Vector (matemàtiques i física)

En matemàtiques, un vector és un objecte que generalisa vàries nocions provinents de la geometria (com a parells de punts o translacions), del àlgebra (com la solució d'un sistema d'equacions en vàries incògnites), o de la física (a on s'usa per a representar entre atres magnituts velocitats, acceleració o forces).

Rigorosament axiomatizada, la noció de vector és la base de la branca de les matemàtiques cridada àlgebra llineal. En este sentit, un vector és un element d'un espai vectorial, és dir, que es poden realisar les operacions d'adició i de multiplicació escalar (per un número), i que estes operacions tenen les propietats exigibles en un espai vectorial. Per eixemple un parell o una tupla de número real es pot vore com un vector (la suma i el producte per un número real es fan component a component).

En geometria euclídea, daus dos punts A i B, el vector $\vec{A B}$ representa una translació que associa el punt B en el punt A. Per lo tant, parells de punts diferents poden correspondre al mateix vector. La suma (vore la relació de Chasles) i la multiplicació es definixen geomètricament.

Els vectores es representen freqüentment com a simples tuplas o, gràficament, en el cas particular d'espais d'1, 2 o 3 dimensions, per mig de fleches: esta representació prové de la combinació de les nocions de parells de punts de la geometria euclídea (que permeten definir distàncies, pero també direccions i orientacions), i les possibilitats de càlcul que oferix l'àlgebra. Açò permet donar significat a vectores definits en dos dimensions (el pla) i en tres dimensions (l'espai euclídeo habitual), pero més generalment en espais de qualsevol dimensió.

En física, els vectores s'utilisen àmpliament i permeten modelar magnituts com forces, velocitats, acceleració, cantitats de moviment o certs camps (com el camp elèctric, el camp magnètic o el camp gravitatorio). Una magnitut vectorial es contrapon a una magnitut escalar: la magnitut escalar solament té un valor pero no té direcció ni sentit.

Estes nocions de camps, i els operadors que permeten calcular-los, varen dur a la definició, en àlgebra multilineal, de la noció de camp vectorial, és dir, una funció de ℝⁿ en ℝⁿ. Llavors, per eixemple, resoldre una equació diferencial significa determinar les curves a les que els vectores de camp són tangentes.

Encara més en general, els vectores són casos especials de tensors (s'identifiquen en tensors d'orde 1). Els tensors d'orde 2 estan representats per matrius, i les matrius d'un aplicació llineal que transformen els vectores en funcions llineals constituïxen una forma particular de vectores, també cridats bivectors.

Enfocament geomètric

La geometria euclídea és la geometria del pla o de l'espai, basada en els axioma de Euclides. Les nocions de punt, recta i llongitut s'introduïxen per mig de axioma. El vector és llavors un objecte geomètric construït a partir dels conceptes anteriors.

Una visualisació intuïtiva d'un vector correspon a un desplaçament d'un punt, o per a usar el terme matemàtic precís, una translació. Aixina, un vector té una llongitut (la distància entre el punt inicial i el final), una direcció (si el desplaçament no és zero, és la recta que conté el punt inicial i el final) i un sentit (des de l'orige cap al final).

Definició

Els parells de punts (A, B), (C, D), (I, F) són equipolentes. Constituïxen tres representants d'un mateix vector. De fet, els cuadrupletes de punts ABFE i ABDC definixen dos paralelogramos

Un vector està representat per un segment orientat (una flecha), que té com a extrems un punt inicial i un punt final. No importa l'ubicació en el pla o en l'espai, dos desplaçaments de dos punts d'orige distints poden correspondre a un mateix vector, solament conten la seua llongitut, la seua direcció i el seu sentit. Per lo tant, és possible esgolar-ho lliurement en el pla, paralel a sí mateixa. Si A i B són dos punts distints, el vector $\vec{A B}$ té tres elements característics:

El seu direcció (recta (AB))
El seu sentit (hi ha dos sentits possibles per a recórrer el segment (AB): de A cap a B o de B cap a A)
La seua norma (o la seua llongitut, la llongitut del segment [AB])

