Série de Kempner

La série de Kempner és una modificació de la série harmònica, en la qual s'ometen tots els térmens el denominador expressat dels quals en base 10 conté a lo manco un dígit 9, és dir, és la série

$K(9)=\sum _{n^{\prime }=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

a on la prima indica que $n$ pren sol valors l'expressió dels quals en base decimal no conté cap 9. Esta série va ser estudiada per A. J. Kempner en 1914. Esta série és interessant perque, al contrari que la série harmònica i contra-intuitivament, és una série convergent (Kempner va demostrar que el seu valor és menor que 80, i Baillie showed va obtindre el seu resultat en una precisió de 20 decimals. El resultat de la série és 22.92067 66192 64150 34816 Plantilla:OEIS).

Schmelzer i Baillie varen obtindre un algoritme eficient per al problema més general de resoldre séries en les que s'ometeren sumants que contingueren qualsevol cadena donada de dígits. Per eixemple, la suma de $1/n$ per als $n$ que no continguen la cadena "42" en la seua expressió decimal és 228.44630 41592 30813 25415. Un atre eixemple més complicat, en el que es calcula la suma de $1/n$ per als $n$ que no continguen la cadena "314159" és 2302582.33386 37826 07892 02376. (Tots els valors numèrics ací donats estan redonejats en la seua última sifra decimal).

Convergència

La prova de Kempner de la convergència és senzilla i es pot trobar en molts llibres de text, com per eixemple en el llibre de Hardy i Wright i en el Apostol. El procediment escomença agrupant els térmens de la suma en conjunts en el mateix número de dígits en el denominador. El número d'elements de cada u d'estos conjunts de sumants de n dígits que no continguen cap 9 és exactament $8(9^{n-1})$, i cada terme d'estos conjunts és menor o igual que el seu màxim $(10^{n-1})$), per lo que la contribució dels sumants de cada grup és menor o igual que $8{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}$. Aixina que la série de Kempner $K(9)$ serà menor o igual que la suma de les contribucions de cada u dels conjunts en que hem separat els seus sumants, per lo que tenim que

$K(9)\le 8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{9}{10}\right)}^{n-1}=80.$

Es pot usar exactament el mateix argument en qualsevol atre dígit omés. I el resultat també és cert si s'ometen sumants que continguen cadenes de $k$ dígits en la seua expressió. Per eixemple, en el cas en el que ometem tots els térmens els denominadors dels quals continguen la cadena "42". Este resultat pot demostrar-se casi de la mateixa manera. Lo primer és donar-se conte de que podem treballar en números en base $10^k$ en lloc d'en la base $10$ usual. En esta nova base, cada conjunt de $k$ dígits de l'expressió en base $10$ representa a un sol dígit en la base $10^k$, per lo que ara la cadena de caràcters sostraure està donada per un sol "dígit" en la base utilisada. Adaptant la demostració donada dalt en base $10$ a la base $10^k$, es demostra que estes séries també convergixen. Tornant a la base $10$, veem que esta série conté tots els denominadors que s'ometen per a qualsevol cadena de caràcters donada, aixina com denominadors que inclouen dita cadena si esta no es troba representada per un "k-dígit" en una base $10^k$. Per eixemple, si ometem els térmens en un "42", en base $100$ es pot ometre els térmens $n=4217$ i $n=1742$, pero no el terme $n=7421$. Per tant, el valor d'esta série sempre serà major que el de la série en la que s'ometen tots els "42".

Farhi va estudiar séries de Kempner generalisades. En particular, va estudiar les séries $S(d,n)$ de recíprocs de sancers positius que tenen exactament $n$ aparicions del dígit  d a on 0 ≤ d ≤ 9 (per lo que la série de Kempner original és S(9, 0)). Farhi va demostrar que per a cada d la seqüència de valors S(d, n) per a n ≥ 1 és decreixent i convergent a 10 ln (10). Curiosament, la série no és en general decreixent escomençant en n = 0; per eixemple, per a la série de Kempner original tenim que S(9, 0) ≈ 22.921 < 23.026 ≈ 10 ln 10 < S(9, n) per a n ≥ 1.

Càlcul numèric de la série

La série convergix molt llentament. Baillie va mostrar que, despuix de sumar $10^{27}$ térmens, l'error és encara major que 1.

La cota superior de 80 és molt mala aproximació, Irwin, en un anàlisis més fi, va acotar el valor de la série de Kempner entre 22.4 i 23.3.

Baillie va desenrollar un método recursivo que permet expressar la contribució de cada bloc de $k+1$ dígits en funció de les contribucions dels blocs de $k$ dígits per a qualsevol elecció de dígits omesos. Açò permet un càlcul més ràpit en molt menor temps de computació.

Vore també

• Série harmònica
• Série matemàtica
• Série convergent
• Conjunt chicotet (Combinatòria)