Porta quàntica

Una porta quàntica, porta llògica quàntica o comporta llògica quàntica és un circuit quàntic bàsic que opera sobre un chicotet número de qubits. Són per als ordenadors quàntics lo que les portes llògiques són per als ordenadors digitals. Les portes llògiques quàntiques són reversibles, al contrari que moltes portes llògiques clàssiques. Algunes portes llògiques clàssiques, com la porta de Toffoli, proporcionen reversibilidad i poden ser transformades en portes llògiques quàntiques. Les portes llògiques quàntiques són representades per mig de matrius unitàries.

Les portes quàntiques més comunes operen en espais d'un o dos qubits. Açò significa que, com a matrius, les portes quàntiques poden ser descrites per matrius 2×2 o 4×4 en files ortonormalés.

Llògica quàntica pot referir-se tant al comportament de les portes llògiques quàntiques com al formalisme per a mecànica quàntica cridat llògica quàntica, basat en la modificació d'algunes de les regles de la llògica proposicional.

Història

La notació actual per a les portes quàntiques va ser desenrollada per Barenco et al.

Portes comunament usades

Les portes quàntiques se solen representar com a matrius. Una porta que opera sobre k qubits queda representada per una matriu unitària de 2^k x 2^k. El número de qubits en l'entrada i a l'eixida tenen que ser iguals. El resultat de la porta quàntica es troba multiplicant la matriu que representa la porta en el vector que representa l'estat quàntic.

Porta de Hadamard

Representació de la porta de Hadamard en circuits

Esta porta opera sobre un únic qubit. Esta porta realisa l'operació d'assignar l'estat base $|0⟩$ a $\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}(\equiv |+⟩)$ i l'estat base $|1⟩$ a $\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}(\equiv |-⟩)$, sent la base $\{|+⟩,|-⟩\}$ l'anomenada base de Hadamard, i representa una rotació de $\pi$ sobre l'eix $(\hat{x}+\hat{z})/\sqrt{2}$. Equivalentement, és la combinació de dos rotacions, una de $\pi$ sobre l'eix $\hat{z}$ seguit d'una rotació de $\pi /2$ sobre l'eix $\hat{y}$. Es representa per mig de la matriu de Hadamard:

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

La porta de Hadamard no és més que la representació d'un qubit de la transformada quàntica de Fourier.

Com les files de la matriu són ortogonals, $H$ és una matriu unitària.

Portes de desplaçament de fase

Esta família de portes, que operen sobre un únic qubit, deixen l'estat base $|0⟩$ intacte i assignen el $|1⟩$ a $e^{i\varphi }|1⟩$. La provabilitat de medir un $|0⟩$ o un $|1⟩$ no canvia despuix d'aplicar esta porta, no obstant sí que modifiquen la fase de l'estat quàntic. Açò és equivalent a traçar un círcul horisontal (una llínea de latitut) sobre l'esfera de Bloch de $\varphi$ radianes. Estes portes es representen per matrius 2 × 2 de la forma

$R(\varphi )=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\varphi }\end{array}\right]$

a on $\varphi$ és el desplaçament. Algunes de les portes més comunes són la porta $\frac{\pi }{8}$, a on $\varphi =\frac{\pi }{4}$, la porta de fase a on $\varphi =\frac{\pi }{2}$ i la porta de Pauli-Z a on $\varphi =\pi$.

Porta SWAP

Representació d'una porta SWAP

Esta porta intercanvia dos qubits. Es representa per la matriu:

$\text{SWAP}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$.

Portes controlades

Archiu:Caps block 3 gate.svg

Representació en circuits d'una porta NOT controlada

Les portes controlades operen sobre 2 qubits o més, dels quals un o més controlen l'operació. Un eixemple seria, la porta NOT controlada (o CNOT) opera sobre 2 qubits, i realisa l'operació NOT en el segon qubit sol quan el primer qubit és $|1⟩$, i en un atre cas ho deixa intacte. Es representa per la matriu

$\text{CNOT}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$.

De forma general, supongam ara que O és una porta que opera en un únic qubit, i la representació del qual matricial és:

$U=\left[\begin{array}{cc}{x}_{00}& x_{01}\\ x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$,

llavors la porta-O controlada és una porta que opera sobre dos qubits de manera que el primer qubit actua com a controlador. S'assigna els estats base com seguix:

Archiu:Controlled gate.svg

Representació d'una porta-O controlada

$|00⟩\mapsto |00⟩$

$|01⟩\mapsto |01⟩$

$|10⟩\mapsto |1⟩U|0⟩=|1⟩(x_{00}|0⟩+x_{10}|1⟩)$

$|11⟩\mapsto |1⟩U|1⟩=|1⟩(x_{01}|0⟩+x_{11}|1⟩)$

Aixina, la matriu per a la porta controlada O és la següent:

$\mathrm{C}(U)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& x_{00}& x_{01}\\ 0& 0& x_{10}& x_{11}\end{array}\right]$

Quan O és una de les matrius de Pauli, σ_x, σ_i, o σ_z, a voltes s'ampren respectivament els térmens "X-controlada", "I-controlada", o "Z-controlada".

Vore també

• Matrius de Pauli
• Esfera de Bloch
• Computació quàntica
• Divisor de fes
• Porta quàntica
• Grup unitari especial
• Matrius de Pauli
• Esfera de Bloch