Sobre la mida del círcul

Sobre la mida del círcul (en grec: Κύκλου μέτρησις, Kuklou metrēsis) és un tractat del matemàtic grec Arquímedes que consta de tres proposicions. Este treball és només una fracció de lo que va anar un treball més extens.

Propostes

Primera proposició

Erro al crear miniatura:

El círcul i el triàngul són iguals sobre àrea.

La primera proposició establix que:

L'àrea d'un círcul és igual a un triàngul rectàngul en el que un dels costats que comprenen l'àngul recte és igual al radi, i l'atre a la circumferència, del círcul

És dir, qualsevol círcul en una circumferència c i un ràdio r és igual en àrea en un triàngul rectàngul en els dos extrems sent c i r. Esta proposició es prova pel método exhaustiu.

D'esta proposició pot deduir-se directament la fòrmula més coneguda per al àrea del círcul puix $c=2\pi r$ i l'àrea d'un triàngul rectàngul és la mitat de la seua base per l'altura, açò és $\frac{1}{2}cr$. Aixina,s'obté que l'àrea del círcul equival a $\pi r^2$

Segona proposició

Diu:

L'àrea d'un círcul és el quadrat del seu diàmetro d'11 a 14.

Esta proposició no va poder haver segut colocada per Arquímedes, ya que es basa en els resultats de la tercera proposició.

Tercera proposició

La tercera proposició establix que:

Un eixemple de cóm Arquímedes va calcular el número Pi. Va utilisar un polígon de 96 costats en busca de la seua estimació.

La relació de la circumferència de qualsevol círcul per al seu diàmetro és major que $3\frac{10}{71}$ pero menor que $3\frac{1}{7}$

Açò s'aproxima a lo que hui cridem la constant matemàtica π. Va trobar estos llímits per al valor de π per inscriure i circumscriure un círcul en dos polígons regulars similars de 96 cares cada u.

Aproximació a la raïl quadrada de tres

La tercera proposició també conté aproximacions precises a la raïl quadrada de 3 (una més gran i una atra més menuda), ademés d'unes atres no tan perfectes aproximacions de raïls quadrades; no obstant, Arquímedes no dona cap explicació de cóm va trobar estos números. Ell dona el llímit superior i inferior de √3: $\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}.$; no obstant, estos llímits són familiars a partir de l'estudi de l'equació de Pell i els convergents d'un associat de la fracció contínua, donant lloc a molta especulació sobre si estos números varen poder haver estat accessibles a Arquímedes. La discussió d'este enfocament es remonta, a lo manco, a Thomas Fantet de Lagny , FRS en 1723, pero va ser tractat de manera més explícita per Hieronymus Georg Zeuthen. A principis de la década de 1880, Friedrich Otto Hultsch (1833 - 1906) i Karl Heinrich Hunrath (b. 1847) varen observar cóm els llímits es pot trobar en rapidea per mig de simples llímits del binomi de raïls quadrades prop d'un quadrat perfecte, este método es veu favorida per Heath. No obstant, els llímits també pot ser produït per una construcció geomètrica iterativa proposta per Arquímedes en el marc de la dodecágono regular. En este cas, la tasca és donar aproximacions racionals a la tangente de π/12.