Àrea

Àrea, coloreada, de tres figures geomètriques simples

El àrea és un concepte mètric que pot permetre assignar una medida a l'extensió d'una superfície, expressada en matemàtiques com unitats de mida denominades unitats de superfície. L'àrea és un concepte mètric que requerix l'especificació d'una medida de llongitut.

El àrea és una magnitut mètrica de tipo escalar definida com l'extensió en dos dimensions d'una recta al pla de l'espai.

Per a superfícies planes, el concepte és més intuïtiu. Qualsevol superfície plana de costats rectes —és dir, qualsevol polígon— pugues triangularse, i es pot calcular la seua àrea com suma de les àrees dels triànguls en que es descompon. Ocasionalment s'usa el terme "àrea" com a sinònim de superfície, quan no existix confusió entre el concepte geomètric en sí mateixa (superfície) i la magnitut mètrica associada al concepte geomètric (àrea).

Per a una forma sòlida com una esfera, un con o un cilindre, l'àrea de la seua superfície llímit es denomina àrea superficial. Els antics grecs varen calcular fòrmules per a les àrees superficials de formes simples, pero calcular l'àrea superficial d'una figura més complicada sol requerir càlcul multivariable.

No obstant, per a calcular l'àrea de superfícies curves es requerix introduir métodos de geometria diferencial.

Este quadrat i este disc tenen la mateixa àrea (vejau: quadratura del círcul).

Per a poder definir l'àrea d'una superfície en general —que és un concepte mètric—, es té que haver definit un tensor mètric sobre la superfície en qüestió: quan la superfície està dins d'un espai euclidià, la superfície hereta una estructura mètrica natural induïda per la mètrica euclidiana.

Història

L'idea de que l'àrea és la mida que proporciona el tamany de la regió tancada en una figura geomètrica prové de l'antiguetat. En l'antic Egipte, despuix de la riuada anual de riu Nilo inundant els camps, sorgix la necessitat de calcular l'àrea de cada parcela agrícola per a restablir els seus llímits; per a solucionar això, els egipcíacs varen inventar la geometria, segons Heródoto.

El modo de calcular l'àrea d'un polígon com la suma de les àrees dels triànguls, és un mètoto que va ser propost per primera volta per l'sabio grec Antifón cap a l'any 430 a. C. Trobar l'àrea d'una figura curva genera més dificultat. El mètoto exhaustiu consistix en inscriure i circumscriure polígons en la figura geomètrica, aumentar el número de costats de dits polígons i trobar l'àrea buscada. En el sistema que es coneix com mètoto exhaustiu d'Eudoxo, va conseguir obtindre una aproximació per a calcular l'àrea d'un círcul. Dit sistema va ser amprat temps despuix per Arquímedes per a resoldre atres problemes similars, aixina com el càlcul aproximat del número π.

Àrea del círcul

En el V, Hipócrates de Quíos va ser el primer en mostrar que l'àrea d'un círcul (la regió tancada per una circumferència) és proporcional al quadrat del seu diàmetro, com a part de el seu quadratura de la lúnula, pero no va identificar la constant de proporcionalitat. Eudoxo de Cnido, també en el V, va trobar també que l'àrea d'un círcul és proporcional a la seua ràdio al quadrat.

Posteriorment, el Llibre I dels Elements de Euclides es va ocupar de l'igualtat d'àrees entre figures bidimensionales. El matemàtic Arquímedes va usar les ferramentes de la geometria euclidiana per a mostrar que l'àrea dins d'un círcul és igual a la d'un triàngul rectàngul la base del qual té la llongitut de la circumferència del círcul i l'altura del qual és igual al radi del círcul, en el seu llibre Sobre la mida del círcul. (La circumferència és 2πr, i l'àrea d'un triàngul és la mitat de la base per l'altura, lo que dona com resultat l'àrea πr² del disc). Arquímedes va aproximar el valor de π (i per lo tant l'àrea d'un círcul de radi unitari) en el seu método, en el que va inscriure un triàngul regular en un círcul i va anotar la seua àrea, despuix va duplicar el número de costats per a donar un hexàgon regular, despuix va duplicar repetidament el número de costats a mida que l'àrea del polígon s'acostava més i més a la del círcul (i va fer lo mateix en polígons circumscrits).

