3D

En física, geometria i anàlisis matemàtic, un objecte o ent és tridimensional si consta de tres dimensions. És dir, cada u dels seus punts pot ser localisat especificant tres números dins d'un cert ranc. Per eixemple, esgambi, altura i profunditat. l'espai al nostre entorn és tridimensional a simple vista, pero en realitat hi ha més dimensions, per lo que també pot ser considerat un espai tetra-dimensional si incloem el temps com a quarta dimensió. la teoria de Kaluza-Klein original postulava un espai-temps de cinc dimensions; la teoria de cordes repren/reprén eixa idea i postula segons diferents versions que l'espai físic podria tindre 9 o 10 dimensions. Tècnicament, una tupla de números $n$ pot entendre's com les coordenades cartesianas d'una ubicació en un espai euclidiano dimensional $n$ . El conjunt d'estes tuplas $n$ es denota comunament ___* $ℝ^{n},$ i es pot identificar a la parella formada per un espai euclidiano dimensional $n$ i un sistema de coordenades cartesianas. Quàn $n = 3$ , este espai es diu espai euclidiano tridimensional (o simplement espai euclidiano quan el context és clar).^[1] Servix com a model del univers físic (quan no es considera la teoria de la relativitat), en el que existix tota la matèria coneguda. Si ben este espai seguix sent la forma més convincent i útil de modelar el món tal com s'experimenta,^[2] és només un eixemple d'una gran varietat d'espais en tres dimensions cridats 3-varietats. En este eixemple clàssic, quan els tres valors es referixen a medicions en diferents direccions (coordenades), es poden elegir tres direccions cualquieras, sempre que els vectores en estes direccions no es troben tots en el mateix espai bidimensional (pla). Ademés, en este cas, estos tres valors es poden etiquetar per mig de qualsevol combinació de tres elegits entre els térmens ample, alt/profunditat i llarc.

Història

Els llibres XI a XIII dels Elements d'Euclides tracten de la geometria tridimensional. Ellibre XI desenrolla nocions d'ortogonalidad i paralisme de llínees i plans, i definix sòlits que inclouen paralepípedes, piràmides, prismes, esferes, octaedres, icosaedres i dodecaedres. Ellibre XII desenrolla nocions de semblança de sòlits. Ellibre XIII descriu la construcció dels cinc sòlits platònics regulars en una esfera. En el XVII, l'espai tridimensional va ser descrit en coordenades cartesianas, en el advenimiento de la geometria analítica desenrollada per René Descartes en la seua obra La Géométrie i Pierre de Fermat en el manuscrit Ad locos plans et solguts isagoge (Introducció als llocs geomètrics plans i sòlits), inèdit en vida de Fermat. No obstant, solament el treball de Fermat es va ocupar de l'espai tridimensional. En el XIX, els desenrolls de la geometria de l'espai tridimensional varen aplegar en el desenroll de William Rowan Hamilton dels cuaterniones. De fet, va anar Hamilton qui va falcar els térmens escalar i vector, i es varen definir per primera volta dins del seu marc geomètric per a cuaterniones. L'espai tridimensional podria llavors ser descrit per cuaterniones ___* $q = a + u i + v j + w k$ que tenía un componente escalar que se desvanece, es decir, $a = 0$ . Si bien Hamilton no lo estudió explícitamente, esto introdujo indirectamente nociones de base, aquí dadas pels elementos de cuaternión $i, j, k$ , aixina com el producte escalar i el producte vectorial, que corresponen a (el negatiu de) la part escalar i la part vectorial del producte de dos cuaterniones vectorials. No va ser fins a Josiah Willard Gibbs que estos dos productes es varen identificar per dret propi, i la notació moderna per al producte punt i creu es va introduir en les seues notes d'ensenyança en l'aula, que també es troben en ellibre de text de 1901 Vector Analysis escrit per Edwin Bidwell Wilson basat en les conferències de Gibbs. També durant el XIX es varen produir desenrolls en el formalisme abstracte dels espais vectorials, en el treball d'Hermann Grassmann i Giuseppe Peano, l'últim dels quals va donar per primera volta la definició moderna dels espais vectorials com una estructura algebraica.

