Codificació superdensa

La codificació superdensa, en teoria quàntica de l'informació, és un procés en el qual es poden transmetre dos bits clàssics almagasenats en un qubit entre dos posicions (lo suficientment alluntades per a que no hi haja influencia alguna entre els sistema) i per mig d'un canal quàntic. Es denomina superdensa perque podem enviar en un sol qubit dos bits.

L'estat quàntic que es transmet és lo que es diu qubit (o cúbit), que no és més que l'anàlec quàntic del bit. Un bit és, en resumides contes, un sistema que pot existir en dos estats distints, per eixemple, per a representar 0 i 1. Llavors, un qubit serà un sistema quàntic que el seu espai d'estats té dimensió 2.

Un dels requisits és tindre un qubit en cada posició, que estaran entrellaçats.^[1]^[2] Este procés és similar al de la teleportación quàntica, en la qual es vol teleportar un estat quàntic d'un sistema a un atre per mig de la transmissió per un canal clàssic de dos bits clàssics.^[3] Es podria dir que la teleportación quàntica i la codificació superdensa són "processos inversos" ya que, com es vorà més alvance, el procediment per a un d'ells és similar al de l'atre, pero de forma inversa. Una característica que compartixen abdós processos és que necessiten d'un estat entrellaçat, sent este estat un dels pertanyents a la base de Bell.

Realisació

Com s'ha dit, volem enviar en un sol qubit l'informació de dos bits. Per a això, s'inicia el procés en dos sistemes, Alice i Bob (o sistemes A i B), els quals compartixen un estat entrellaçat, en un qubit cada u. Este estat sol triar-se entre un dels estats de la base de Bell.

${\begin{matrix} | Φ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{00} ⟩ \\ | Φ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{10} ⟩ \\ | Ψ^{+} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B} + | 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B}) \equiv | β_{01} ⟩ \\ | Ψ^{-} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} - | 1 ⟩_{A} \otimes | 0 ⟩_{B}) \equiv | β_{11} ⟩ \end{matrix}$

Per facilitat, es denotarà als estats de les següents formes

$| 0 ⟩_{A} \otimes | 1 ⟩_{B} \equiv | 0 ⟩_{A} | 1 ⟩_{B} \equiv | 01 ⟩$

sent les tres equivalents entre sí, recordant sempre que el primer qubit de l'estat pertanydrà a Alice i el segon a Bob.

Supongam que s'elegix l'estat $| β_{00} ⟩$ , al que es denominarà $| Ψ_{0} ⟩ (= | β_{00} ⟩)$ . Una volta elegit l'estat de Bell que compartiran, se separaran una distància suficient tal que no puga haver cap influència entre abdós sistemes.

Codificació i transmissió

L'objectiu ara és que Alice vol enviar per mig d'un qubit a Bob dos bits, cridem-los $M_{1} M_{2}$ . Les possibilitats per a cada bit són 0 o 1, per lo que tenim quatre conjunts de bits que Alice pot enviar. Llavors, depenent de quin dos bits Alice vullga enviar, tindrà que realisar una certa operació al seu estat. Els operadors que s'aplicaran a este estat pertanydran al conjunt ( $I$ , X, $i$ I, Z), que no són més que l'operador (o matriu) identitat i les tres matrius de Pauli.

Recordar abans com actuen estos operadors sobre els estats $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩$

${\begin{matrix} I | 0 ⟩ = | 0 ⟩ \\ I | 1 ⟩ = | 1 ⟩ \end{matrix}$ ${\begin{matrix} X | 0 ⟩ = | 1 ⟩ \\ X | 1 ⟩ = | 0 ⟩ \end{matrix}$ ${\begin{matrix} i Y | 0 ⟩ = - | 1 ⟩ \\ i Y | 1 ⟩ = | 0 ⟩ \end{matrix}$ ${\begin{matrix} Z | 0 ⟩ = | 0 ⟩ \\ Z | 1 ⟩ = - | 1 ⟩ \end{matrix}$

