Anex:Sumes de recíprocs

En matemàtiques i teoria de números, la suma de recíprocs (o suma d'inversos), tal com el seu nom indica, es definix com la suma dels recíprocs d'una série de número entero positius (número natural). És una suma de fraccions unitàries. Si se sumen els recíprocs d'una cantitat infinita de números, generalment els térmens s'expressen com una successió el terme de la qual n es definix com la suma dels primers n recíprocs.

Per a sumes de recíprocs sobre una série finita de números, les preguntes clau inclouen si existix una expressió simple per al valor de la suma, si la suma deu ser menor que un valor determinat i si la suma és alguna volta un número entero.

Quan la suma dels recíprocs està formada per una série infinita, sorgixen les següents preguntes: primer, ¿la successió de sumes és divergent (és dir, excedix finalment algun número donat) o és convergent (lo que significa que s'aproxima arbitrariamente a algun número sense aplegar a excedir-ho)? Es diu que un conjunt de sancers positius és un gran si la suma dels seus recíprocs divergix, i chicotet si convergix). Segon, si convergix, ¿quin és una expressió simple per al valor al que convergix? ¿És eixe valor un número racional o un número irracional, i és algebraic o transcendental?

Número finito de térmens

• La mija harmònica d'un conjunt de sancers positius és el número de térmens multiplicat pel recíproc de la suma dels seus recíprocs.
• l'equació òptica requerix que la suma dels recíprocs de dos sancers positius a i b siga igual al recíproc d'un tercer sancer positiu c. Totes les solucions vénen donades per a = mn + m², b = mn + n², c = mn. Esta equació apareix en diversos contexts en geometria elemental.
• La conjectura de Fermat–Catalan es referix a una equació diofántica determinada, que iguala la suma de dos térmens, cada u un sancer positiu elevat a una potència sancera positiva, a un tercer terme que també és un sancer positiu elevat a una potència sancera positiva (sense que els sancers base tinguen cap factor primer en comú). La conjectura pregunta si l'equació té una infinitat de solucions en les que la suma dels recíprocs dels tres exponents de l'equació deu ser menor que 1. El propòsit d'esta restricció és excloure la coneguda infinitat de solucions en les que dos exponents són 2 i l'atre exponent és qualsevol número par.
• El n-ésimo número harmònic, que és la suma dels recíprocs dels primers n sancers positius, mai és un sancer llevat en el cas de n = 1.
• Ademés, József Kürschák va demostrar en 1918 que la suma dels recíprocs d'número natural consecutius (ya siga que comencen des d'1 o no) mai és un sancer.
• La suma dels recíprocs dels primers n primers no és un sancer per a cap n.
• Existixen 14 combinacions distintes de quatre sancers tals que la suma dels seus recíprocs és 1. Sis d'elles usen quatre sancers distints i huit repetixen a lo manco un sancer.
• Una fracció egipcíaca és la suma d'un número finito de recíprocs de sancers positius. Segons la demostració del problema de Erdős-Graham, si el conjunt de número entero majors que un es repartix en un número finito de subconjunts, llavors un d'estos subconjunts pot usar-se per a formar una representació fraccionaria egipcíaca d'1.
• La conjectura de Erdős-Straus establix que para tot sancer n= 2, l'número racional 4/n pot expressar-se com la suma de tres recíprocs de sancers positius.
• El cocient de Fermat en base 2, que és $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ per a un cosí impar p, quan s'expressa en mod p i es multiplica per -2, és igual a la suma dels recíprocs mòdul p dels números que es troben en la primera mitat de l'interval 1, p-1.

