Teorema de Pick

La teorema de Pick demostrat per Georg Alexander Pick (1859 - 1942). És una fòrmula senzilla que permet treballar la geometria, relaciona l'àrea d'un polígon simple els vèrtiços del qual tenen coordenadas sanceres (els polígons reticulars)^[1] en el número de punts en el seu interior i en la seua vora (frontera) que tinguen també coordenades sanceres.

Un punt les coordenades del qual siguen sanceres es coneix com a punt sancer. La teorema de Pick establix que:

D'acort en lo anterior mostra que és una forma fàcil de càlcul d'àrees en polígons reticulars usant solament el conteo dels punts en la cuadrícula.^[2]

La teorema, com es mostra ací és sol vàlit per a polígons simples, és dir, polígons d'una sola peça que no tenen forats. Per a una versió més general de la teorema el "−1" de la fòrmula pot ser reemplaçat en " $- χ (P)$ ", a on $χ (P)$ és la Característica de Euler de P.

Georg Alexander Pick va descriure el resultat en 1899. El tetraedre de Reeve mostra que no existix un anàlec de la teorema de Pick en tres dimensions que expresse el volum d'un poliedre contant els punts en el seu interior i vora. No obstant, existix una generalisació en dimensions superiors per mig de polinomis de Ehrhart. La fòrmula també es generalisa a la superfície dels poliedres.

Actualment la teorema és ben conegut, i es presumix que Pick pretenia demostrar ventages didàctiques que es poden obtindre quan es relacionen distints temes matemàtics (és dir, un enfocament interdisciplinari), ya que també es preocupava per l'educació. ^[3]

Demostració

El resultat es demostra per inducció matemàtica. A partir de la demostració de la fòrmula per a triànguls i del fet de que és possible la triangulació de qualsevol polígon de vèrtiços sancers (Elduque, 2007), pero això no era objecte d'esta activitat desenrollada en la formació inicial de Mestres.^[4]

Considera un polígon P i un triàngul T en una aresta en comuna en P. Assumim que la teorema de Pick és cert de forma independent tant per a P com per a T; volem mostrar que també s'obté afegint T a P. Ya que P i T compartixen una aresta, tots els punts de la vora a lo llarc de l'aresta en comuna s'afigen com a punts interiors, llevat els dos punts en els extrems que s'afigen com a punts en la vora. Aixina, sent c el número de punts en la vora en comuna, tenim que

\begin{matrix} i_{P T} & = (i_{P} + i_{T}) + (c - 2), \\ b_{P T} & = (b_{P} + b_{T}) - 2 (c - 2) - 2, \end{matrix}

de manera que

\begin{matrix} i_{P} + i_{T} & = i_{P T} - (c - 2), \\ b_{P} + b_{T} & = b_{P T} + 2 (c - 2) + 2. \end{matrix}

Ya que s'està assumint que la teorema és certa per a P i T,

\begin{matrix} A_{P T} & = A_{P} + A_{T} \\ = (i_{P} + \frac{b_{P}}{2} - 1) + (i_{T} + \frac{b_{T}}{2} - 1) \\ = (i_{P} + i_{T}) + \frac{b_{P} + b_{T}}{2} - 2 \\ = i_{P T} - (c - 2) + \frac{b_{P T} + 2 (c - 2) + 2}{2} - 2 \\ = i_{P T} + \frac{b_{P T}}{2} - 1. \end{matrix}

Sabent que qualsevol polígon pugues triangularse, si la teorema és certa per a P, podent ser construït per mig de $n$ triànguls, també serà cert per a polígons construïts per mig de $n + 1$ triànguls. Per a terminar la prova per inducció, es deu demostrar llavors que la teorema és certa per a qualsevol triàngul.

Sent cert la teorema per a quadrats de costat 1, es pot deduir igualment per inducció que ho és per a rectànguls en costats paralels als eixos. En això, també és cert, per mig d'aritmètica bàsica, per als triànguls rectànguls resultants de seccionar el rectàngul per qualsevol diagonal, sabent que

\begin{matrix} A_{T} & = \frac{A_{R}}{2}, \\ i_{R} & = 2 i_{T} + i_{d}, \\ b_{R} & = (b_{T} - i_{d}) + (b_{T} - i_{d} - 2), \end{matrix}

sent $i_{d}$ el número de punts interns de R tallats per la diagonal.