El científic suís Johann Heinrich Lambert en 1761 va demostrar que π, la relació entre l'àrea d'un círcul i la seua ràdio al quadrat, és irracional, lo que significa que no és igual al cocient de dos número sancer. En 1794, el matemàtic francés Adrien-Marie Legendre va demostrar que π² és irracional; açò també prova que π és irracional. En 1882, el matemàtic alemà Ferdinand von Lindemann va demostrar que π és transcendental (no és la solució de cap equació polinòmica en coeficients racionals), lo que confirma una conjectura de Legendre i Euler.

Àrea del triàngul

Herón d'Aleixandria va trobar lo que es coneix com la fòrmula de Herón per a l'àrea d'un triàngul en térmens dels seus costats, i es pot trobar una prova en el seu llibre Mètrica, escrit al voltant de el 60 d. C. S'ha sugerit que Arquímedes coneixia la fòrmula més de dos sigles abans, i ya que Mètrica és una colecció del coneiximent matemàtic disponible en el món antic, és possible que la fòrmula siga anterior a la referència donada en eixe treball.

En 499 Aryabhata, un matemàtic-astrònom de l'época clàssica de les matemàtiques i l'astronomia índies, va expressar l'àrea d'un triàngul com la mitat de la base per l'altura en l'Aryabhatiya (secció 2.6).

Els chinencs varen descobrir una fòrmula equivalent a la de Herón independentment dels grecs. Va ser publicat en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tractat matemàtic en nou seccions»), escrit per Qin Jiushao.

Definició formal

Un enfocament per a definir lo que s'entén per «àrea» és a través d'axioma. El «àrea» es pot definir com una funció d'una colecció M d'un tipo especial de figures planes (denominades conjunts mesurables) al conjunt d'número real, que satisfà les següents propietats:

• Para tot S en M, a(S) ≥ 0.
• Si S i T estan en M, llavors també ho estan S ∪ T i S ∩ T, i també a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
• Si S i T estan en M en S ⊆ T llavors T - S està en M i a(T−S) = a(T) − a(S).
• Si un conjunt S està en M i S és congruent en T, llavors T també està en M i a(S) = a(T).
• Tot rectàngul R està en M. Si el rectàngul té una llongitut h i un esgambi k, llavors a(R) = hk.
• Siga Q un conjunt tancat entre dos regions escalonades S i T. Una regió escalonada es forma a partir d'una unió finita de rectànguls adjacents que descansen sobre una base comuna, és dir, S ⊆ Q ⊆ T. Si hi ha un número únic c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para totes eixes regions escalonades S i T, llavors a(Q) = c.

Es pot provar que tal funció d'àrea existix realment.

Confusió entre àrea i perímetro

Quant més corts és fan, més disminuïx l'àrea i aumenta el perímetro.

El perímetro és, junt en l'àrea, una de les dos mides principals de les figures geomètriques planes. A pesar de que no s'expressen en la mateixa unitat, és comuna confondre estes dos nocions o creure que quant major és una, major és també l'atra. De fet, l'ampliació (o reducció) d'una figura geomètrica aumenta (o disminuïx) simultàneament la seua àrea i el seu perímetro. Per eixemple, si un péntol de terra es mostra en un mapa a una escala d'1:10 000, el perímetro real de la terra es pot calcular multiplicant el perímetro de la representació per 10 000 i l'àrea multiplicant el de la representació per 10 000². No obstant, no existix un víncul directe entre l'àrea i el perímetro de cap figura. Per eixemple, un rectàngul que té un àrea igual a un metro quadrat pot tindre com a dimensions, en metros: 0,5 i 2 (per lo tant un perímetro igual a 5 m) pero també 0,001 i 1000 (per lo tant un perímetro de més de 2000 m). Proclo (v) informa que els llauradors grecs compartien «equitativamente» camps d'acort en els seus perímetros, pero en àrees diferents. No obstant, la producció d'un camp és proporcional a l'àrea, no al perímetro.

