Cocient de Fermat

En teoria de números, el cocient de Fermat $q_{p}$ d'un número entero a sobre un número primo impar p es definix com^[1]^[2]^[3]^[4]

q_{p} (a) = \frac{a^{p - 1} - 1}{p},

o també

δ_{p} (a) = \frac{a - a^{p}}{p}

.

Este artícul tracta sobre la primera definició; per a la segona vore p-derivació. El cocient du el nom del matemàtic francés Pierre de Fermat (1601-1665).

Si la base a és coprima respecte a l'exponent p llavors el menuda teorema de Fermat afirma que q_p(a) serà un número entero. Si la base a també és generadora del grup multiplicativo de sancers mòdul p, llavors q_p(a) serà un número cíclico i p serà un número primo llarc.

Propietats

A partir de la definició, és obvi que

\begin{matrix} q_{p} (1) & \equiv 0 & (\mod p) \\ q_{p} (- a) & \equiv q_{p} (a) & (\mod p) (since 2 ∣ p - 1) \end{matrix}

En 1850, Ferdinand Eisenstein va demostrar que si a i b són coprimos sobre p, llavors:^[5]

\begin{matrix} q_{p} (a b) & \equiv q_{p} (a) + q_{p} (b) & (\mod p) \\ q_{p} (a^{r}) & \equiv r q_{p} (a) & (\mod p) \\ q_{p} (p \mp a) & \equiv q_{p} (a) \pm \frac{1}{a} & (\mod p) \\ q_{p} (p \mp 1) & \equiv \pm 1 & (\mod p) \end{matrix}

Eisenstein va comparar les dos primeres d'estes congruència en les propietats dels logaritmes. Estes propietats impliquen que

\begin{matrix} q_{p} (\frac{1}{a}) & \equiv - q_{p} (a) & (\mod p) \\ q_{p} (\frac{a}{b}) & \equiv q_{p} (a) - q_{p} (b) & (\mod p) \end{matrix}

En 1895, Dmitry Mirimanoff va senyalar que una iteración de les regles de Eisenstein permet obtindre el corolari següent:^[6]

q_{p} (a + n p) \equiv q_{p} (a) - n \cdot \frac{1}{a} (\mod p) .

D'açò se seguix que:^[7]

q_{p} (a + n p^{2}) \equiv q_{p} (a) (\mod p) .

Fòrmula de Lerch

M. Lerch va demostrar en 1905 que^[8]^[9]^[10]

\sum_{j = 1}^{p - 1} q_{p} (j) \equiv W_{p} (\mod p) .

Ací $W_{p}$ és el cocient de Wilson.

Referències

↑ Fermat Quotient en MathWorld.
↑ Fermat Quotient at The Prime Glossary
↑ Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.
↑ Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
↑ Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42
↑ Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (r^{p − 1} − 1):p= q_r (mod p)," Journal für die regne und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
↑ Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
↑ Lerch, Mathias(1905).«Zur Theorie dones Fermatschen Quotienten $\frac{a^{p - 1} - 1}{p} = q (a)$ ».Mathematische Annalen.60: 471–490.doi:10.1007/bf01561092.
↑ arXiv:{{{arxiv}}}
↑ arXiv:{{{arxiv}}}

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Cociente de Fermat» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Fermat Quotient en MathWorld.

[pg-2] Fermat Quotient at The Prime Glossary

[3] Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), especially pp. 152, 159-161.

[4] Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.

[5] Ferdinand Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36-42

[6] Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (r^{p − 1} − 1):p= q_r (mod p)," Journal für die regne und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300

[7] Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.

[Lerch-8] Lerch, Mathias(1905).«Zur Theorie dones Fermatschen Quotienten $\frac{a^{p - 1} - 1}{p} = q (a)$ ».Mathematische Annalen.60: 471–490.doi:10.1007/bf01561092.

[Sondow-9] rXiv:{{{arxiv}}}

[SondowMacMillan-10] rXiv:{{{arxiv}}}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]