Qualsevol triàngul T pot inscriure's un rectàngul R en costats paralels als eixos afegint com a molt tres triànguls rectànguls O, V, W (en hipotenuses en les arestes de T no paraleles a algun dels eixos). La seua àrea queda determinada com a diferència entre l'àrea de R i l'àrea de O, V, W. En això, també és cert la teorema per a T, per mig d'aritmètica bàsica, per ser cert la teorema per a totes elles i sabent que

\begin{matrix} i_{R} & = i_{T} + (i_{U} + i_{d_{U}}) + (i_{V} + i_{d_{V}}) + (i_{W} + i_{d_{W}}), \\ b_{R} & = (b_{U} - i_{d_{U}} - 1) + (b_{V} - i_{d_{V}} - 1) + (b_{W} - i_{d_{W}} - 1), \\ b_{T} & = i_{d_{U}} + i_{d_{V}} + i_{d_{W}} + 3, \end{matrix}

sent $i_{d}$ el número de punts interns de R tallats per l'hipotenusa de cada triàngul rectàngul.

Per tant, la teorema és certa per a qualsevol triàngul, demostrant que també ho és per al polígon P i per inducció per a qualsevol polígon PT.

L'àrea d'un polígon s'expressa en funció dels punts de la retícula que són interiors o en la frontera. Com a aplicacions es poden estudiar les successions de Farey i atres problemes geomètrics. ^[5]

En el següent enllaç es pot trobar una ferramenta molt útil i fàcil d'usar i deprendre, per a practicar el càlcul de l'àrea de polígons simples. Recursos Educatius UNAM: Teorema de Pick ^[6]

Referències

↑ Clemens i uns atres: "Geometria en aplicacions i solució de problemes"
↑ Oliveira, Saulo Macedo de; Borges, Jeysse Jacyara Oliveira; Lopes, Rieuse(2023-12-05).«Mapeamento de perquisicions sobre o Teorema de Pick em contexts dona Educação Bàsica no periodo de 2014 a 2021».Revista de Investigação i Divulgação em Educação Matemàtica.7(1)ISSN 2594-4673.doi:10.34019/2594-4673.2023.v7.42519.Consultat el 2025-07-26.
↑ Ramírez Ruiz, Liliana(2010-11-23).«Camp científic i rets de coautoría en la siquiatria; la producció científica psiquiàtrica mexicana sobre el trastorn de la personalitat».Rets. Revista hispana per a l'anàlisis de rets socials.19(2): 20–39.ISSN 1579-0185.doi:10.5565/rev/rets.255.Consultat el 2025-07-26.
↑ Barrantes, M.; Blanc, L. J.(2004-01-12).«Recorts, expectatives i concepcions dels estudiants per a mestre sobre la geometria escolar».Ensenyança de les Ciències. Revista d'investigació i experiències didàctiques.22(2): 241–250.ISSN 2174-6486.doi:10.5565/rev/ensciencias.3886.Consultat el 2025-07-26.
↑ Fernández Ruiz, Marcos(2013-01-05).«EL NÚCLEO RUPESTRE DE SIERRA HARANA (GRANADA)».Quaderns de Prehistòria i Arqueologia de l'Universitat de Granada.19: 289–306.ISSN 2659-9295.doi:10.30827/cpag.v19i0.191.Consultat el 2025-07-26.
↑ PEREIRA CARVALHO, RODRIGO«TEOREMA DE PICK».Faculdades Catolicas.Consultat el 2025-07-26.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Pick» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Clemens i uns atres: "Geometria en aplicacions i solució de problemes"

[2] Oliveira, Saulo Macedo de; Borges, Jeysse Jacyara Oliveira; Lopes, Rieuse(2023-12-05).«Mapeamento de perquisicions sobre o Teorema de Pick em contexts dona Educação Bàsica no periodo de 2014 a 2021».Revista de Investigação i Divulgação em Educação Matemàtica.7(1)ISSN 2594-4673.doi:10.34019/2594-4673.2023.v7.42519.Consultat el 2025-07-26.

[3] Ramírez Ruiz, Liliana(2010-11-23).«Camp científic i rets de coautoría en la siquiatria; la producció científica psiquiàtrica mexicana sobre el trastorn de la personalitat».Rets. Revista hispana per a l'anàlisis de rets socials.19(2): 20–39.ISSN 1579-0185.doi:10.5565/rev/rets.255.Consultat el 2025-07-26.

[4] Barrantes, M.; Blanc, L. J.(2004-01-12).«Recorts, expectatives i concepcions dels estudiants per a mestre sobre la geometria escolar».Ensenyança de les Ciències. Revista d'investigació i experiències didàctiques.22(2): 241–250.ISSN 2174-6486.doi:10.5565/rev/ensciencias.3886.Consultat el 2025-07-26.

[5] Fernández Ruiz, Marcos(2013-01-05).«EL NÚCLEO RUPESTRE DE SIERRA HARANA (GRANADA)».Quaderns de Prehistòria i Arqueologia de l'Universitat de Granada.19: 289–306.ISSN 2659-9295.doi:10.30827/cpag.v19i0.191.Consultat el 2025-07-26.

[6] PEREIRA CARVALHO, RODRIGO«TEOREMA DE PICK».Faculdades Catolicas.Consultat el 2025-07-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]