Àrea de figures planes

Artícul principal → Figura geomètrica.

Fòrmules de polígons

Per a un polígon (simple) del que es coneixen les coordenades cartesianes <math>(x_i,i_i)</math> (i = 0, 1, ..., n − 1) de el seu n vèrtiços, l'àrea ve donada per la fòrmula de l'àrea de Gauss:

<math>A = frac{1}{2} Bigglvert sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i i_{i + 1} - x_{i + 1} i_i) Biggrvert</math>

quan i = n − 1, llavors i + 1 s'expressa com mòdul n i per tant es referix a 0.

Rectànguls

L'àrea d'este rectàngul és &lt;math&gt;lclaves a&lt;/math&gt;.

La fòrmula més bàsica de l'àrea és la fòrmula de l'àrea d'un rectàngul. Donat un rectàngul en llarc <math>l</math> i esgambi <math>a</math>, la fòrmula de l'àrea és:

<math>A=lclaves a</math> <small>(rectàngul).</small>

L'àrea del rectàngul és la llongitut multiplicada per l'esgambi. Com a cas particular, ya que <math>l = a</math> en el cas d'un quadrat, l'àrea d'un quadrat en llongitut de costat <math>c</math> ve donada per la fòrmula:

<math>A=c^2</math> <small>(quadrat).</small>

La fòrmula de l'àrea d'un rectàngul es deduïx directament de les propietats bàsiques de l'àrea i a voltes es pren com definició o axioma. Per una atra part, si la geometria es desenrolla abans que l'aritmètica, esta fòrmula pot utilisar-se per a definir la multiplicació dels número real.

Dissecció, paralelogramos i triànguls

La majoria de les fòrmules senzilles per a calcular l'àrea seguixen el mètoto de la dissecció. Consistixen en tallar una forma en trossos les àrees dels quals deuen sumar l'àrea de la forma original.

Un diagrama que mostra cóm un paralelogramo pot convertir-s'en un rectàngul.

Per eixemple, qualsevol paralelogramo pot subdividirse en un trapezi i un triàngul rectàngul, com es mostra en la figura. Si el triàngul es trasllada a l'atre costat del trapezi, la figura resultant és un rectàngul. Es deduïx que l'àrea del paralelogramo és la mateixa que la del rectàngul:

<math>A=bclaves h</math> <small>(paralelogramo).</small>

Un paralelogramo dividit en dos triànguls iguals.

No obstant, el mateix paralelogramo també pot tallar-se a lo llarc d'una diagonal en dos triànguls congruents, com es mostra en la figura. Es deduïx que l'àrea de cada triàngul és la mitat de l'àrea del paralelogramo:

<math>A = frac{1}{2}bh</math> (<small>triàngul).</small>

Es poden utilisar arguments similars per a trobar fòrmules d'àrea per al trapezi i polígons més complicats.

Àrea de les formes curves

Círculs

La fòrmula de l'àrea d'un círcul (més pròpiament cridada àrea tancada per un círcul o àrea d'un disc) es basa en un mètoto similar. Donat un círcul de radi <math>r</math>, és possible dividir-ho en sectors, com es mostra en la figura. Cada sector és aproximadament triangular, i els sectors poden reorganisar-se per a formar un paralelogramo aproximat. L'altura d'este paralelogramo és <math>r</math>, i l'esgambi és la mitat de la circumferència del círcul o <math>pi r</math>. Per tant, l'àrea total del círcul és <math>pi r^2</math>:

Un círcul pot dividir-s'en sectors reordenados per a formar un paralelogramo aproximat.

<math>A=pi r^2</math> <small>(círcul).</small>

Encara que la dissecció utilisada en esta fòrmula és només aproximada, l'error és cada volta menor a mida que el círcul es dividix en més i més sectors. El llímit de les àrees dels paralelogramos aproximats és exactament <math>pi r^2</math>, que és l'àrea del círcul.

