Série de Lambert

Archiu:Cplot Lambert series.png

Séries de color de Lambert.

En matemàtica, una série de Lambert, cridada aixina en honor a Johann Heinrich Lambert, és un tipo de série que pren la forma

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{q^n}{1-q^n}.$

Esta pot ser expressada formalment per mig de l'expansió del denominador:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{nk}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{q}^m$

a on els coeficients d'esta nova série vénen daus per mig de la convolución de Dirichlet de a_n en la funció constant 1(n) = 1:

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n.$

Esta série pot ser invertida per mig de l'us de la fòrmula d'inversió de Möbius, i és un eixemple de transformada de Möbius.

Eixemples

Ya que l'última suma és una suma típica usada pels teòrics de números, casi qualsevol funció multiplicativa serà exactament sumable quan siga usada en una série de Lambert. Aixina que, per eixemple, es té que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_0(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^n}{1-q^n}$

a on ${\sigma }_0(n)=d(n)$ és el número de divisores de  n. Para funcions divisor d'orde superior, un té que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^n{\sigma }_{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^{\alpha }{q}^n}{1-q^n}$

a on $\alpha$ és qualsevol número complejo i

${\sigma }_{\alpha }(n)=({\text{Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}{d}^{\alpha }$

és la funció divisor.

Les séries de Lambert en les quals a_n són funcions trigonométricas, per eixemple, a_n = sense(2n x), poden ser evaluades per mig de vàries combinacions de derivades logarítmiques de funcions theta de Jacobi.

Entre atres séries de Lambert, està la que utilisa la funció de Möbius $\mu (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\frac{q^n}{1-q^n}=q.$

Per a la funció φ de Euler $\varphi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\frac{q}{(1-q{)}^2}.$

Per a la funció de Liouville $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)\frac{q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}$

l'expressió suma del qual de l'esquerra és similar a la funció theta de Ramanujan.

Forma alternativa

Substituint $q=e^{-z}$ s'obté una atra forma comuna d'expressar esta série, com

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{e^{zn}-1}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m{e}^{-mz}$

a on

$b_m=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}{a}_n$

com s'ha dit abans. Eixemples de séries de Lambert d'esta forma, en $z=2\pi$, apareixen en expressions de la funció zeta de Riemann per a valors sancers impars; per a més detalls, vore constants zeta.

Vore també

• Constant de Erdős–Borwein

Referències

• Lambert Séries en MathWorld.