Porta NOT controlada

En llògica digital, un inversor, porta NOT o comporta NOT, és una porta llògica que implementa la negació llògica . A la dreta es mostra la taula de veres. Sempre que la seua entrada està en 0 (zero) o en BAJA, la seua eixida està en 1 o en ALTA, mentres que quan la seua entrada està en 1 o en ALTA, la seua SALIDA va a estar en 0 o en BAJA.

El concepte de porta llògica té la seua generalisació en el marc de l'informació i computació quàntica. Les portes controlades operen sobre 2 cúbits o més, dels quals un o més controlen l'operació (control), que actua sobre el restant (target). La seua forma d'operar pot expressar-se en el següent lema: "Si A és cert, llavors, fes B", i són els que major utilitat presenten en computació, tant clàssica com a quàntica.

L'eixemple típic és la porta NOT controlada o porta CNOT, que és una porta quàntica fonamental en computació quàntica, i que és la generalisació "cuantizada" de la porta llògica (clàssica) NOT. Pot usar-se para entrellaçar i desentrelazar estats EPR. Qualsevol circuit quàntic pot simular-se en precisió arbitrària usant una combinació de portes CNOT i rotacions de cúbits.

Porta O-controlada

Archiu:Controlled gate.svg

Representació d'una porta U-controlada.

Supongam ara que O és una operació unitària que actua sobre un únic cúbit, i la representació del qual matricial és: $U=\left[\begin{array}{cc}{x}_{00}& x_{01}\\ x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$, llavors, la porta O-controlada és una porta que opera sobre dos cúbits de manera que el primer actua com cúbit de control o control qubit, mentres sobre el segon, denominat target qubit actua l'operador unitari U. Sobre la base computacional (ya mencionada prèviament), la porta O-controlada actua com seguix:

$|00⟩\mapsto |00⟩$

$|01⟩\mapsto |01⟩$

$|10⟩\mapsto |1⟩U|0⟩=|1⟩(x_{00}|0⟩+x_{10}|1⟩)$

$|11⟩\mapsto |1⟩U|1⟩=|1⟩(x_{01}|0⟩+x_{11}|1⟩)$

Aixina, la matriu per a la porta controlada O és la següent:

$\mathrm{C}(U)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& x_{00}& x_{01}\\ 0& 0& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$

Quan O és una de les matrius de Pauli, σ_x, σ_i, o σ_z, a voltes s'ampren respectivament els térmens "X-controlada", "I-controlada", o "Z-controlada".

INPUT	OUTPUT
NOT A |- bgcolor="#" align="center"	0	1
1	0

Comportament de la porta CNOT en la base computacional

Archiu:Caps block 24 gate.svg

Representació en circuits d'una porta NOT controlada.

La porta CNOT opera, generalment, sobre 2 cúbits (control qubit i target qubit, respectivament), realisant l'operació NOT en el segon cúbit només quan el primer cúbit està en l'estat $|1⟩$, i deixant-ho inalterado en cas contrari. Considerant la base computacional d'este sistema de dos cúbits: $\{|0{⟩}_C|0{⟩}_T,|0{⟩}_C|1{⟩}_T,|1{⟩}_C|0{⟩}_T,|1{⟩}_C|1{⟩}_T\}\equiv \{|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩\}$ (a on els subíndexs C i T denoten si es tracta del control qubit o del target qubit, respectivament), es té que:

Acció de la porta CNOT sobre la base computacional del sistema

Estat inicial			Estat final
Estat	Control	Target	Estat	Control	Target
$|00⟩$	$|0{⟩}_C$	$|0{⟩}_T$	$|00⟩$	$|0{⟩}_C$	$|0{⟩}_T$
$|01⟩$	$|0{⟩}_C$	$|1{⟩}_T$	$|01⟩$	$|0{⟩}_C$	$|1{⟩}_T$
$|10⟩$	$|1{⟩}_C$	$|0{⟩}_T$	$|11⟩$	$|1{⟩}_C$	$|1{⟩}_T$
$|11⟩$	$|1{⟩}_C$	$|1{⟩}_T$	$|10⟩$	$|1{⟩}_C$	$|0{⟩}_T$

En notació matricial:

$\text{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$

En una notació matemàticament més compacta, pot resumir-se la seua acció en térmens d'una suma mòdul 2:

$\text{CNOT}:|c⟩|t⟩⟼|c⟩|c\oplus t⟩,c,t\in \{0,1\}$,

complint-se: $0\oplus 0=0;0\oplus 1=1;1\oplus 0=1;1\oplus 1=0.$ Esta definició de la porta CNOT permet una generalisació a sistemes quàntics de més dimensions. Com sabem, lo habitual és treballar en sistemes l'espai llògic dels quals està generat per $|0⟩$ i $|1⟩$, i les seues combinacions llineals, coneguts com cúbits. La generalisació dels cúbits a $n$ dimensions és directa, n'hi ha prou en considerar un espai generat per n estats linealmente independents: $\{|0⟩,\mathrm{...},|n-1⟩\}$. Fet açò, la generalisació de la porta CNOT consistirà en passar d'una suma mòdul 2 a una suma mòdul $n$:

$\text{CNOT}:|c⟩|t⟩⟼|c⟩|c\oplus t⟩,c,t\in \{0,1,\mathrm{...},n-1\}$.

Note's que és en el símbol associat a esta suma, $\oplus$, a on té el seu orige la representació circuital de la porta CNOT. Encara que lo habitual és treballar en bits quàntics, açò és, en sistemes quàntics en un espai llògic de dos estats.

Vore també

• Matrius de Pauli
• Esfera de Bloch
• Cúbit
• Algoritme quàntic
• Computació quàntica