Este argument és una simple aplicació de les idees del càlcul. En l'antiguetat, el método per agotament s'utilisava de forma similar per a trobar l'àrea del círcul, i este mètoto es reconeix ara com un precursor del càlcul integral. Utilisant métodos moderns, l'àrea d'un círcul pot calcular-se per mig d'una integral definida:

<math>A ;=;2int_{-r}^r sqrt{r^2 - x^2},dx ;=; pi r^2</math>

Elipses

La fòrmula de l'àrea tancada per una elipse està relacionada en la fòrmula d'un círcul; per a una elipse en semieix major i semieix menor <math>x</math> i <math>i</math> la fòrmula és:

<math>A= pi xy </math>

Arquímedes va demostrar que l'àrea superficial d'una esfera és exactament quatre voltes l'àrea d'un disc pla del mateix radi, i el volum tancat per l'esfera és exactament 2/3 del volum d'un cilindre de la mateixa altura i ràdio.

Àrea del triàngul &lt;math&gt;= {bclaves h over 2}&lt;/math&gt;

Àrea superficial

La majoria de les fòrmules bàsiques per a l'àrea superficial es poden obtindre tallant les superfícies i aplanándolas. Per eixemple, si la superfície lateral del cilindre (o de qualsevol prisma) es talla longitudinalmente, la superfície pot aplanarse fins a formar un rectàngul. De la mateixa manera, si es fa un tall a lo llarc d'un con, la superfície lateral es pot aplanar fins a convertir-la en un sector d'un círcul i calcular l'àrea resultant.

La fòrmula de la superfície d'una esfera és més difícil d'obtindre: com una esfera té una curvatura gaussiana distinta de zero, no pot aplanarse. Arquímedes va obtindre per primera volta la fòrmula de l'àrea superficial d'una esfera en la seua obra Sobre l'esfera i el cilindre. La fòrmula és:

<math>A=4pi r^2</math> (esfera).

a on <math>r</math> és el radi de l'esfera. De la mateixa manera que en la fòrmula de l'àrea d'un círcul, qualsevol derivació d'esta fòrmula utilisa intrínsecament métodos similars al càlcul.

Fòrmules generals

Àrees de figures bidimensionales

• Un triàngul: <math>tfrac12Bh</math> (a on <math>B</math> és un costat qualsevol, i <math>h</math> és la distància des de la llínea en la que es troba <math>B</math> fins a l'atre vèrtiç del triàngul). Esta fòrmula pot utilisar-se si es coneix l'altura <math>h</math>. Si es coneixen les llongituts dels tres costats, es pot utilisar la fòrmula de Herón: <math>sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> a on <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> són els costats del triàngul i <math>s = tfrac12(a + b + c)</math> és el semiperimetro. Si es dona un àngul i dos costats inclosos, l'àrea és <math>tfrac12 a b sen(C)</math> a on <math>C</math> és l'àngul donat, i <math>a</math> i <math>b</math> són els seus costats inclosos. Si el triàngul es representa gràficament en un pla de coordenades, es pot utilisar una matriu i simplificar el valor absolut de <math>tfrac12(x_1 i_2 + x_2 i_3 + x_3 i_1 - x_2 i_1 - x_3 i_2 - x_1 i_3)</math>. Esta fòrmula també es coneix com la fòrmula de la lazada i és una forma fàcil de resoldre l'àrea d'un triàngul de coordenades substituint els 3 punts <math>(x_1,i_1),(x_2,i_2)</math> i <math>(x_3,i_3)</math>. La fòrmula de la lazada també es pot utilisar per a trobar les àrees d'atres polígons quan es coneixen els seus vèrtiços. Un atre enfocament per a un triàngul de coordenades és utilisar el càlcul per a trobar l'àrea.

• Un polígon simple es construïx sobre una cuadrícula de punts d'igual distància (és dir, punts en coordenades sanceres). Tots els vèrtiços del polígon són punts de la cuadrícula: <math>i + frac{b}{2} - 1</math>, a on <math>i</math> és el número de punts de la cuadrícula dins del polígon i <math>b</math> és el número de punts del llímit. Este resultat es coneix com teorema de Pick.