Espai físic tridimensional

En un espai euclídeo convencional un objecte físic finito està contingut dins d'un ortoedro mínim, les dimensions del qual es diuen ample, llarc i profunditat o altura. l'espai físic al nostre entorn és tridimensional a simple vista. No obstant, quan es consideren fenomens físics com la gravetat, la teoria de la relativitat nos du a que l'univers és un ent tetra-dimensional que inclou tant dimensions espacials com el temps com una atra dimensió. Diferents observadors percebran diferents "seccions espacials" d'este espai-temps per lo que l'espai físic és un poc més complex que un espai euclídeo tridimensional. En les teories recents no existix una raó clara per a que el número de dimensions espacials siguen tres. Encara que existixen certes intuïcions sobre això: Ehrenfest va senyalar que en quatre o més dimensions les òrbites planetàries tancades, per eixemple, no serien estables (i per això, sembla difícil que en un univers aixina existira vida inteligent preguntant-se per la tridimensionalidad espacial de l'univers). També se sap que existix una conexió entre l'intensitat d'un camp de forces estàtic en simetria esfèrica que s'estén sobre un espai de d dimensions i que satisfà el teorema de Gauss i la dimensió de l'espai (d), un camp gravitatorio, electrostàtic o d'un atre tipo que complixca en dites condicions per a grans distàncies deu tindre una variació de la forma:

A on:

ϕ

es la intensidad del campo.

k_{ϕ}

es una constante de proporcionalidad (

k_{ϕ} = - G

per al campo gravitatorio).

f

es una magnitud extensiva que mida la capacidad de fuente per a provocar el campo, per a un campo gravitatorio coincide con la masa y per a uno eléctrico con la carga.

r

es la distancia al "centro" o fuente que crea el campo.

d

és la dimensió de l'espai. Si la geometria de l'espai d-dimensional no és euclídea llavors l'expressió anterior deu corregir-se segons la curvatura. Per una atra part, teories físiques de tipo Kaluza-Klein –com les diferents versions de la teoria de cordes– postulen que existix un número adicional de dimensions compactificades, que solament serien observables en experiments en partícules altament energètiques. En estes teories algunes de les interaccions fonamentals poden ser explicades de manera senzilla postulant dimensions adicionals d'un modo similar a com la relativitat general explica la gravetat. De fet, la proposta original de Theodor Kaluza explicava de manera unificada l'electromagnetisme i la gravetat, postulant un univers de cinc dimensions en una dimensió compactar.

En geometria euclidiana

Sistemes de coordenades

Artícul principal → Sistema de coordenades.

En matemàtiques, la geometria analítica (també cridada geometria cartesiana) descriu cada punt de l'espai tridimensional per mig de tres coordenades. Es donen tres eixos de coordenades, cada u perpendicular als atres dos en l'orige, el punt en el que es creuen. Normalment es denominen $x, i$ , i $z$ . En relació en estos eixos, la posició de qualsevol punt en l'espai tridimensional ve donada per un triple ordenat de número real, cada número donant la distància d'eixe punt des del orige medit a lo llarc de l'eix donat, que és igual a la distància d'eixe punt des del pla determinat pels atres dos eixos.^[3]

Atres métodos populars per a descriure l'ubicació d'un punt en l'espai tridimensional inclouen coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques, encara que hi ha un número infinit de métodos possibles. Per a més informació, vejau espai euclídeo. A continuació es mostren imàgens dels sistemes mencionats.

Llínees i plans

Dos punts distints determinen sempre una llínea recta. Tres punts distints són colineals o determinen un únic pla. En canvi, quatre punts distints poden ser colineals, coplanares o determinar tot l'espai. Dos rectes distintes poden intersecarse, ser parals o ser rectes que es creuen. Dos rectes parals es troben en un únic pla, per lo que les rectes oblicuas són rectes que no es troben i no es troben en un pla comú. Dos plans distints poden trobar-se en una llínea comuna o ser parals (és dir, no trobar-se). Tres plans distints, cap parell dels quals és paral, poden trobar-se en una recta comuna, trobar-se en un únic punt comú o no tindre cap punt en comú. En este últim cas, les tres llínees d'intersecció de cada parell de plans són parals entre sí. Una recta pot estar en un pla dau, intersecar a eixe pla en un únic punt o ser parala al pla. En este últim cas, hi haurà rectes en el pla que siguen parals a la recta donada. Un hiperplano és un subespacio d'una dimensió menor que la dimensió de l'espai complet. Els hiperplanos d'un espai tridimensional són els subespacios bidimensionals, és dir, els plans. En térmens de coordenades cartesianas, els punts d'un hiperplano satisfan una única equació llineal, per lo que els plans d'este espai tridimensional es descriuen per mig d'equacions llineals. Una recta pot descriure's per mig d'un parell d'equacions llineals independents, cada una de les quals representa un pla l'intersecció comuna del qual és dita recta. el teorema de Varignon afirma que els punts mijos de qualsevol quadrilàter en ℝ³ formen un paralogramo, i per tant són coplanarios.

Esferes i boles

Artícul principal → Esfera.

