Teorema de Varignon

Per a el resultat sobre moments d'un sistema de forces vore Teorema de Varignon (mecànica).

Els punts mijos de qualsevol quadrilàter formen un paralelogramo.

La teorema de Varignon és un resultat de geometria euclidiana pel geómetra francés Pierre Varignon, publicat en 1731, i que establix:

En qualsevol quadrilàter, els punts mijos dels costats formen un paralelogramo l'àrea del qual és la mitat de la del quadrilàter original

Al paralelogramo descrit en la teorema se li coneix com paralelogramo de Varignon.

Paralelogramo de Varignon

Adicionalment, en tindre un àrea igual a la mitat del quadrilàter associat, el paralelogramo de Varignon satisfà atres propietats.

El perímetro del paralelogramo de Varignon és igual a la suma de les llongituts de les diagonals del quadrilàter.
El paralelogramo de Varignon és un rombo si i solament si les diagonals del quadrilàter tenen la mateixa llongitut.
El paralelogramo de Varignon és un rectàngul si i solament si les diagonals del quadrilàter són perpendiculars.

Com a conseqüència:

El paralelogramo de Varignon és un quadrat si i solament si les diagonals del quadrilàter són perpendiculars i tenen la mateixa llongitut.

Generalisacions

Una forma de generalisar la teorema de Varignon és considerar polígons de més de quatre costats. Desafortunadament, el polígon obtingut en unir els punts mijos d'un polígon (denominat polígon derivat) no tindrà usualment costats paralels ni iguals. No obstant:

Si un polígon en 2n costats i vèrtiços $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{2 n}$ satisfà que $A_{i} A_{i + 1}$ és paralel i igual a $A_{i + n} A_{i + n + 2}$ (per a $1 \leq i \leq n$ ) i si $B_{j}$ és el punt mig del costat $A_{j} A_{j + 1}$ llavors el polígon $B_{1} B_{2} \dots B_{2 n}$ té costats oposts paralels i iguals.

La teorema també es pot generalisar a quadrilàters que no siguen plans (per eixemple, en l'espai o en dimensions majors), i encara que és possible modificar la prova euclidiana per al cas espacial, es pot donar una demostració vectorial per a cobrir el cas de dimensions majors.

Finalment, considerant un octaedre com una generalisació de quadrilàters a l'espai, i prenent els centroides de les cares com a equivalents als punts mijos dels costats, és possible demostrar que els centroides de les huit cares formen sempre un paralelepípede.

Bibliografia

(1993) Retorne a la geometria, Mathematical Association of America, p. 53. ISBN 8460487261.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Varignon» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.