Llavors, en funció dels bits que es vullguen enviar, es realisaran certes operacions i s'obtindrà un nou estat, que es pot vore en la taula següent

Bits que Alice vol enviar $M_{1} M_{2}$	Operació a aplicar	Resultat
00	$I$	$\| Ψ_{1} (00) ⟩ = I \| Ψ_{0} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\| 00 ⟩ + \| 11 ⟩) \equiv \| β_{00} ⟩$
10	$Z$	$\| Ψ_{1} (10) ⟩ = Z \| Ψ_{0} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\| 00 ⟩ - \| 11 ⟩) \equiv \| β_{10} ⟩$
01	$X$	$\| Ψ_{1} (01) ⟩ = X \| Ψ_{0} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\| 10 ⟩ + \| 01 ⟩) \equiv \| β_{01} ⟩$
11	$Z X = i Y$	$\| Ψ_{1} (11) ⟩ = Z X \| Ψ_{0} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\| 01 ⟩ - \| 10 ⟩) \equiv \| β_{11} ⟩$

Aixina, per a cada elecció del conjunt de bits, es té una operació que Alice realisa per a obtindre l'estat $| Ψ_{1} (M_{1} M_{2}) ⟩$ .

Fem un breu apunt. Si Alice vol enviar els bits 01, depenent de la bibliografia que es consulte, realisarà l'operació $Z$ o $X$ , i lo mateix si vol enviar els bits 10. Per a un enteniment més intuïtiu, ací s'ha elegit esta convenció per a que el resultat final que més vesprada definirem siga de la forma $| Ψ_{3} (M_{1} M_{2}) ⟩ = | M_{1} M_{2} ⟩$ . Açò no ocorre, per eixemple, en el llibre de M. A. Nielsen i I. L Chuang, Quàntum computation and quàntum information^[4]^[1]. En ell, per a enviar els bits 10 es realisa en l'operador $X$ i els bits 01 en $Z$ , al contrari de lo que fem ací. El resultat obtingut llavors segons esta convenció seria de la forma $| Ψ_{3} (M_{1} M_{2}) ⟩ = | M_{2} M_{1} ⟩$ , en l'orde dels bits canviat, al contrari de lo que nosatres obtenim. També existix bibliografia^[5] en la que, per a obtindre els bits 11, Alice realisa l'operació $X Z$ , canviant l'orde d'actuació dels operadors tal i com ací es fa. Lo que provoca açò és que obtindrem $| Ψ_{3} (11) ⟩ = - | 11 ⟩$ , a on eixe signe negatiu no és més que una fase afegida que no altera l'experiment.

Despuix d'este incís, recordar que Alice ha aplicat certs operadors al seu estat inicial $| Ψ_{0} ⟩$ per a obtindre l'estat $| Ψ_{1} (M_{1} M_{2}) ⟩$ . Este estat és el que Alice li enviarà a Bob per un canal quàntic.

Decodificación I: Porta CNOT

Una volta que Bob reba l'estat (o qubit) $| Ψ_{1} (M_{1} M_{2}) ⟩$ , lo primer que farà serà aplicar-li una porta CNOT al qubit rebut d'Alice i al que ell ya tenia. El fonament d'una porta CNOT és que un qubit nos servixca de control mentres que un atre siga un objectiu (target).

L'aplicar una porta CNOT es pot vore com aplicar un operador els estats, tal que la matriu en la que es pot representar a este operador siga de la forma

$CNOT = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})$

Vejam qué significa aplicar este operador. Si es té un estat de dos qubits $| a b ⟩$ , a on a i b poden ser 0 o 1, l'operador CNOT farà que si a=0, b no canviarà de valor, pero si a=1, b canviarà al valor contrari. És dir,

${\begin{matrix} C N O T | 00 ⟩ = | 00 ⟩ \\ C N O T | 01 ⟩ = | 01 ⟩ \\ C N O T | 10 ⟩ = | 11 ⟩ \\ C N O T | 11 ⟩ = | 10 ⟩ \end{matrix}$