Una esfera en el 3-espai (també cridada 2-esfera perque és un objecte bidimensional) consistix en el conjunt de tots els punts del 3-espai a una distància fixa $r$ d'un punt central $P$ . El sòlit tancat per l'esfera es diu bola (o, més precisament una 3-bola). El volum de la bola ve dau per

___* $V = \frac{4}{3} π r^{3},$ y la superficie de la esfera es $A = 4 π r^{2} .$ Un atre tipo d'esfera sorgix a partir d'una bola 4, la superfície tridimensional de la qual és la 3-esfera: punts equidistants a l'orige de l'espai euclídeo $ℝ 4$ . Si un punt té coordenades, $P (x, i, z, w)$ }, llavors $x 2 + i 2 + z 2 + w 2 = 1$ caracterisa eixos punts en la 3-esfera unitària centrada en l'orige. Esta 3-esfera és un eixemple de 3-manifold: un espai que és "sembla localment" com l'espai 3D. En térmens topològics precisos, cada punt de la 3-esfera té un veïnat que és homeomorfa a un subconjunt obert de l'espai 3D.

Superfícies de revolució

Artícul principal → Superfície de revolució.

Una superfície generada fent girar una curva plana al voltant d'una recta fixa en el seu pla com a eix es diu superfície de revolució. La curva plana es denomina generatriz de la superfície. Una secció de la superfície, feta intersecando la superfície en un pla que és perpendicular (ortogonal) a l'eix, és un círcul. Eixemples senzills es donen quan la generatriz és una recta. Si la recta generatriz interseca a la recta eix, la superfície de revolució és un con circular recte en vèrtiç (àpiç) el punt d'intersecció. No obstant, si la generatriz i l'eix són parals, llavors la superfície de revolució és un cilindre circular.

Politopos

Artícul principal → Poliedre.

En tres dimensions, existixen nou politopos regulars: els cinc sòlits platònics convexos i els quatre sòlits de Kepler-Poinsot no convexos.

Politopos regulars en tres dimensions
Class	Sòlits platònics					Sòlits de Kepler-Poinsot
Simetria	T_d	O_h		I_h
Grup de Coxeter	A₃, [3,3]	B₃, [4,3]		H₃, [5,3]
Orde	24	48		120
Poliedre regular	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	Erro al crear miniatura: {3,5/2}

Eixemples de formes tridimensionals

En geometria són tridimensionals les següents figures geomètriques:

Poliedres de cares planes:
Superfícies curves:
- Cilindre
- Cons
- Esfera o 3-esfera

Ya que totes elles poden ser embebidas en un espai euclídeo de tres dimensions. No obstant, cal senyalar que tècnicament l'esfera, el con o el cilindre són varietats bidimensionals (solament el clafoll) ya que els punts interiors a ells no són estrictament partix dels mateixos. Solament per un abús de llenguage o extensió del mateix informalmente es parla d'esferes, cilindres o cons incloent l'interior dels mateixos. Per una atra part existix la hiperesfera tridimensional (3-varietat) pero no és el clafoll d'una bola sino la compactificació de ___* $ℝ^{3}$ con un punto, así como la 2-esfera es per al plano euclídeo $ℝ^{2}$ .

Sistemes tridimensionals en ciències naturals

En química, es parla de sistemes tridimensionals quan l'enllaç químic és igualment intens en les tres direccions de l'espai (per eixemple, en el diamant). En magnetisme, es diu que l'ordenament magnètic solament és possible si l'acoplament magnètic és tridimensional (s'estén en les tres direccions de l'espai). En matemàtiques el sistema tridimensional es representa en el pla cartesiano en els eixos X, I i Z. Per lo general en estes representacions es manegen les formes geomètriques de tres dimensions com les gavetes o les esferes en dos dimensions utilisant perspectivas.

Simulació 3D

Hui en dia és possible la simulació per mig de càlculs basats en la proyecció d'entorns tridimensionals sobre pantalles bidimensionals, com monitors o televisors. Estos càlculs requerixen d'una gran càrrega de procés per lo que algunes computadoras i videoconsolas disponen de cert grau d'acceleració gràfica 3D gràcies a dispositius desenrollats per a tal fi. Les computadores disponen de les cridades targetes gràfiques en acceleració 3D. Estos dispositius estan formats per un o varis processadors (unitat de processament gràfic) dissenyats especialment per a accelerar els càlculs que suponen reproduir imàgens tridimensionals sobre una pantalla bidimensional i d'esta forma lliberar de càrrega de procés a l'unitat central de processament de la computadora.

Vore també

Referències

↑ «Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics» (en en).
↑ «Euclidean space | geometry» (en en).
↑ Càlcul : Simple i Multivariable, 6 edició, John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

Bibliografia

M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Enllaços externs

Erro al crear miniatura: 3D en el Viccionari. Tens que especificar títul = i url = al usar {{cita web}}..

Este artícul conté una traducció derivada de «Tridimensional» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics» (en en).

[2] «Euclidean space | geometry» (en en).

[Hughes-3] Càlcul : Simple i Multivariable, 6 edició, John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

[1]

[2]

[3]