• En qualsevol triàngul, la suma dels recíprocs dels seus altures és igual al recíproc del ràdio de la seua circumferència inscrita (independentment de si són sancers o no).
• En un triàngul rectàngul, la suma dels recíprocs dels quadrats de les altures des dels catetos (o, equivalentement, dels quadrats dels catetos mateixos) és igual al recíproc del quadrat de l'altura des de l'hipotenusa (el teorema de Pitágoras invers). Açò es complix tant si els números són sancers com si no. Existix una fòrmula (vore triàngul sancer) que genera tots els casos sancers.
• Un triàngul que no necessàriament pertany al pla euclídeo pot especificar-se en ànguls $\frac{\pi }{p},$, $\frac{\pi }{q},$ i $\frac{\pi }{r}.$ Llavors, el triàngul està en l'espai euclídeo si la suma dels recíprocs de p, q i r és igual a 1, en l'espai esfèric si eixa suma és major que 1, i en l'espai hiperbòlic si la suma és menor que 1.
• Un divisor harmònic és un sancer positiu que els seus divisores tenen una mija harmònica sancera. Els primers cinc són 1, 6, 28, 140 i 270. Es desconeix si algun divisor harmònic (aparte d'1) és impar, pero no hi ha cap impar menor que 10²⁴.
• La suma dels recíprocs dels divisores d'un número perfecte és 2.
• Quan es distribuïxen huit punts sobre la superfície d'una esfera en l'objectiu d'maximizar la distància entre ells, la forma resultant correspon a un antiprisma quadrat. Alguns métodos específics per a distribuir els punts inclouen, per eixemple, minimisar la suma de tots els recíprocs dels quadrats de les distàncies entre punts.

Infinits térmens

Series convergents

• Una successió sense suma de sancers positius creixents és aquella per a la que cap número és la suma de cap subconjunt dels anteriors. La suma dels recíprocs dels números en qualsevol successió sense suma és menor que 2,8570.

• La suma dels recíprocs dels números heptagonales convergix a un valor conegut que no solament és irracional, sino també transcendental, i per al que existix un fòrmula complicada.

• Se sap que la suma dels recíprocs dels número primo bessons, dels que pugues haver una cantitat finita o infinita, és finita, i es denomina constant de Brun, que aproximadament val 1,90216. Per convenció, el recíproc de $5$ apareix dos voltes en la suma (ya que 5 és primer bessó sobre 3 i a 7).

• Se sap que la suma dels recíprocs dels número primo de Proth, la cantitat dels quals pot ser finita o infinita, és finita: Plantilla:Nobr

• Els cuadrupletes primers són parells de primers bessons en un sol número impar entre ells. La suma dels recíprocs dels números en quartets primers és Plantilla:Nobr

• La suma dels recíprocs de les potències perfectes (incloent els duplicats) Plantilla:Nobr

• La suma dels recíprocs de les potències perfectes (excloent els duplicats) és aproximadament 0,8745.

• La suma dels recíprocs de les potències de la forma $n^n$ és aproximadament igual a 1,2913. La suma és exactament igual a l'integral definida

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x^x}$

Esta identitat va ser descoberta per Johann Bernoulli en 1697, i ara es coneix com una de les dos identitats del somi del sofomoro.

• El teorema de Goldbach-Euler establix que la suma dels recíprocs dels números que són 1 menys que una potència perfecta (excloent els duplicats) és 1.

• La suma dels recíprocs de tots els números triangulars distints de zero Plantilla:Nobr

• La constant dels inversos de Fibonacci és la suma dels recíprocs dels números de la successió de Fibonacci, constant de la que se sap que és finita i irracional i aproximadament igual a 3,3599. Per a atres sumes finitas de subconjunts dels recíprocs dels números de Fibonacci, vore successió de Fibonacci.

• Un factorial exponencial és una operació recursivamente definida com $a_0=1,a_n=n^{a_{n-1}}.$ Per eixemple, $a_4=4^{3^{2^1}}$, a on els exponents s'evaluen de dalt cap a avall. La suma dels recíprocs dels factorials exponencials des d'1 en avant és aproximadament 1,6111 i és transcendent.

• Un número poderós és un sancer positiu per al que cada cosí que apareix en el seu factorización ho fa a lo manco dos voltes. La suma dels recíprocs dels números poderosos és propenca a 1,9436.

• La suma dels recíprocs dels números factorials és igual al número trascendente i (una de les dos constants denominades número i).

• La suma dels recíprocs dels quadrats perfectes (conegut com el problema de Basilea) és el número transcendental Plantilla:Nobr o ζ(2), a on ζ és igual a la funció zeta de Riemann.

