Moment (matemàtiques)

En matemàtiques, els moments d'una funció són certes mides quantitatives relacionades en la forma de la gràfica de la funció. Si la funció representa la densitat de massa, llavors el moment zero és la massa total, el primer moment (normalisat per la massa total) és el centre de masses i el segon moment és el moment d'inèrcia. Si la funció és una distribució de provabilitat, llavors el primer moment és l'esperança, el segon és el moment central o varianza, el tercer o moment estàndar quantifica l'asimetria estadística i el quart moment estàndar és la curtosis. El concepte matemàtic està estretament relacionat en el concepte de moment en física.

Per a una distribució de massa o provabilitat en un interval acotat, la colecció de tots els moments (de tots els órdens, de $0$ a $\infty$ ) determina de forma única la distribució (problema del moment de Hausdorff). No ocorre lo mateix en intervals illimitats (problema del moment de Hamburger).

A mitan de el XIX, Pafnuti Chebyshov es va convertir en la primera persona en pensar sistemàticament en térmens dels moments d'una variable aleatòria.^[1]

Rellevància dels moments

El moment brut $n$ (és dir, el moment respecte al valor zero) d'una distribució es definix per^[2] $μ'_{n} = ⟨ x^{n} ⟩$

a on

$⟨ f (x) ⟩ = {\begin{matrix} \sum f (x) P (x), & distribución discreta \\ \int f (x) P (x) d x, & distribución continua \end{matrix}$

El moment $n$ d'una funció contínua de valor real f(x) d'una variable real respecte a un valor c és l'integral $μ_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} (x - c)^{n} f (x) d x .$

És possible definir moments per a una variable aleatòria d'una manera més general que els moments per a funcions en valors reals (vore moments en espais mètrics). El moment d'una funció, si no s'especifica alguna cosa distint, sol referir-se a l'expressió anterior en c = 0.

Per al segon moment i superiors, generalment s'utilisen els moment central (moments sobre la mija, sent c la mija) en lloc dels moments sobre zero, perque proporcionen informació més clara sobre la forma de la distribució.

També es poden definir atres moments. Per eixemple, el moment invers $n$ sobre zero és $E [X^{- n}]$ i el moment logarítmic $n$ sobre zero és $E [\ln^{n} (X)] .$

El moment $n$ sobre zero d'una funció de densitat de provabilitat f(x) és la mija o esperança de $X n$ i es denomina moment brut o moment cru.^[3] Els moments respecte de la mija $μ$ es denominen moments centrals, que descriuen la forma de la funció, sense considerar translacions.

Si f és una funció de densitat de provabilitat, llavors el valor de l'integral anterior es diu $n$ -ésimo moment de distribució de provabilitat. De manera més general, si F és una funció de distribució de provabilitat acumulada de qualsevol distribució de provabilitat, que pugues no tindre una funció de densitat, llavors el moment $n$ de la distribució de provabilitat ve dau per l'integral de Riemann-Stieltjes $μ'_{n} = E [X^{n}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{n} d F (x)$

a on X és una variable aleatòria que té esta distribució acumulada F, i $I$ és l'esperança o mija.

Quan

$E [| X^{n} |] = \int_{- \infty}^{\infty} | x^{n} | d F (x) = \infty$ es diu que el moment no existix. Si el moment $n$ sobre qualsevol punt existix, també existix el moment $(n - 1)$ (i, per lo tant, tots els moments d'orde inferior) sobre cada punt. El moment zero de qualsevol funció de densitat de provabilitat és 1, ya que l'àrea baix qualsevol funció de densitat de provabilitat deu ser igual a un.

Rellevància dels moments (crus, centrals, normalisats) i cumulantes (bruts, normalisats), en relació en les propietats nomenades de les distribucions
Moment ordinal	Moment			Cumulante
Moment ordinal	Cru	Central	Estandardisat	Brut	Normalisat
1	Mija	0	0	Mija	Plantilla:Cela
2	–	Varianza	1	Varianza	1
3	–	–	Asimetria estadística	–	Asimetria
4	–	–	Curtosis (defecte o historial)	–	Excés de curtosis
5	–	–	Hiperasimetría	–	–
6	–	–	Hipercola	–	–
7+	–	–	–	–	–

Moments estàndar

Artícul principal → Moment estàndar.

