Teorema de Goldbach-Euler

En matemàtiques, la teorema de Goldbach-Euler (també conegut com a teorema de Goldbach), establix que la suma d'1/(p − 1), sent p el conjunt de les potències perfectes a les que es resta 1 i ometent repeticions, convergix a 1:

$\sum _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p-1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots =1.$

Este resultat es va publicar per primera volta en l'artícul d'Euler de 1737 "Variæ observenes circa séries infinites". Euler va atribuir el resultat a una carta (ara perduda) de Goldbach.

Demostració

La demostració original de Goldbach enviada a Euler implicava assignar una constant a la séries harmònica $x={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$, que és divergent. Tal prova no es considera rigorosa segons els estàndarts moderns. Existix una gran semblança entre el método d'erejat de potències amprat en la seua demostració i el método d'factorización utilisat en la finalitat de deduir la fòrmula del producte de Euler per a la funció zeta de Riemann.

Siga x donat per:

$x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\cdots$

Ya que la suma del recíproc de cada potència de dos és $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$, restant els térmens en potències de dos de x, s'obté

$x-1=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\cdots$

Repetint el procés en els térmens en potències de tres: $\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$

$x-1-\frac{1}{2}=1+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots$

Absents de la suma anterior estan ara tots els térmens en potències de dos i tres. Continue's eliminant térmens en potències de 5, 6 i aixina successivament fins que el costat dret s'agote al valor d'1. Finalment, s'obté l'equació

$x-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{9}-\cdots =1$

en la que es reordenan els térmens

$x-1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\cdots$

i a on els denominadors consistixen en tots els número entero positius que no són potències restant-los un. Restant l'equació anterior de la definició de x donada dalt, s'obté

$1=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\frac{1}{24}+\frac{1}{26}+\frac{1}{31}+\cdots$

expressió en la que els denominadors ara consistixen solament en potències perfectes restant-los un.

Si be carix de rigor matemàtic, la prova de Goldbach proporciona un argument raonablement intuïtiu per a la veritat de la teorema. Les demostracions rigoroses requerixen un tractament adequat i més cuidadós dels térmens divergents de la série harmònica. Atres demostracions aprofiten el fet de que la suma d'1/p sobre el conjunt de potències perfectes p, excloent 1 pero incloent les repeticions, convergix a 1 demostrant l'equivalència:

$\sum _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p-1}=\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^n}=1.$

Vore també

• Conjectura de Goldbach
• Anex:Sumes de recíprocs

Bibliografia

• “On a séries of Goldbach and Euler” (2006). American Mathematical Monthly 113 (3): 206–220. doi:10.2307/27641889..
• Graham, Ronald (1988). Concrete Mathematics, Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8.