Anex:Identitats logarítmiques

En matemàtiques, hi ha moltes identitats logarítmiques.

Identitats algebraiques

En operacions simples

Els logaritmos s'utilisen generalment per a fer més simples les operacions. Per eixemple, es poden multiplicar dos números utilisant una taula de logaritmos i sumant.

${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	perque	$b^x\cdot b^y=b^{x+y}$
${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	perque	$\begin{array}{c}\frac{b^x}{b^y}\end{array}=b^{x-y}$
${\log }_b(x^y)=y{\log }_b(x)$	perque	$(b^x{)}^y=b^{xy}$
${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	perque	$\sqrt[y]{b^x}=b^{x/y}$

Cancelació d'exponents

Els logaritmos i exponencials (antilogaritmos) en la mateixa base es cancelen.

$b^{{\log }_b(x)}=x$	perque	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	perque	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Canvi de base

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Esta identitat es requerix per a evaluar logaritmos en calculadores. La majoria de les calculadores solament poden processar ln i log₁₀, pero no per eixemple log₂. Per a trobar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (o be ln(3)/ln(2), que dona idèntic resultat).

Conseqüències

Esta fòrmula té vàries conseqüències:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

Identitats trivials

${\log }_{b}1=0$	perque	$b^0=1$
${\log }_{b}b=1$	perque	$b^1=b$

Identitats de càlcul

Llímits

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{si }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{si }a<1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{si }a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{si }a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

L'últim llímit es resumix freqüentment dient "els logaritmos creixen més llentament que qualsevol potència o raïl de x".

Derivadas de funcions logarítmiques

$\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}=\frac{{\log }_{a}e}{x}$

Integralés de funcions logarítmiques

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

Per a recordar integrals més grans, és convenient definir:

$x^{\left[n\right]}:=x^n(\log (x)-H_n)$

A on $H_n$ és el n-ésimo número harmònic. Aixina, les primeres serien:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log (x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^2\log (x)-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{x}^2$

$x^{\left[3\right]}=x^3\log (x)-\begin{array}{c}\frac{11}{6}\end{array}{x}^3$

Llavors,

$\frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]}$

$\int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C$

Vore també

• Identitats trigonométricas

Enllaços externs

• Plantilla:Mathwords
• Anex:Identitats logarítmiques en MathWorld.