El moment central $n$ -ésimo normalisat o moment estandardisat és el moment central $n$ -ésimo dividit per $σ n$ . El moment central $n$ -ésimo normalisat de la variable aleatòria $X$ és $\frac{μ_{n}}{σ^{n}} = \frac{E [(X - μ)^{n}]}{σ^{n}} = \frac{E [(X - μ)^{n}]}{E {[(X - μ)^{2}]}^{\frac{n}{2}}} .$

Estos moments centrals normalisats són cantitats adimensionales, que representen la distribució independentment de qualsevol canvi llineal d'escala.

Per a una senyal elèctrica, el primer moment és el seu nivell de corrent contínua i el segon moment és proporcional a la seua potència mija.^[4]^[5]

Moments notables

Mija

Artícul principal → Mija (matemàtiques).

El primer moment brut és la mija, generalment denominada $μ \equiv E [X] .$ .

Varianza

Artícul principal → Varianza.

El segon moment central és la varianza. La raïl quadrada positiva de la varianza és la desviació típica $σ \equiv {(E [(x - μ)^{2}])}^{\frac{1}{2}} .$

Asimetria

Artícul principal → Asimetria estadística.

El tercer moment central és la mida del desequilibri de la distribució. Qualsevol distribució simètrica tindrà un tercer moment central, si es definix, de zero. El tercer moment central normalisat es denomina asimetria estadística, a sovint $γ$ . Una distribució biaixada cap a l'esquerra (la coa de la distribució és més llarga a l'esquerra) tindrà una asimetria negativa. Una distribució que està biaixada cap a la dreta (la coa de la distribució és més llarga a la dreta) tindrà una asimetria positiva.

Per a distribucions que no són molt diferents d'una distribució normal, la seua mijana estarà prop de $μ - γσ /6$ ; i la moda al voltant de $μ - γσ /2$ .

Curtosis

Artícul principal → Curtosis.

El quart moment central és una mida del pes de la coa de la distribució. Ya que és l'expectativa d'una quarta potència, el quart moment central, quan es definix, sempre és no negatiu, i llevat distribucions puntuals, sempre és estrictament positiu. El quart moment central d'una distribució normal és $3 σ 4$ .

La curtosis $κ$ es definix com el quart moment central estandardisat (de manera equivalent, com en la següent secció, l'excés de curtosis és el quarto cumulante dividit pel quadrat del segon cumulante).^[6]^[7] Si una distribució té coes en un pes significatiu, la curtosis serà alta (i es parla de distribucions leptocúrticas); pel contrari, les distribucions en coes de poc pes (per eixemple, les distribucions acotades com l'uniforme) tenen curtosis baixa (i llavors es parla de distribucions platicúrticas).

La curtosis pot ser positiva sense llímit, pero $κ$ deu ser major o igual a $γ 2 + 1$ . L'igualtat solament es verifica para distribucions binarias. Per a distribucions asimètriques no acotades i no molt alluntades de la normal, $κ$ tendix a estar en algun lloc en els valors compresos entre $γ 2$ i $2 γ 2$ .

La desigualtat es pot provar considerant que $E [{(T^{2} - a T - 1)}^{2}]$ a on $T = (X - μ)/ σ$ . És l'expectativa d'un quadrat, per lo que no és negativa per a tot a. No obstant, també és un polinomi quadràtic en a. El seu discriminante deu ser no positiu, lo que proporciona la relació requerida.

Moments d'orde més alt

Es denominen moments d'alt orde a aquells superiors al quart orde.

De la mateixa manera que en la varianza, l'asimetria i la curtosis, estos són valors estadístics d'alt orde, que involucren combinacions no llineals de les senyes i poden usar-se per a la descripció o estimació de paràmetros de forma adicionals. Quant major és el moment, més difícil és d'estimar, en el sentit de que es requerixen mostres més grans per a obtindre estimacions de calitat similar. Açò es deu a l'excés de graus de llibertat requerits pels valors estadístics d'órdens superiors. Ademés, poden ser sotils d'interpretar, i a sovint s'entenen més fàcilment en térmens de moments d'orde inferior (compare's en les derivades d'orde superior de sobreaceleración i de rebote en física). Per eixemple, aixina com el moment de quart orde (curtosis) pot interpretar-se com la "importància relativa de les coes en comparació als muscles en la contribució a la dispersió" (per a una cantitat donada de dispersió, una curtosis més alta correspon a coes més grosses, mentres que una curtosis més baixa correspon a muscles més amples), el moment de quint orde pot interpretar-se com una mida de la "importància relativa de les coes en comparació al centre (la moda i els muscles) en la contribució a l'asimetria" (per a una determinada cantitat d'asimetria, un quint moment més alt correspon a una major asimetria en les porcions de la coa i poca asimetria de la moda, mentres que el quint moment inferior correspon a una major asimetria en els muscles).

