Número cíclico

Un número cíclico és un número entero en el qual les permutació cíclicas dels dígits són múltiples successius del número. L'eixemple més àmpliament conegut és el número 142857:

142857 &claves; 1 = 142857

142857 &claves; 2 = 285714

142857 &claves; 3 = 428571

142857 &claves; 4 = 571428

142857 &claves; 5 = 714285

142857 &claves; 6 = 857142

142857 &claves; 7 = 1000000-1=999999

Detalls

Per a calificar com un número cíclico, es requerix que els múltiples successius siguen permutació cíclicas. Aixina, el número 076923 no seria considerat un número cíclico, inclús encara que totes les permutació cíclicas són múltiples:

076923 &claves; 1 = 076923

076923 &claves; 3 = 230769

076923 &claves; 4 = 307692

076923 &claves; 9 = 692307

076923 &claves; 10 = 769230

076923 &claves; 12 = 923076

Els següents casos trivials són típicament exclosos:

1. un sol dígit, p.ej.: 5
2. dígits repetits, p.ej.: 555
3. números cíclicos repetits, p.ej.: 142857142857

En acabant de que el número siga totalment proporcional a la base llineal que es té del 0 en esta equació, té que ser inversamente proporcional als valors inclosos en esta

Si els zeros inicials no són permesos en les sifres, llavors 142857 és l'únic número cíclico en decimal, per l'estructura necessària donada en la següent secció. Si es permeten els zeros inicials, la seqüència de números cíclicos comença:

142857 (6 dígits)

0588235294117647 (16 dígits)

052631578947368421 (18 dígits)

0434782608695652173913 (22 dígits)

0344827586206896551724137931 (28 dígits)

0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 dígits)

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 dígits)

016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 dígits)

Relació en els números periòdics

Els números cíclicos es relacionen en els números periòdics de fraccions unitàries. un número cíclico de llongitut L és la representació digital de

1/(L + 1).

En canvi, si el periodo digital d'1 /p (a on p és primer) és

p − 1,

llavors els dígits representen un número cíclico.

Per eixemple:

1/7 = 0.142857 142857….

Els múltiples d'estes fraccions exhibixen permutació cíclica:

1/7 = 0.142857 142857…

2/7 = 0.285714 285714…

3/7 = 0.428571 428571…

4/7 = 0.571428 571428…

5/7 = 0.714285 714285…

6/7 = 0.857142 857142….

Vore també

• Número periòdic
• Menuda teorema de Fermat

Bibliografia adicional

• Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. Nova York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111-122.
• Kalman, Donen; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp. 109-115.
• Leslie, John. "The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....", Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Wells, David; "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers", Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5