Constant de Erdős–Borwein

La Constant Erdős–Borwein és la suma del recíproc dels números de Mersenne. Se li va cridar aixina en referència a Paul Erdős i Peter Borwein.

Es definix com:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1,606695152415291763\dots$

Es pot demostrar que les següents formes són equivalents a l'anterior:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$E=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}$

A on σ₀(n) = d(n) és la funció divisor, una funció multiplicativa que equival al número de divisorés positius del número n. Per a provar l'equivalència d'estes sumes, note que totes prenen la forma de la Série de Lambert i pot ser resumida com a tal.

Erdős va provar en 1948 que la constant I és un número irracional.