Àrea en el càlcul

L'integració pot medir l'àrea baixe una curva, definida per &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;, entre dos punts (ací &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; i &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;).

• L'àrea entre una curva de valor positiu i l'eix horisontal, mida entre dos valors <math>a</math> i <math>b</math> (<math>b</math> es definix com el major dels dos valors) en l'eix horisontal, ve donada per l'integral de <math>a</math> fins a <math>b</math> de la funció que representa la curva:

<math>A = int_a^{b} f(x) , dx</math>

• L'àrea entre les gràfiques de dos funcions és igual a l'integral d'una funció, f(x), menys l'integral de l'atra funció, g(x):

<math> A = int_a^{b} ( f(x) - g(x) ) , dx, </math> a on <math> f(x) </math> és la curva en el major valor d'i.

• Un àrea delimitada per una funció <math>r = r(theta)</math> expressada en coordenades polars és:

<math>A = {1 over 2} int r^2 , dtheta </math>

L'àrea tancada per una curva paramètrica <math>vec o(t) = (x(t), i(t)) </math> en punts extrems <math> vec o(t_0) = vec o(t_1) </math> està donada per les integrals de llínea:

L'àrea entre dos gràfiques és pot evaluar calculant la diferència entre els integrals dels dos funcions.

<math> oint_{t_0}^{t_1} x dot i , dt = - oint_{t_0}^{t_1} i dot x , dt = {1 over 2} oint_{t_0}^{t_1} (x dot i - i dot x) , dt </math>

o el component z de <math>{1

over 2} oint_{t_0}^{t_1} vec o claves dot{vec o} , dt.</math>

(Para més detalls, vejau el teorema de Green § Àrea d'una regió en el teorema de Green.) Este és el principi del dispositiu mecànic del planímetro.

Àrea llimitada entre dos funcions quadràtiques

Per a trobar l'àrea acotada entre dos funcions quadràtiques, restem una de l'atra per a escriure la diferència com:

<math>f(x)-g(x)=ax^2+bx+c=a(x-alpha)(x-beta)</math>

a on f(x) és el llímit superior quadràtic i g(x) és el llímit inferior quadràtic. Definir el discriminante de f(x)−g(x) com:

<math>Delta=b^2-4ac .</math>

Simplificant la fòrmula de l'integral entre les gràfiques de dos funcions (com s'indica en l'apartat anterior) i utilisant la fòrmula de Vieta, podem obtindre:

<math>A=frac{Deltasqrt{Delta}}{6a^2}=frac{a}{6}(beta-alpha)^3,qquad aneq0.</math>

Lo anterior seguix sent vàlit si una de les funcions delimitadoras és llineal en lloc de quadràtica.

Àrea superficial de les figures tridimensionals

• Con: <math>pi rleft(r + sqrt{r^2 + h^2}right)</math>, a on <math>r</math> és el radi de la base circular i <math>h</math> és l'altura. Açò també es pot reescriure com <math>pi r^2 + pi r l </math> or <math>pi r (r + l) ,!</math> a on <math>r</math> és el radi i <math>l</math> és l'altura oblicua del con. <math>pi r^2 </math> és la superfície base mentres que <math>pi r l </math> és la superfície lateral del con.
• gaveta: <math>6a^2</math>, a on <math>a</math> és la llongitut d'una aresta.
• cilindre: <math>2pi r(r + h)</math>, a on <math>r</math> és el radi d'una base i <math>h</math> és l'altura. <math>2pi r</math> també es pot reescriure com <math>pi d</math>, a on <math>d</math> és el diàmetro.
• prisma: <math>2B + Ph</math>, a on <math>B</math> és l'àrea d'una base, <math>P</math> és el perímetro d'una base i <math>h</math> és l'altura del prisma.
• piràmide: <math>B + frac{PL}{2}</math>, a on <math>B</math> és l'àrea de la base, <math>P</math> és el perímetro de la base i <math>L</math> és la llongitut de l'inclinament..
• prisma rectangular: <math>2 (ell a + ell h + a h)</math>, a on <math>l</math> és la llongitut, <math>a</math> és l'esgambi i <math>h</math> és l'altura.

