Base de Bell

La base de Bell, que està formada pels estats de Bell, un concepte d'informació quàntica, és un conjunt d'estats quàntics específic de dos qubits que representa l'eixemple més simple (i ademés maximal) del entrelazamiento quàntic. Els estats de Bell són vectores d'una base normalisada i entrellaçada. Esta normalisació implica que la provabilitat total de que la partícula estiga en un determinat estat és 1, açò és, $⟨ ϕ | ϕ ⟩ = 1$ . El entrelazamiento és el resultat de la superposició, un principi en el que una partícula està en múltiples estats al mateix temps.^[1] Per esta superposició, la mida en un dels qubits farà que este colapse en un dels seus estats base en una provabilitat donada.^[2] I com existix dit entrelazamiento, la mida d'un qubit assignarà solament un dels dos possibles valors a l'atre qubit instantàneament, a on el valor assignat depén d'en quin estat de Bell estiguen els dos qubits.

Els estats de Bell es poden generalisar per a representar específics estats quàntics de sistemes multi-qubits, com l'estat de Greenberger–Horne–Zeilinger (GHZ) per a un sistema de tres qubits.

Entendre els estats de Bell és essencial en l'anàlisis de la comunicació quàntica (com la codificació superdensa) i la teleportación quàntica.^[3]

Estats de Bell

Els estats de Bell són quatre específics estats quàntics máximamente entrellaçats de dos qubits. Estan en una superposició de $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩$ , això és, una combinació llineal d'estos dos estats. El seu entrelazamiento significa lo següent:

Supongam dos observadors, Alice i Bob, separats espacialment tal que no es produïxca cap influència entre abdós observadors. Cada u té un dels qubits, que anteriorment han segut entrellaçats. El qubit que Alice té pot ser tant $| 0 ⟩$ com $| 1 ⟩$ . Si Alice ho medix en la base estàndar, el resultat serà totalment aleatori, pero la provabilitat tant de $| 0 ⟩$ com de $| 1 ⟩$ serà de $1 / 2$ . Si llavors Bob medix el seu qubit, el resultat serà el mateix que el d'Alice (la provabilitat, no l'estat resultant). No obstant, si Alice i Bob es comunicaren, es trobarien en que, a pesar de que els seus resultats semblen aleatoris, estan perfectament correlacionados.

Esta perfecta correlació es pot interpretar com que els dos qubits "es varen posar d'acort" en anterioritat a que se separaren espacialment sobre el resultat de la mida. Per lo tant, seguint el famós artícul d'Einstein, Podolsky i Rosen en 1935, "EPR paper",^[4] falta alguna cosa en la descripció del parell de dos qubits, que es va denominar variable amagada.

Base de Bell

En el seu famós artícul de 1964,^[5] John Bell va demostrar per simple teoria de provabilitats que eixes correlació (les de la base ${| 0 ⟩, | 1 ⟩}$ i les de la base ${| + ⟩, | - ⟩}$ ) no poden fer-se al mateix temps de manera exacta usant cap tipo de pre-acort almagasenat en unes variables amagades. No obstant, la mecànica quàntica prediu que estes correlació són exactes.

En una formulació més formal i refinada denominada com la desigualtat de Bell-CHSH, es demostra que la correlació d'una mida no pot excedir el valor de $2$ si s'assumix que la física respecta les restriccions de la teoria local de variables amagades, pero certs sistemes permeten que en la mecànica quàntica es puguen alcançar valors de fins a $2 \sqrt{2}$ . Aixina, la mecànica quàntica viola la desigualtat de Bell i l'idea de variables amagades locals.

Els estats de Bell són quatre estats de dos qubits en valor maximal $2 \sqrt{2}$ . Formen una base entrellaçada, coneguda com la base de Bell cuatridimensional del espai de Hilbert per a dos qubits. Estos estats són:

${\begin{matrix} | Φ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{00} ⟩ \\ | Φ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{10} ⟩ \\ | Ψ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{01} ⟩ \\ | Ψ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}) \equiv | β_{11} ⟩ \end{matrix}$

Per facilitat, la notació que s'usa per a denotar els estats és la següent:

$| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} \equiv | 0 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} \equiv | 01 ⟩$

Creació d'estats de Bell

Hi ha varis possibles camins per a crear un estat entrellaçat de Bell a través de circuits quàntics. Una de les formes més simples es conseguix tenint d'entrada un estat d'una de les bases computacionals de dos qubits ( $| 00 ⟩, | 01 ⟩, | 10 ⟩, | 11 ⟩$ ) i passar a dit estat per un circuit quàntic compost per una porta de Hadamard (o operador) i una porta CNOT (o operador), representant en l'image la porta de Hadamard en la $H$ i la CNOT en $⨁$ .

Archiu:H CNOTGate.png

Circuit quàntic per a crear un estat de Bell.

El funcionament de les portes és simple:

La porta de Hadamard transforma el primer qubit d'un estat de dos qubits. Si el primer qubit és l'estat $| 0 ⟩$ , ho transforma en l'estat $| + ⟩ = \frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{2}$ , i si és $| 1 ⟩$ , ho transforma en l'estat $| - ⟩ = \frac{| 0 ⟩ - | 1 ⟩}{2}$ .