Moments mixts

Els moments mixts són aquells que involucren múltiples variables.

El valor $E [X^{k}]$ es denomina moment d'orde $k$ (els moments també es definixen per a $k$ no sancer). Els moments de la distribució conjunta de variables aleatòries $X_{1} ... X_{n}$ es definixen de manera similar. Per a qualsevol número entero $k_{i} \geq 0$ , l'expectativa matemàtica $E [{X_{1}}^{k_{1}} \dots {X_{n}}^{k_{n}}]$ es denomina moment mixt d'orde $k$ (a on $k = k_{1} + ... + k_{n}$ ), i $E [(X_{1} - E [X_{1}])^{k_{1}} \dots (X_{n} - E [X_{n}])^{k_{n}}]$ es denomina moment mixt central d'orde $k$ . El moment mixt $E [(X_{1} - E [X_{1}]) (X_{2} - E [X_{2}])]$ es diu covarianza i és una de les característiques bàsiques de dependència entre variables aleatòries.

Alguns eixemples són la covarianza, la coasimetría i la cocurtosis. Si be existix una covarianza única, existixen múltiples coasimetrías i cocurtosis.

Propietats dels moments

Transformació des del centre

Ya que

$(x - b)^{n} = (x - a + a - b)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (x - a)^{i} (a - b)^{n - i}$

a on $(\binom{n}{i})$ és el coeficient binomial, es deduïx que els moments sobre b es poden calcular a partir dels moments sobre a per mig de la relació: $E [(x - b)^{n}] = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) E [(x - a)^{i}] (a - b)^{n - i} .$

Moment de la convolución d'una funció

Artícul principal → Convolución.

El moment de la convolución d'una funció $h (t) = (f * g) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f (τ) g (t - τ) d τ$ pren la forma

$μ_{n} [h] = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) μ_{i} [f] μ_{n - i} [g]$

a on $μ_{n} [\cdot]$ denota el moment $n$ de la funció indicada entre paréntesis. Esta identitat es desprén de la teorema de convolución per a la funció generadora de moments i de l'aplicació de la regla de la cadena per a la derivada d'un producte.

Referències

↑ George Mackey. “HARMONIC ANALYSIS AS THE EXPLOITATION OF SYMMETRY - A HISTORICAL SURVEY”. Bulletin of the American Mathematical Society 3.
↑ Papoulis, A. (1984). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed., New York: McGraw Hill Education, pp. 145–149.
↑ «Raw Moment -- from Wolfram MathWorld». Raw Moments at Math-world
↑ (2011) Electrical Engineering: Know It All, Newnes, p. 884. ISBN 978-0-08-094966-6.
↑ (2009) A First Course in Digital Communications, Cambridge University Press, p. 87. ISBN 978-0-521-87613-1.
↑ (2002) Statistical Inference, 2 edició, Pacific Grove: Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.
↑ “Kurtosis: A Critical Review” (1988). The American Statistician 42 (2): 111–119. American Statistical Association. doi:10.2307/2684482.

Este artícul conté una traducció derivada de «Momento (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] George Mackey. “HARMONIC ANALYSIS AS THE EXPLOITATION OF SYMMETRY - A HISTORICAL SURVEY”. Bulletin of the American Mathematical Society 3.

[2] Papoulis, A. (1984). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed., New York: McGraw Hill Education, pp. 145–149.

[3] «Raw Moment -- from Wolfram MathWorld». Raw Moments at Math-world

[MaxfieldBird2011-4] (2011) Electrical Engineering: Know It All, Newnes, p. 884. ISBN 978-0-08-094966-6.

[NguyenShwedyk2009-5] (2009) A First Course in Digital Communications, Cambridge University Press, p. 87. ISBN 978-0-521-87613-1.

[CasellaBerger-6] (2002) Statistical Inference, 2 edició, Pacific Grove: Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.

[BalandaMacGillivray88-7] “Kurtosis: A Critical Review” (1988). The American Statistician 42 (2): 111–119. American Statistical Association. doi:10.2307/2684482.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]