No obstant, deu anar-se en conte de no confondre direcció i sentit. En efecte, en el llenguage comú, quan se circula per una carretera entre París i Versalles i es diu que es va en direcció a Versalles, el vehícul s'anirà acostant a esta última ciutat. Pero en el llenguage matemàtic la direcció és una propietat de la carretera (direcció París-Versalles) sense saber si es va de Versalles a París o de París a Versalles. Per a saber cap a quina ciutat s'està viajant també és necessari especificar el sentit del recorregut: París-Versalles, per eixemple, per a indicar que es va des de París cap a Versalles.

Una definició formal utilisa primer la noció de "bipunto". Es definix com una parella de punts. L'orde és important: el primer punt es diu orige. Dos bipuntos (A, B) i (C, D) es denominen equipolentes quan els segments [AD] i [BC] són paralels i d'igual magnitut i sentit. La relació de equipolencia constituïx una relació d'equivalència entre bipuntos. Una classe d'equivalència conté tots els bipuntos el segon membre dels quals és la image del primer punt una volta aplicat el mateix desplaçament.

La classe d'equivalència d'un bipunto (A, B) es diu vector i es denota com $\vec{A B}$ . El bipunto (A, B) és un representant d'una classe. Pel contrari, qualsevol vector admet varis bipuntos representatius, cap dels quals és privilegiat. Si s'elegix un orige determinat, hi ha un únic bipunto que representa a un vector donat.

Si ben els vectores es poden moure en el pla o en l'espai, els punts no. Estos permaneixen fixos. La ventaja de tindre un representant d'un vector és obtindre, entre els bipuntos equipolentes, solament un l'orige dels quals o punt final quede fixat d'una volta per totes.

Aixina, dos bipuntos (A, B) i (C, D) són equipolentes si i solament si representen el mateix vector, i llavors es pot escriure l'igualtat

\vec{A B} = \vec{C D} .

Tots els bipuntos formats per la repetició d'un mateix punt: (A, A), són equipolentos entre sí, i són els representants d'un vector denominat nul. S'observa que

\vec{A A} = \vec{0}

.

Este vector únic té la propietat particular de tindre el mateix orige i fi. Llavors, serà l'únic que es representarà com un punt. Un vector representa un desplaçament. Pero en un vector nul, sent el final i l'orige iguals, no hi ha desplaçament. Per lo tant, açò significa que l'absència de moviment es considera una classe especial de moviment.

Les teories que presenten els vectores com una classe d'equivalència de bipuntos generalment els denoten en una lletra coronada per una flecha.^[1]

Llongitut i àngul

Artícul principal → Producte escalar.

La llongitut d'un bipunto (A, B) es definix com la llongitut del segment subjacent. Dos bipuntos equipolentes tenen la mateixa llongitut. Per lo tant, totes les representacions d'un vector $\vec{u}$ tenen la mateixa llongitut, lo que es denomina norma (o mòdul) del vector $\vec{u}$ , i generalment es denota com $| | \vec{u} | |$ (a voltes també s'usa simplement l'o les lletres que designen el vector sense la flecha, per eixemple o o AB). Un vector unitari és un vector de norma 1. El vector zero és de norma zero, és dir, $| | \vec{0} | | = 0$ .

l'àngul que formen dos vectores $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es denota com $(\hat{\vec{u}, \vec{v}})$ . Es definix com l'àngul format per dos representants en el mateix orige. Llavors, si (A, B) és un representant de $\vec{u}$ i (A, C) un representant de $\vec{v}$ , llavors

(\hat{\vec{u}, \vec{v}}) = \hat{B A C}

En el pla orientat, és possible definir la noció d'àngul orientat de dos vectores. Este no és el cas en l'espai.

Operacions

Artícul principal → Càlcul vectorial.