És conegut el fet de que aplicar una porta CNOT a un estat farà que dos qubits s'entrellacen. Lo que no és tan conegut és que també pot desentrelazar dos qubits. Açò es deu a que l'operador CNOT és un operador unitari, és dir, el seu matriu inversa es correspon en la seua adjunta, o lo que és lo mateix, $C N O T \cdot (C N O T)^{- 1} = C N O T \cdot (C N O T)^{†} = I$ . Si es busca quin és la matriu adjunta, es pot demostrar que és la mateixa matriu CNOT, és dir, l'operador invers a l'operador CNOT és ell mateixa. Per lo tant, l'operador CNOT pugues tant entrellaçar com desentrelazar dos qubits.

Despuix d'esta explicació, Bob aplica esta porta als dos qubits que posseïx, sent el de control el qubit d'Alice i el seu l'objectiu. Vejam l'estat resultant per als quatre casos^[4]

${\begin{matrix} | Ψ_{2} (00) ⟩ = C N O T | Ψ_{1} (00) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 10 ⟩) \\ | Ψ_{2} (10) ⟩ = C N O T | Ψ_{1} (10) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ - | 10 ⟩) \\ | Ψ_{2} (01) ⟩ = C N O T | Ψ_{1} (01) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 11 ⟩ + | 01 ⟩) \\ | Ψ_{2} (11) ⟩ = C N O T | Ψ_{1} (11) ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ - | 11 ⟩) \end{matrix}$

Decodificación II: Operador de Hadamard i obtenció del mensage

A continuació Bob aplicarà una porta o operador de Hadamard. L'operador de Hadamard representa una rotació d'àngul $π$ sobre l'eix $(\hat{x} + \hat{z}) / \sqrt{2}$ , i està representat en forma matricial de la següent manera

$H = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$

o lo que és lo mateix

${\begin{matrix} H | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) \equiv | + ⟩ \\ H | 1 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ - | 1 ⟩) \equiv | - ⟩ \end{matrix}$ Quan Alice i Bob compartixen un estat de Bell (o dos qubits), dos bits clàssics poden enviar-se per mig de la transmissió d'un qubit, procés que es denomina codificació superdensa. A on $| + ⟩$ i $| - ⟩$ són les components d'una base denominada base de Hadamard, molt utilisada en mecànica quàntica. Llavors Bob aplicarà este operador sobre el qubit d'Alice, és dir, el primer qubit. Es pot comprovar que, despuix d'unes operacions bàsiques, s'obté lo següent^[4]

${\begin{matrix} | Ψ_{3} (00) ⟩ = H | Ψ_{2} (00) ⟩ = | 00 ⟩ \\ | Ψ_{3} (10) ⟩ = H | Ψ_{2} (01) ⟩ = | 10 ⟩ \\ | Ψ_{3} (01) ⟩ = H | Ψ_{2} (10) ⟩ = | 01 ⟩ \\ | Ψ_{3} (11) ⟩ = H | Ψ_{2} (11) ⟩ = | 11 ⟩ \end{matrix}$

És dir, despuix d'aplicar una porta CNOT i una porta de Hadamard, Bob obtindrà un estat de la forma $| m_{1} m_{2} ⟩$ , en el qual podrà saber qué dos bits li ha enviat Alice interpretant $m_{1} = M_{1}$ i $m_{2} = M_{2}$ . Recordar l'apunt que s'ha fet just despuix de l'anterior taula. Si s'haguera elegit la convenció de que per als bits 10 s'aplica l'operador $X$ i per als bits 01 el $Z$ , s'hagueren obtingut els estats de la forma $| m_{2} m_{1} ⟩$ .

Aixina, s'ha vist com es pot enviar dos bits clàssics a partir de la transmissió d'un qubit d'un sistema a un atre per mig del procés de codificació superdensa.