Relació àrea-perímetro

Donada una curva simple tancada en el pla euclidià pot provar-se que la seua llongitut o perímetro de l'àrea tancada i la pròpia àrea tancada satisfan la relació:

<math>frac{A}{L^2} li frac{1}{4pi}</math>

L'igualtat s'alcança només per a un círcul el restant de figures i formes possibles complixen la desigualtat estrictes

Llista de fòrmules

Atres fòrmules comunes per a l'àrea:

Forma	Fòrmula	Variables
Rectàngul	<math>A=ab</math>
Triàngul rectàngul	<math>A = frac{ab}{2}</math>
Triàngul	<math>A=frac12bh ,!</math>
Triàngul	<math>A=frac12 a b sen(gamma),!</math>
Triàngul<br> (fòrmula de Herón)	<math>A=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},!</math>	<math> s =tfrac 1 2 (a+b+c)</math>
Triàngul isósceles	<math>A=frac{b}{4}sqrt{4a^2-c^2}</math>
Triàngul equilátero	<math>A=frac{sqrt{3}}{4}a^2,!</math>
Rombo/deltoide	<math>A=frac12de</math>
Paralelogramo	<math>A=ah_a,!</math>
Trapezi	<math>A=frac{(a+c)h}{2} ,!</math>
Hexàgon regular	<math>A=frac{3}{2} sqrt{3}a^2,!</math>
Octògon regular	<math>A=2(1+sqrt{2})a^2,!</math>
Polígon regular<br> (de costats <math>n</math> )	<math>A=nfrac{ar}{2}=frac{pr}{2}</math><br> <math>quad =tfrac 1 4 na^2cot(tfrac pi n)</math><br> <math>quad = nr^2 tan(tfrac pi n)</math><br> <math>quad =tfrac{1}{4n}p^2cot(tfrac pi n)</math><br> <math>quad =tfrac{1}{2}nR^2 sen(tfrac{2pi}{n}) ,!</math>	<math>p=na </math> (perímetro)<br> <math>r=tfrac a 2 cot(tfrac pi n),</math><br> <math>tfrac a 2= rtan(tfrac pi n)=Rsen(tfrac pi n)</math><br> <math>r:</math> ràdio de la circumferència inscrita<br> <math>R:</math> ràdio de la circumferència circumscrita
Círcul	<math>A=pi r^2=frac{pi d^2}{4}</math><br> (<math> d=2r: </math> diàmetro)
Sector circular	<math>A=frac{theta}{2}r^2=frac{L cdot r}{2},!</math>
Elipse	<math>A=pi ab ,!</math>
Integral	<math>A=int_a^b f(x)mathrm{d}x , f(x)ge 0</math>
	Àrea superficial
Esfera	<math>p = 4pi r^2 = pi d^2</math>
Ortoedro	<math>p = 2(ab+ac+bc)</math>
Cilindre (incl. part inferior i superior)	<math>A = 2 pi r (r + h)</math>
Con (incl. la part inferior)	<math>A = pi r (r + sqrt{r^2+h^2})</math>
Bou	<math>A = 4pi^2 cdot R cdot r</math>
Superfície de revolució	<math>A = 2piint_a^b! f(x)sqrt{1+left[f'(x)right]^2}mathrm{d}x</math><br> (rotació al voltant de l'eix x)

Els càlculs anteriors mostren cóm trobar les àrees de moltes formes comunes.

Les àrees dels polígons irregulars (i, per tant, arbitraris) poden calcular-se per mig de la «fòrmula de l'àrea de Gauss» (fòrmula de la lazada).

Vore també

• Unitat de mida
• Metrologia
• Àrees de figures geomètriques

Enllaços externs

• «àrea». Diccionari General de la Llengua Valenciana . Real Acadèmia de Cultura Valenciana (RACV).