La porta CNOT varia el segon qubit (target) d'un estat de dos qubits en funció del valor del primer qubit (control). Aixina, si el primer qubit és l'estat $| 0 ⟩$ , el segon qubit permaneix inalterado. Si en canvi el primer qubit és l'estat $| 1 ⟩$ , el segon qubit canvia al seu opost (si és $| 0 ⟩$ pansa a $| 1 ⟩$ i viceversa).

Per eixemple, si es tinguera un estat inicial $| 00 ⟩$ , despuix de passar per la porta de Hadamard tindríem $\frac{(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | 0 ⟩}{\sqrt{2}}$ , i despuix d'actuar per la porta CNOT obtindríem l'estat $\frac{| 00 ⟩ + | 11 ⟩}{\sqrt{2}}$ . Per a qualsevol dels quatre estats inicials de la base $| 00 ⟩, | 01 ⟩, | 10 ⟩, | 11 ⟩$ de dos qubits, l'estat de Bell que eixiria del circuit quàntic seguix la següent fòrmula:

$| β (x, y) ⟩ \equiv | β_{x, y} ⟩ = (\frac{| 0, y ⟩ + (- 1)^{x} | 1, Y ⟩}{\sqrt{2}})$

a on $Y$ és l'opost de $y$ .^[2]

Propietats dels estats de Bell

Despuix de medir el primer qubit, s'obtenen dos possibles resultats per al segon qubit, $| 0 ⟩$ en provabilitat $\frac{1}{2}$ i $| 1 ⟩$ en provabilitat $\frac{1}{2}$ . Açò implica que els resultats de les mides estan correlacionados. John Bell va ser el primer en provar que la correlació en les mides dels estats de Bell són més forts de lo que podria existir en un sistema clàssic. Açò dona una pista de que la mecànica quàntica permet una capacitat en el processament de l'informació més allà de lo que seria possible en sistemes clàssics.

Ademés, els estats de Bell formen una base ortonormal i poden llavors ser definits en una mida apropiada. Degut a que els estats de Bell són estats entrellaçats, tota l'informació del sistema pot ser coneguda mentres es reté informació individual de cada subsistema. Per eixemple, l'estat de Bell és un estat pur, pero l'operador matriu densitat reduïda del primer qubit és un estat mixt. Este estat mixt implica que no tota l'informació del primer qubit és coneguda a pesar de que tota l'informació de l'estat de Bell sí és coneguda.^[2]

Per últim, els estats de Bell poden ser tant simètrics com a asimètrics depenent de la permutació dels subsistema (tots els estats són simètrics sobre una permutació dels subsistema $A ⟷ B$ menys l'estat $| Ψ^{-} ⟩$ , que és antisimètric).^[1]

Mida de l'estat de Bell

Archiu:Medidor.png

Símbol de mida d'un estat quàntic.

La mida de Bell és un concepte important en el camp de l'informació quàntica: és una mida mecànic-quàntica de dos qubits que determina en quin dels quatre estats de Bell estan els dos qubits. La mida quàntica colapsa la superposició d'estos estats. Pot ser interpretat com una interfase entre l'informació clàssica i quàntica. En circuits quàntics, una mida proyectiva se sol notar en un símbol d'un medidor.^[2]

Un eixemple de mida quàntica en la base de Bell pot vore's en la computació quàntica. Si una porta CNOT s'aplica a dos qubits i despuix una porta de Hadamard aplicada al primer qubit, una mida es pot realisar en la base computacional. La porta CNOT realisa un desentrelazamiento dels dos qubits que abans estaven entrellaçats. Açò permet convertir l'informació de quàntica a clàssica.

Les mides quàntiques obedixen dos principis claus. El primer, el principi de la mida diferida, prova que qualsevol mida pot moure's i realisar-se al final d'un circuit quàntic. El segon, el principi de la mida implícita, expressa que al final d'un circuit quàntic, la mida es pot realisar per qualsevol llínea quàntica.^[2]

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 New Journal of Physics 11 (2009) 013006 (9pp).
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Nielsen, Michael (2010). Quàntum Computation and Quàntum Information, Cambridge University Press. ISBN 9781139495486.
↑ Zaman, Fakhar; Jeong, Youngmin (2 October 2018). "Counterfactual Bell-State Analysis". Scientific Reports
↑ Physical Review 47: 777-780.
↑ Physics. 1 (3): 195–200.

Este artícul conté una traducció derivada de «Base de Bell» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[:1-1] 1,0 ^1,1 New Journal of Physics 11 (2009) 013006 (9pp).

[:0-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 Nielsen, Michael (2010). Quàntum Computation and Quàntum Information, Cambridge University Press. ISBN 9781139495486.

[3] Zaman, Fakhar; Jeong, Youngmin (2 October 2018). "Counterfactual Bell-State Analysis". Scientific Reports

[4] Physical Review 47: 777-780.

[5] Physics. 1 (3): 195–200.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]