Cuadruplete primer

Un cuadruplete primer (a voltes cridat cuádruple primer o també primers cuatrillizos) és un conjunt de quatre número primo de la forma {p, p+2, p+6, p+8}. Representa l'agrupació més propenca possible de quatre número primo majors que 3, i és l'única constelació de cosins de llongitut 4.

Cuadrupletes primers

Els primers huit cuadrupletes primers són:

{5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} Plantilla:OEIS

Tots els cuadrupletes primers llevat {5, 7, 11, 13} tenen la forma {30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19} per a algun número entero n. Esta estructura és necessària per a assegurar que cap dels quatre número primo siga divisible per 2, 3 o per 5). Un cuadruplete primer d'esta forma també es denomina década primera.

Conté dos parells de primers bessons o pot descriure's com si tinguera dos triplets primers superposts.

No se sap si hi ha infinits cuadrupletes primers. Una prova de que hi ha infinits implicaria que la conjectura dels primers bessons és correcta, pero és consistent en el coneiximent actual de que pugues haver infinits parells de primers bessons i solament un número finito de cuatrillizos primers. El número de cuatrillizos primers en n dígits en base 10 per a n = 2, 3, 4, ... és 1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 Plantilla:OEIS.

Plantilla:A data de el major cuadruplete primer conegut té 10132 dígits. Comença en p = 667674063382677 × 2³³⁶⁰⁸ − 1, trobat per Peter Kaiser.

La constant que representa la suma dels recíprocs de tots els cuatrillizos primers, la constant de Brun per als cuatrillizos primers, denotada per B₄, és la suma dels recíprocs de tots els cuatrillizos primers:

$B_4=(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{107}+\frac{1}{109})+\cdots$

en valor:

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Esta constant no deu confondre's en la constant de Brun per als cosins primers, parells de cosins de la forma (p, p+4), que també s'escriu com a B₄.

Es pensa que el primer cuadruplete {11, 13, 17, 19} apareix en l'os de Ishango, encara que és una qüestió discutida.

Excloent el primer cuadruplete primer, la distància més curta possible entre dos d'ells, en la forma {p, p+2, p+6, p+8} i {q, q+2, q+6, q+8}, és q-p = 30. Les primeres aparicions d'estos casos es donen per a p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061,... (Plantilla:OEIS2C).

El número de Skewes per a cuatrillizos primers {p, p+2, p+6, p+8} és $1172531$ (Tóth (2019)).

Quintupletes primers

Si {p, p+2, p+6, p+8} és un cuadruplete primer i p−4 o p+12 també és primer, llavors els cinc cosins formen un quintuplete primer, la constelació admissible més propenca de cinc cosins. Els primers quintupletes primers en p+12 són:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343}... (Plantilla:OEIS2C).

Els primers quintupletes primers en p−4 són:

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819}... (Plantilla:OEIS2C).

Conté dos parells propencs de primers bessons, un cuatriplete primer i tres triplets primers superposts.

No se sap si hi ha infinits quintillizos primers. Una volta més, provar la conjectura dels primers bessons no necessàriament prova que també hi haja infinits quintillizos primers. Ademés, demostrar que hi ha infinits cuatrillizos primers no necessàriament prova que hi ha infinits quintillizos primers.

El número de Skewes per a quintillizos primers {p, p+2, p+6, p+8, p+12} és $21432401$ (Tóth (2019)).