• La suma dels recíprocs de les gavetes dels sancers positius es denomina constant de Apéry o ζ(3), i és aproximadament igual a 1,2021. Este número és irracional, pero es desconeix si és transcendent.

• La suma dels recíprocs de les potències sanceres no negatives de 2 és 2. Est és un cas particular de la suma dels recíprocs de qualsevol série geomètrica, a on el primer terme i la raó comuna són sancers positius. Si el primer terme és a i la raó comuna és r, llavors la suma és Plantilla:Nobr

• La série de Kempner és la suma dels recíprocs de tots els sancers positius que no contenen el dígit 9 en sun expressió en Plantilla:Nobr A diferència de la série harmònica, que no exclou eixos números, esta série convergix, específicament a aproximadament 22,9207.

• Un número capicúa és aquell que permaneix igual en invertir l'orde dels seus dígits. La suma dels recíprocs dels números capicúas convergix aproximadament a 3,3703.

• Un número pentatópico és aquell que figura en la quinta cela de qualsevol fila del triàngul de Pascal que comença en la fila de cinc térmens 1 4 6 4 1. La suma dels recíprocs dels números pentatópicos és Plantilla:Sfrac.

• Una successió de Sylvester és una successió sancera en la que cada element de la seqüència és el producte dels elements anteriors, més un. Els primers térmens de la seqüència són 2, 3, 7, 43, 1807. La suma dels recíprocs dels números en la seqüència de Sylvester Plantilla:Nobr

• La funció zeta de Riemann ζ(s) és una funció de variable complexa s, que prolonga analíticamente la suma de la série infinita

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

per mig d'una funció analítica en tot el pla complex, llevat para s = 1, a on ζ(s) té un pol. Esta série convergix si i solament si la part real de s és major que 1.

• La suma dels recíprocs de tots els número primo de Mersenne és la constant de Erdős–Borwein.

• La suma dels recíprocs de tots els números de Fermat (números de la forma $2^{(2^n)}+1$) Plantilla:OEIS és irracional.

• La suma dels recíprocs dels números oblongos (productes de dos sancers consecutius) (excloent 0) és 1 (vore série telescòpica).

• La diferència entre $H_{k(n+1)}$ i $H_k$ s'aproxima al logaritmo natural de $n+1$ a mida que $k$ aumenta.

Série divergent

• La n-ésima suma parcial de la série harmònica, que és la suma dels recíprocs dels primers n sancers positius, divergix quan n tendix a infinit, encara que molt llentament: la suma dels primers 10⁴³ térmens és menor que 100. La diferència entre la suma acumulada i el logaritmo natural de n convergix a la constant de Euler-Mascheroni, comunament denotada com $\gamma ,$, que és aproximadament 0,5772.

• La série dels inversos dels número primo divergix.

• Donats els sancers positius coprimos a i b, la suma dels recíprocs dels cosins de la forma an + b divergix. Este resultat s'utilisa per a demostrar el teorema de Dirichlet, que establix que existixen infinits primers $p$ que satisfan $p\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$.

• La suma dels recíprocs dels cosins de la forma 4n + 1 és divergent. Pel teorema de Fermat sobre la suma de dos quadrats, es deduïx que la suma dels recíprocs de números de la forma $a^2+b^2,$, a on a i b són sancers no negatius (no abdós iguals a 0), divergix, en o sense repetició.

• Si a(k) és qualsevol série ascendent de sancers positius en la propietat de que existix N tal que a(k + 1) − a(k) < N per a tot k, llavors la suma dels recíprocs Plantilla:Sfrac divergix.

• La conjectura de Erdős sobre progressions aritmètiques establix que si la suma dels recíprocs dels elements d'un conjunt A de sancers positius divergix, llavors A conté progressions aritmètiques de qualsevol llongitut, per gran que siga. La conjectura Plantilla:As of permaneix sense provar.

Potències inverses

Les sumes d'inversos poden estendre's a la suma dels inversos de potencies:

• El problema de Basilea, la suma dels inversos dels quadrats
• La constant de Apéry, la suma dels inversos dels gavetes

Vore també

• Sumixca de quadrats
• Sumixques de potències
• Conjunt gran