Potència perfecta

Archiu:Perfect power number Cuisenaire rods 9.png

Demostració en les regletas de Cuisenaire de la naturalea de potències perfectes de 4, 8 i 9

En matemàtiques, una potència perfecta és un número natural que és producte de factors naturals iguals, o dit d'un atre modo, un número entero que es pot expressar com un quadrat o com una potencia sancera major que un. Més formalment, n és una potència perfecta si existixen dos número natural m > 1, i k > 1 tals que m^k = n. En este cas, n pot cridar-se k-ésima potència perfecta. Si k = 2 o k = 3, llavors n es diu quadrat perfecte o gaveta, respectivament. A voltes, 0 i 1 també es consideren potències perfectes (0^k = 0 per a qualsevol k > 0, 1^k = 1 per a qualsevol k).

Eixemples i sumes

Es pot generar una successió de potències perfectes iterando a través dels valors possibles per a m i k. Les primeres potències perfectes ascendents en orde numèric (mostrant potències duplicades) són Plantilla:OEIS:

$2^2=4,2^3=8,3^2=9,2^4=16,4^2=16,5^2=25,3^3=27,$ $2^5=32,6^2=36,7^2=49,2^6=64,4^3=64,8^2=64,\dots$

La suma dels recíprocs de les potències perfectes (incloent duplicats com 3⁴ i 9², abdós iguals a 81) és 1:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=1.$

lo que es pot demostrar de la següent manera:

$\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^k}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}\left(\frac{m}{m-1}\right)=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m(m-1)}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m})=1.$

Les primeres potències perfectes sense duplicats són:

(a voltes 0 i 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... Plantilla:OEIS

La suma dels recíprocs de les potències perfectes p sense duplicats és:

$\sum _p\frac{1}{p}=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots$

a on μ(k) és la funció de Möbius i ζ(k) és la funció zeta de Riemann.

Segons Euler, Goldbach va mostrar (en una carta ara perduda) que la suma de Plantilla:Sfrac sobre el conjunt de potències perfectes p, excloent 1 i excloent duplicats, és 1:

$\sum _p\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Açò a voltes es coneix com el teorema de Goldbach-Euler.

Detecció de potències perfectes

Detectar si un número natural n donat és o no una potència perfecta es pot conseguir de moltes maneres diferents, en nivells variables de complexitat. Un dels métodos més simples és considerar tots els valors possibles per a k en cada u dels divisores de n, fins a $k\le {\log }_{2}n$. Llavors, si els divisores de $n$ són $n_1,n_2,\dots ,n_j$, llavors un dels valors $n_1^2,n_2^2,\dots ,n_j^2,n_1^3,n_2^3,\dots$ deu ser igual a n si n és una potència perfecta.

Este método es pot simplificar de colp i repent considerant en el seu lloc solament els valors primers de k. Açò es deu a que si $n=m^k$ per a un número compuesto $k=ap$ a on p és primer, llavors açò es pot reescriure simplement com $n=m^k=m^{ap}=(m^a{)}^p$. Per este resultat, el valor mínim de k deu ser necessàriament primer.

Si es coneix la factorización completa de n, descrita com $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ a on els $p_i$ són primers distints, llavors n és una potència perfecta si i solament si $\text{mcd}({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_r)>1$, a on mcd denota el màxim comú divisor. Com a eixemple, considere's n= 2⁹⁶·3⁶⁰·7²⁴. Com el mcd(96, 60, 24)= 12, n és una potència perfecta de 12 (i una potència perfecta de 6, 4, cúbica i quadrada, ya que 6, 4, 3 i 2 dividixen a 12).

Vore també

• Potència primera

Referències

• Daniel J. Bernstein (1998). “Detecting perfect powers in essentially linear clave”. Mathematics of Computation 67 (223): 1253–1283. doi:10.1090/S0025-5718-98-00952-1.