La figura que es té a la dreta representa un circuit quàntic, simbolisant les operacions seguides en la codificació superdensa. La primera part consistix en entrellaçar els qubits d'Alice i Bob, el qual en este procés ya s'ha supost com a condició inicial, pero es pot vore en el procés de teleportación quàntica, aplicant un operador CNOT i de Hadamard. En la segona part Alice codifica els dos bits en un qubit, representat pels operadors $X$ (el círcul en $b_{2}$ ) i $Z$ (el quadrat en $b_{1}$ ). Per últim, una volta que Bob ya té els dos qubits, est realisa una porta CNOT per a desentrelazar els dos qubits, representada per la llínea conectant els dos qubits, i una operador de Hadamard sobre el qubit d'Alice (representat pel quadrat en $H$ ). Els últims dos quadrats en un segment de curva i una flecha travessant-ho s'interpreten com una mida, obtenint els bits que Alice volia enviar.

Estat de N-dimensions

Tot açò que s'ha realisat ha segut para dos dimensions, és dir, quan tenim bits i qubits. Pero es pot generalisar per a N dimensions, tenint dits i qudits (que ve de l'anglés per ser d-dimensional), com per eixemple, trits i qutrits. Per a dos dimensions, es té que les components de la base de dimensió 2 de l'espai de Hilbert (que no l'única base, si no l'usual o canònica) són $| 0 ⟩$ i $| 1 ⟩$ , llavors, per a N dimensions, la base estarà formada des de $| 0 ⟩$ fins a $| N - 1 ⟩$ .

Llavors, si es tenen dos qudits, tindrem un espai de $N^{2}$ dimensions (en el cas de dos qutrits, la dimensió és 9). Per a codificació superdensa, el procés descrit no canvia: Alice seguix fent certes operacions sobre la seua qudit, en la base N-dimensional, per a després enviar-li-ho a Bob, que aplicarà els deguts operadors als dos qudits en la base de $N^{2}$ dimensions, obtenint els dos dits que Alice volia enviar. Destacar que, com no s'està en 2 dimensions, els operadors utilisats ací ( $C N O T, H, X, Y, Z$ ) tindran que ser redefinits per a cada dimensió.

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Quàntum Computation and Quàntum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, p. 97. ISBN 978-1-139-49548-6.
↑ “Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states” (1992). Physical Review Letters 69 (20): 2881. doi:10.1103/PhysRevLett.69.2881. PMID 10046665.
↑ Wilde, Mark (18 d'abril de 2013). Quàntum Information Theory, Cambridge University Press, p. 181. ISBN 978-1-107-03425-9.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 1974-, Nielsen, Michael A., Chuang, Isaac L. (2010). Quàntum computation and quàntum information, 10th anniversary ed edició, Cambridge University Press. OCLC 700706156. ISBN 9780511992773.
↑ John Watrous. «Superdense coding, quàntum circuits, and partial measurements». Archivat des d'el original, el 29 de maig de 2018. Consultat el 29 de maig de 2018.

Este artícul conté una traducció derivada de «Codificación superdensa» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[NielsenChuang20102-1] 1,0 ^1,1 Quàntum Computation and Quàntum Information: 10th Anniversary Edition, Cambridge University Press, p. 97. ISBN 978-1-139-49548-6.

[bennett1992communication2-2] “Communication via one- and two-particle operators on Einstein-Podolsky-Rosen states” (1992). Physical Review Letters 69 (20): 2881. doi:10.1103/PhysRevLett.69.2881. PMID 10046665.

[Wilde20132-3] Wilde, Mark (18 d'abril de 2013). Quàntum Information Theory, Cambridge University Press, p. 181. ISBN 978-1-107-03425-9.

[:0-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 1974-, Nielsen, Michael A., Chuang, Isaac L. (2010). Quàntum computation and quàntum information, 10th anniversary ed edició, Cambridge University Press. OCLC 700706156. ISBN 9780511992773.

[5] John Watrous. «Superdense coding, quàntum circuits, and partial measurements». Archivat des d'el original, el 29 de maig de 2018. Consultat el 29 de maig de 2018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]