Série dels inversos dels número primo

En el III Euclides va demostrar l'existència d'infinits número primo. En el XVIII, Leonhard Euler va demostrar un resultat encara més profunt:

La teorema, és equivalent a demostrar que:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\sum _{p\le x}\frac{1}{p}\right)=\mathrm{\infty }p\in \mathbb{P}$

He ací algunes de les demostracions d'este resultat.

Primera demostració (Demostració original de Euler)

Per a escomençar, descriurem alguns dels passos previs usats per Euler en la seua demostració.

En primer lloc va considerar la série harmònica :

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

Esta série és divergent (es pot vore en l'artícul série harmònica). Este resultat també era conegut per Euler.

Usant el seu fòrmula del producte , va mostrar l'existència d'infinits número primo com seguix:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}=\prod _p(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots ).$

Ací, el producte és sobre tots els número primo, o dit d'una atra manera, el producte indexa a tots els número primo. D'ara en avant, sense que es diga lo contrari, la suma o producte sobre el conjunt de tots els número primo es representa com a p baixe el sumatorio o productorio.

Euler es va donar conte de que si existia un número finito de cosins, llavors el producte de la dreta convergiria clarament, contradient la divergència de la série harmònica. En llenguage modern, es diu que l'existència d'infinitat d'número primo està reflectida pel fet de que la funció zeta de Riemann té un pol simple en s = 1.

Demostració

Euler, prenent el producte indicat dalt, va aplegar a una conclusió.

Va prendre logaritmos naturals en abdós membres de l'igualtat, i utilisant les propietats de les séries geomètriques i que la série de Taylor de log(1-x) és:

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}|x|<1\text{,}x\in ℝ$

llavors:

$\begin{array}{cc}\ln \left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}\right)& =\ln \left(\prod _p\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p\ln \left(\frac{1}{1-p^{-1}}\right)=\sum _p-\ln (1-p^{-1})\\ & =\sum _p(\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+\cdots )\\ & <\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\sum _p\frac{1}{p^2}(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots )=\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+\left(\sum _p\frac{1}{p(p-1)}\right)\\ & =\left(\sum _p\frac{1}{p}\right)+C\end{array}$

per a una constant C < 1. ya que la suma dels recíprocs dels primers n número entero positius és asintòtica a ln(n) ( és dir, la seua ràtio s'acosta a 1 quan n s'acosta a infinit ) es té:

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\approx \ln (n)\text{si }n\to \mathrm{\infty }$

que substituint en l'expressió de dalt i despreciant el valor de C quan n s'acosta a infinit, Euler va aplegar a la conclusió de que:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots =\ln \ln (+\mathrm{\infty })\to \mathrm{\infty }$

Q.E.D.

És també cert que Euler comprenia que la suma dels recíprocs de tots els número primo menors que n és asintòtica a ln (ln(n)) quan n s'aproxima a infinit, i de fet est és el cas. Euler havia aplegat a esta conclusió per métodos qüestionables.

Segona demostració (Erdős)

Una demostració elemental per reducció a lo absurt va ser descoberta per Paul Erdős i és la següent:

Assumixca que la suma dels recíprocs de tots els número primo convergix:

Definixca p_i com el i -ésimo número primo.

Tenim que:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_k}=C$

Llavors existix un número entero positiu i tal que:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_{i+k}}<\frac{1}{2}$

Definixca N_i(x) com:

$N_i(x)=\mathrm{\#}\{n\le x:n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_i^{{\alpha }_i},\alpha \in {\mathbb{N}}_0\}$

el número de sancers positius menors que x que són divisibles únicament pels i primers número primo, o dit d'una atra forma, que estan formats per factors primers menors o iguals a p_i. ( el símbol # significa la cantitat de números que complixen la condició )

Qualsevol d'eixos números pot expressar-se com:

$n=p_1^{{\omega }_1}\cdots p_i^{{\omega }_i}\cdot s^2,{\omega }_i\in \{0,1\}$

concretament com a producte d'un quadrat perfecte per un número lliure de quadrats. Hi ha 2ⁱ opcions distintes per a la part del número lliure de quadrats i lloc que com a molt hi haurà √x per a la part quadràtica tenim que:

$N_i(x)\le 2^i\cdot \sqrt{x}$

El número de sancers divisibles per un primer p menors que x és $\lfloor \frac{x}{p}\rfloor$, aixina que el número de sancers menors que x que són divisibles per algun cosí major que p_i és x - N_i(x), ho denotarem com a N^*_i(x) i està acotat per:

$N_i^{*}(x)=x-N_i(x)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{x}{p_{i+k}}\rfloor \le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{p_{i+k}}<\frac{x}{2}$

Ya que:

$N_i^{*}(x)+N_i(x)=x\mathrm{\forall }x\in \mathbb{N}$

és suficient en trobar un x tal que N_i(x) $\le$ x/2 per a aplegar a una contradicció ya que N^*_i(x) és sempre menor que x/2.

Si prenem la desigualtat:

$N_i(x)\le 2^i\cdot \sqrt{x}$

i considerant la cota màxima que és quan N_i(x) = 2ⁱ√x:

$2^i\cdot \sqrt{x}\le \frac{x}{2}$

$2^{i+1}\le \frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}$

$x\ge 2^{2i+2}$

Q.E.D.

Referències

• Euler, Leonhard, Variae observations circa séries infinites, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Séries I volume 14, p. 216-244.