Les construccions geomètriques permeten la definició d'adició i de multiplicació escalar. El nom donat a les operacions és conseqüència de la similitut de les seues propietats en les de les operacions en números (conmutatividad, asociatividad i distributividad, presència d'element neutre i d'element absorbent). Per esta raó, no solament els noms de les operacions sino també les notacions són similars.

Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són dos vectores, siga (A, B) un parell de punts que representen $\vec{u}$ i C el punt tal que el parell (B, C) representa el vector $\vec{v}$ . Llavors, un representant del vector $\vec{u} + \vec{v}$ és el parell (A, C). Si $\vec{v}$ és el vector zero, llavors els punts B i C són coincidentes, la suma és llavors igual a $\vec{u}$ i el vector zero és efectivament l'element neutre per a la suma dels vectores. Siga α un número, si $\vec{u}$ és el vector zero, llavors $α \vec{u}$ també és el vector zero; de lo contrari, existix una recta única que conté a A i a B, i un punt únic C tal que la distància entre A i C és igual a $| α | \cdot | | \vec{u} | |$ i el sentit de (A, B) si α és positiu, és el mateix que el sentit de $\vec{u}$ , i lo contrari en cas contrari.

Una volta equipades en una estructura d'espai vectorial, les demostracions de la geometria euclídea solen simplificar-se. Un eixemple ho dona el teorema de Tals.

Formalisació

David Hilbert va propondre una definició axiomàtica rigorosa de la geometria euclídea

Els Elements de Euclides no contenen vectores en sentit estricte, pero les nocions de punt o paralelogramo, de l'enfocament expost anteriorment, estan molt presents. Pero la axiomatisació dels Elements no és enterament satisfactòria, encara que ha segut durant molt temps un model en la matèria: certs axioma permaneixen implícits. David Hilbert va demostrar cóm axiomatizar geomètricament de forma rigorosa el pla o l'espai afí (vegen-se artículs sobre el pla afí de Desargues i sobre els axioma de Hilbert). Llavors, usant el paralelisme és possible definir translacions i homotecias, i usant estes transformacions, es poden definir a la seua volta vectores i escalares.^[2] Este enfocament és molt general: permet tractar casos útils, a on els escalares no són necessàriament número real, sino per eixemple número complex o els elements d'un cos finit.^[2] També es generalisa a qualsevol dimensió, a lo manco finita.^[2]

No obstant, el desenroll de les matemàtiques ha ampliat considerablement les àrees d'us dels vectores i s'utilisa molt un enfocament més algebraic. Es basa en dos conjunts: un que conté escalares i l'atre vectores. El segon es diu espai vectorial. Estos dos conjunts conten en operacions i es verifiquen axioma per a cada una de les operacions. Una construcció diferent per a formalisar el mateix concepte de vector és la que es tracta en l'artícul dedicat als espais vectorials, que s'esbossa a continuació.

Enfocament algebraic

Coordenades i vectores columna

Artícul principal → Base (àlgebra llineal).

En un pla, dos vectores distints de zero $\vec{a}$ i $\vec{b}$ en diferents direccions tenen una propietat important. Qualsevol vector $\vec{u}$ és la suma d'un múltiple de $\vec{a}$ i un múltiple de $\vec{b}$ . Açò significa que hi ha un parell únic de números, $(o 1, o 2)$ , tal que

\vec{u} = u_{1} \vec{a} + u_{2} \vec{b}

.

$\vec{u}$ es denomina llavors com una combinació llineal de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . Com qualsevol vector del pla, s'expressa de forma única com una combinació llineal de $\vec{a}$ i $\vec{b}$ . La família $(\vec{a}, \vec{b})$ es diu base del pla i $o 1$ , $o 2$ es diuen components^[3] del vector $\vec{u}$ en esta base. Esta definició correspon a la d'un pla afí equipat en un sistema de referència. Esta propietat seguix sent certa en l'espai. No obstant, dos vectores ya no són suficients, qualsevol base conté exactament tres vectores distints de zero i les direccions dels quals no són coplanarias (és dir, no hi ha cap pla que continga les tres direccions). Si en l'espai, els tres components d'un vector $\vec{u}$ són $o 1$ , $o 2$ i $o 3$ , s'acostuma a usar la notació:

\vec{u} (\begin{matrix} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix})

per a indicar les components del vector. La llista es diu vector columna i correspon a un cas especial de matriu. Les operacions algebraiques sobre vectores són simples en tal representació. Sumar dos vectores equival a sumar cada una de les components i multiplicar per un escalar equival a multiplicar cada component per l'escalar.

