Teorema de Varignon (mecànica)

Teorema de Varignon: càlcul del moment d'un conjunt de forces concurrents en un punt

La teorema de Varignon^[1] és una proposició enunciada per primera volta pel matemàtic neerlandés Simon Stevin a principis de el XVII, pero que deu la seua actual forma al matemàtic francés Pierre Varignon (1654-1722), qui ho va enunciar en 1687 en el seu tractat Nouvelle mécanique, com a resultat d'un estudi geomètric en el que, en contra de l'opinió dels matemàtics francesos de la seua época, va decidir traslladar les idees expostes per Newton a la notació i a l'enfocament sobre l'anàlisis que sostenia Leibniz.

Enunciat i demostració

La teorema de Varignon és vist, gràcies a l'ocupació del càlcul vectorial, com una obvietat. No obstant, en la seua época va tindre una rellevància fonamental, ya que les forces no eren vistes com vectores en un mòdul, direcció i sentits donats, sino com a entelèquia tremendament abstractes el tractament de les quals es vea complicat per una difícil i ineficaç semàntica i simbologia (que la notació de Leibniz va vindre a solucionar), i per l'ocupació de tècniques geomètriques molt ingenioses pero difícils de tractar.

El seu enunciat, segons la terminologia actual, vindria a ser:

a on s'entén com a forces concurrents aquelles el rectes soport de les quals (que passen pel punt d'aplicació i duen la direcció de la força) es tallen en un punt O.

NOTA: No és necessari que les forces siguen concurrents per a que es puga aplicar la teorema de varignon, per al que sàpia compondre forces paraleles i trobar de les mateixes el seu mòdul o intensitat, sentit i recta d'acció.

Demostració

Es tenen $n$ forces concurrents, ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}, ..., {\vec{F}}_{n}$ , aplicades en els punts $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$ . El moment resultant respecte a un punt O és:

${\vec{M}}_{O} = \sum_{i} {\vec{O A}}_{i} \times {\vec{F}}_{i}$

Ara be, per passar cada recta soport pel punt de concurrència P es complix per a cada una:

${\vec{P A}}_{i} \times {\vec{F}}_{i} = \vec{0}$

per ser vectores paralels. Per tant, per a cada moment individual:

${\vec{O A}}_{i} \times {\vec{F}}_{i} = (\vec{O P} + {\vec{P A}}_{i}) \times {\vec{F}}_{i} = \vec{O P} \times {\vec{F}}_{i}$

i per a la resultant:

${\vec{M}}_{O} = \sum_{i} \overline{O P} \times {\vec{F}}_{i} = \vec{O P} \times (\sum_{i} {\vec{F}}_{i}) = \vec{O P} \times \vec{F}$

Per tant, el procediment per a trobar el moment resultant consistix en dur totes les forces al punt de concurrència, trobar la resultant de totes les forces i després calcular el seu moment respecte al punt O.

En aplicar esta teorema a l'estàtica es té que, ya que la resultant de les forces deu anular-se, la condició per a que un sòlit somés a tres forces estiga en equilibri és que existixca un punt P tal que les rectes soport passen per ell (teorema de les tres forces). D'esta forma s'anulen simultàneament la resultant de les forces i la dels moments. Si este punt no existix, el sòlit no pot estar en equilibri.

Referències

↑ J. L. Meriam, L. G. Kraige (1997). Mecànica per a ingeniers. Estàtica, Volum 1, Reverte, pp. 30 de 427. ISBN 9788429142570.

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de Varignon (mecánica)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[JLMLGK-1] J. L. Meriam, L. G. Kraige (1997). Mecànica per a ingeniers. Estàtica, Volum 1, Reverte, pp. 30 de 427. ISBN 9788429142570.

[1]