σ_{z}$ són els estats base $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩$ , i una medició de $σ_{z}$ sol cridar-se medida en la "base computacional".^[10]^:76 Despuix d'una medició en la base de càlcul, el resultat d'una medició $σ_{x}$ o $σ_{y}$ té una incertitut màxima.

Un parell de qubits junts formen un sistema l'espai del qual de Hilbert és de 4 dimensions. Una mida de von Neumann significativa en este sistema és la definida per la base de Bell, un conjunt de quatre estats quàntics máximamente entrellaçats:

\begin{matrix} | Φ^{+} ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \\ | Φ^{-} ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \\ | Ψ^{+} ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}) \\ | Ψ^{-} ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}) \end{matrix}

Archiu:Aufenthaltswahrscheinlichkeit harmonischer Oszillator.png

Densitat de provabilitat

P_{n} (x)

per al resultat d'una medició de posició donat l'estat propi d'energia

| n ⟩

d'un oscilador harmònic 1D.

Un eixemple comú i útil de mecànica quàntica aplicada a un grau de llibertat continu és l'oscilador harmònic quàntic.^[12]^:24 Este sistema està definit pel Hamiltoniano

H = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2},

A on $H$ , l'operador de moment $p$ i l'operador de posició $x$ són operadors autoadjuntos en l'espai de Hilbert de funcions quadrades integrables en la recta real. Els estats propis d'energia resolen l'equació de Schrödinger independent del temps:

H | n ⟩ = E_{n} | n ⟩ .

Es pot demostrar que estos valors propis vénen daus per

E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}),

i estos valors donen els possibles resultats numèrics d'una mida d'energia sobre l'oscilador. El conjunt de possibles resultats d'una mida de posició en un oscilador harmònic és continu, per lo que les prediccions s'expressen en térmens d'una funció de densitat de provabilitat $P (x)$ que dona la provabilitat de que el resultat de la medició es trobe en l'interval infinitesimal comprés entre $x$ a $x + d x$ .

Vore també

Notes

↑ ^1,0 ^1,1 Lecture Notes in Physics. Springer.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Kluwer Academic Publishers.Consultat el 2024-03-21.
↑ «Avila, Bhargava, Hairer, Mirzakhani» (en en). What's new. Consultat el 2024-03-21.
↑ Foundations of Physics Letters.ISSN 0894-9875.doi:10.1007/s10702-006-1852-1.Consultat el 2024-03-21.
↑ «Full-text Article». www.iumj.indiana.edu. Consultat el 2024-03-21.
↑ Physical Review Letters.doi:10.1103/PhysRevLett.91.120403.
↑ Foundations of Physics.doi:10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5.
↑ Reviews of Modern Physics.doi:10.1103/RevModPhys.76.93.
↑ ^9,0 ^9,1 Cambridge University Press.Consultat el 2024-03-23.
↑ ^10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 ^10,4 Annalen der Physik.doi:10.1002/andp.200610207.
↑ Compendium of Quàntum Physics, Springer Berlin Heidelberg.doi:10.1007/978-3-540-70626-7_110.
↑ Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Medición en la mecánica cuántica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:0-1] 1,0 ^1,1 Lecture Notes in Physics. Springer.

[:1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Kluwer Academic Publishers.Consultat el 2024-03-21.

[3] «Avila, Bhargava, Hairer, Mirzakhani» (en en). What's new. Consultat el 2024-03-21.

[4] Foundations of Physics Letters.ISSN 0894-9875.doi:10.1007/s10702-006-1852-1.Consultat el 2024-03-21.

[5] «Full-text Article». www.iumj.indiana.edu. Consultat el 2024-03-21.

[6] Physical Review Letters.doi:10.1103/PhysRevLett.91.120403.

[7] Foundations of Physics.doi:10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5.

[8] Reviews of Modern Physics.doi:10.1103/RevModPhys.76.93.

[:2-9] 9,0 ^9,1 Cambridge University Press.Consultat el 2024-03-23.

[:3-10] 10,0 ^10,1 ^10,2 ^10,3 ^10,4 Annalen der Physik.doi:10.1002/andp.200610207.

[11] Compendium of Quàntum Physics, Springer Berlin Heidelberg.doi:10.1007/978-3-540-70626-7_110.

[12] Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]