En un pla vectorial, una volta elegida una base, un vector s'identifica aixina en un parell d'escalares, i en l'espai en un triplet. Si els números elegits són número real, llavors un pla (respectivament un espai) s'identifica en ℝ² (respectivament en ℝ³). Ací, ℝ denota el conjunt dels número real.

Tinga's en conte que açò generalment és solament un isomorfisme de l'espai vectorial i no una igualtat. L'identificació també està vinculada a la base elegida: en canviar la base del pla o de l'espai, les components, per a un mateix vector, canvien i la correspondència és llavors diferent.

Esquema d'una construcció algebraica

Artícul principal → Espai vectorial.

La llògica anterior, aplicada per a una dimensió igual a dos o a tres, és generalisable. Per lo tant, és possible considerar l'estructura ℝⁿ o més generalment Kⁿ, sent K un conjunt d'escalares que tenen propietats adequades (de forma més precisa, K té que ser un cos). Tal estructura té una adició i una multiplicació definides com en el paràgraf anterior.

És possible generalisar encara més la definició de vector. Si un conjunt I té una suma i multiplicació escalar en un cos conmutativo i si les seues operacions verifiquen certes propietats, cridades axioma (descrites en l'artícul de referència), llavors I es diu espai vectorial i un element de I és un vector.

Molts eixemples de conjunts matemàticament interessants tenen tal estructura. Est és el cas, per eixemple, dels espais de polinomis, de les funcions que verifiquen determinades propietats de regularitat o de les matrius entre uns atres. Tots estos conjunts poden llavors estudiar-se en les ferramentes del càlcul vectorial i del àlgebra llineal.

La noció de dimensió proporciona el primer resultat de classificació d'espais vectorials. En un espai vectorial de dimensió finita n, és possible, elegint una base, calcular sobre vectores columna de tamany n. També hi ha espais vectorials de dimensió infinita. El conjunt de funcions de ℝ a ℝ és, per lo tant, un espai vectorial en el cos dels número real, de dimensió infinita. Considerades des d'este punt de vista, dites funcions són vectores.

Construcció algebraica i geometria

Si les dos construccions, algebraica i geomètrica, són equivalents per a les estructures vectorials del pla i de l'espai habitual, la geometria també proporciona les nocions de distància i d'àngul.

La noció de producte escalar permet omplir este buit. Un producte escalar associa dos vectores a un número real. Si els dos vectores són idèntics, el número real és positiu. Existix un producte escalar tal que la norma del vector és igual a la raïl quadrada del producte escalar del vector conseguixc mateix. La geometria euclídea apareix llavors com l'estudi d'un espai afí que comprén un espai vectorial de dimensió dos o tres sobre el cos dels número real, proveït d'un producte escalar: el pla afí euclídeo o l'espai afí euclídeo.

Una volta equipat en un producte escalar, és possible definir transformacions de geometria euclídea clàssica com la simetria, la rotació o la proyecció ortogonal en l'espai vectorial. Les transformacions associades en espais vectorials sempre deixen invariante el vector zero. Les rotacions permeten definir la noció d'àngul per a vectores. L'àngul $(\hat{\vec{u}, \vec{v}})$ és igual a $(\hat{\vec{u^{'}}, \vec{v^{'}}})$ si i solament si existix una rotació que fa correspondre $\vec{u}$ en $\vec{u^{'}}$ i $\vec{v}$ en $\vec{v^{'}}$ . Esta definició, que s'aplica a una formalisació algebraica de la noció d'espai vectorial, és equivalent a la de la construcció geomètrica. Este enfocament a voltes simplifica enormement les demostracions, com per eixemple en el cas del teorema de Pitágoras.

L'enfocament algebraic permet definir totes les nocions de la geometria euclídea, i generalisa esta geometria a qualsevol dimensió si els números són reals. En el cas dels número complex, existix una construcció anàloga, denominada espai hermítico.

Referències

↑ Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale parell A. Turbergue.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Emil Artin, Algèbre géométrique, Calmann-Lévy, chap. II.
↑ En lloc de la denominació «components», alguns autors també ampren la paraula «coordenades», pero este últim terme impedix la diferenciació entre l'unicitat de la localisació dels punts, que estan «fixos» en un sistema de referència dau, i l'aspecte «deslizante» de les components vectorials, per la naturalea de la relació d'equivalència i a la multiplicitat de representants de cada vector (Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires).

Bibliografia

Històrica

Crowe, Michael J. (2003-03-28). Dover Publications Inc. (ed.). A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System, New edition edició (en en). ISBN 978-0-486-67910-5.
«A general outline of the genesis of vector space theory».Història mathematica.22(3)

227–261.ISSN 0315-0860.doi:10.1006/hmat.1995.1024.Consultat el 2021-02-03.

(anglés) J. V. Field, L'invenció de l'infinit: matemàtiques i art en la Renaixença, Oxford University Press, 1997 ISBN 0198523947. (Este text mostra cóm els artistes del Renaixença varen produir matemàtiques que no només varen revolucionar el seu ofici, sino que també varen contribuir a la matemàtica pura)

Obres populars

F. Casiro, A. Deledicq, Pitágoras i Tals Els éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X (Este text és un treball didàctic sobre els fonaments de la geometria en alguns elements relacionats en l'història)
R. Pouzergues, Els Hexamys, IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Referència: IM8974 Llectura en llínea (Este chicotet llibre de 89 pàgines presenta la geometria proyectiva. Està disponible en internet)
D. Lehmann i Rudolf Bkouche, Iniciació a la geometria, PUF, 1988, ISBN 2130401600 (Este llibre de geometria comença de manera simple. Després cobrix l'us de ferramentes més sofisticades com a formes quadràtiques. Conté un Apèndix històric)

Treballs tècnics

Y. Sortais, La Geometria del Triàngul. Eixercicis resolts, Hermann, 1997, ISBN 270561429X (Este llibre està dirigit principalment a estudiants de segon a últim curs, aixina com al seu professor. Oferix eixercicis sobre el teorema de Tals, la proyecció ortogonal, l'homotecia, la simetria i la rotació en el pla, el càlcul baricéntrico, el producte escalar, o inclús la noció d'àngul)
Y. Ladegaillerie, Geometria per a les matemàtiques CAPES, Ellipses Màrqueting, 2002 ISBN 2729811486 (Este llibre cobrix la geometria elemental en el programa CAPES. Conté més de 600 figures geomètriques i cobrix la geometria afí euclídea, aixina com l'àlgebra llineal elemental)
J. Pérez, Mecànica física, Masson, 2007 ISBN 2225553416 (Este llibre és un curs de física per a l'us de la llicència, comprén les nocions de tors, vector lligat, deslizante i lliure)
M. B. Karbo, Gràfics i Internet, Compétence micro, nº 26 , 2002 ISBN 2912954959 (Este llibre tracta tant aspectes pràctics com les fortalees i debilitats de diferents tècniques, diferents software i formats disponibles en els mercats com a aspectes teòrics)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Vector (matemáticas y física)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale parell A. Turbergue.

[artin-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Emil Artin, Algèbre géométrique, Calmann-Lévy, chap. II.

[3] En lloc de la denominació «components», alguns autors també ampren la paraula «coordenades», pero este últim terme impedix la diferenciació entre l'unicitat de la localisació dels punts, que estan «fixos» en un sistema de referència dau, i l'aspecte «deslizante» de les components vectorials, per la naturalea de la relació d'equivalència i a la multiplicitat de representants de cada vector (Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires).

[1]

[2]

[3]