Acoplament de moment angular

En mecànica quàntica, el procediment de construir estats propis del moment angular total (estats d'un sistema en valors ben definits del moment angular) a partir dels estats propis dels moments angulars individuals es diu acoplament de moments angulars. S'utilisa quan, a causa d'una interacció física entre dos moments angulars, estos ya no són constants del moviment independents (els seus valors individuals ya no seguixen lleis de conservació), pero la suma dels dos moments angulars normalment sí ho és. Per eixemple, l'espin i el moviment d'un electró poden interaccionar per acoplament espin-òrbita, en el cas de la qual és útil acoplar els seus moments angulars orbital i d'espin. O dos partícules carregades, cada una en un moment angular ben definit, poden interaccionar per forces de Coulomb, i llavors és útil acoplar els moments angulars de cada partícula resultant en un moment angular total, com a pas per a la resolució de l'equació de Schrödinger de dos partícules.

L'acoplament de moments angulars en àtoms és important per a explicar experiments d'espectroscòpia atòmica. L'acoplament de moments angulars d'espin electrònics és d'importància en la part de la química quàntica que estudia la magnetoquímica, i en la part de la física quàntica que estudia la física de la matèria condensada.

En astronomia, el acoplament de moments angulars reflectix la llei general de conservació del moment angular que també és vàlida en objectes celests. En casos simples, la direcció del vector moment angular es desprecia, i l'acoplament espin-òrbita és la raó entre la freqüència en la que un planeta o un atre cos celest trencada sobre el seu propi eix i aquella en la que orbita al voltant d'un atre cos. Açò es coneix comunament com resonància orbital. Freqüentment, els efectes físics subjacents són les forces de marea.

Teoria general i detalls de l'orige

El moment angular és una propietat dels sistemes físics, i és una constant de moviment (propietat conservada, independent del temps i ben definida) en dos situacions: (i) El sistema està subjecte a un camp potencial de simetria esfèrica. (ii) El sistema es mou -en sentit mecanocuántico- en l'espai isótropo. En abdós casos l'operador del moment angular commuta en el hamiltoniano del sistema. Pel principi de indeterminación de Heisenberg açò significa que el valor del moment angular i el de l'energia del sistema poden tindre valors arbitrariamente precisos simultàneament.

Un eixemple de la primera situació és un àtom els electrons del qual només estiguen exposts al camp culombiano del seu núcleu. En este model, el Hamiltoniano atòmic és la suma de les energies cinètiques dels electrons i de les interacciones electró-núcleu, de simetria esfèrica. Aixina, despreciant l'interacció interelectrónica (i atres destorbament menors com l'acoplament espin-òrbita), el moment angular orbital l de cada electró commuta en el del Hamiltoniano total.

Un eixemple de la segona situació és un rotor rígit movent-se en un espai lliure de camps. Un rotor rígit té un moment angular ben definit i independent del temps.

Estes dos situacions s'originen en la mecànica clàssica. Un tercer tipo de moment angular conservat, associat en la magnitut quàntica de l'espin, no té anàlec clàssic. No obstant, totes les regles de l'acoplament de moments angulars s'apliquen també a l'espin.

En general, la conservació del moment angular implica simetria rotacional completa (descrita pels grups de simetria SO(3) i SU(2)), i vicecersa. Si dos o més sistemes físics tenen conservació dels seus moments angulars per separat, pot ser útil sumar estos moments en un moment angular total, que serà una propietat conservada del sistema combinat. La construcció d'estats propis del moment angular total a partir dels estats propis dels moments angulars dels subsistema individuals es denomina acoplament del moment angular.

L'aplicació de l'acoplament del moment angular és útil quan hi ha una interacció entre subsistema que, sense ella, tindrien moments angulars conservats. L'interacció trenca la simetria esfèrica dels subsistema, pero el moment angular total seguix sent una constant del moviment, lo que resulta d'utilitat per a resoldre l'equació de Schrödinger.

En mecànica quàntica, este tipo d'acoplament també es produïx entre moments angulars pertanyents a distints espais de Hilbert d'un mateix objecte, per eixemple el seu espin i el seu moment magnètic orbital.

Acoplament espin-òrbita

El comportament de les partícules subatòmiques està ben descrit per la teoria de la mecànica quàntica, en la qual cada partícula té un moment angular intrínsec cridat espin, i a on les configuracions específiques -per eixemple d'electrons en un àtom- es descriuen per una série de números quàntics. Els colectius de partícules també tenen moments angulars i els corresponents números quàntics, i baix diferents condicions els moments angulars de les parts se sumen en diferents formes resultant en diferents moments angulars globals. La interacció espin-òrbita és l'interacció entre un moment magnètic associat a l'espin en el seu moviment espacial baix un potencial (generalment d'orige electrostàtic).

En física atòmica, el acoplament espin-òrbita descriu una interacció del moment magnètic associat a l'espin dels electrons i del seu moviment orbital al voltant del núcleu. L'efecte es presenta en l'espectre de l'àtom o la molècula, a on les llínees espectrals que coincidien se separen. Les llínees espectrals estan associades a nivells d'energia del sistema. En el cas a on nivells d'energia semblen coincidir, per eixemple tenen la mateixa energia si l'electró tenia l'espin alineat o antialineado en el moment angular orbital, ara se separen una miqueta per l'interacció espin-òrbita que preferix una alliniació sobre l'atra.

Esta interacció és responsable de molts detalls de l'estructura atòmica i molecular. Comunament, ho trobem quan en un ion, un àtom o una molècula, ademés d'electrons desparejados (que aporten moment magnètic d'espin) tenim una configuració electrònica en degeneració orbital. En estos casos, coexistixen l'interacció electrostàtica (repulsió de Coulomb) en efectes electromagnètics relativistes (interacció espin-òrbita).

En física de l'estat sòlit, la diferència entre bandes d'energia donada per acoplament espin-orbita és observat quan el moment magnètic associat als portadors de càrrega en un sòlit interactua en el camp electrostàtic de la ret cristalina pel moviment relatiu entre els portadors i els ions. Este fenomen és remarcable quan la ret carix de certes simetria, per eixemple el effecto espin-òrbita de Dresselhaus apareix en sistemes massiços sense simetria d'inversió. Un atre eixemple són els cridats punts quàntics (també cridats àtoms artificials) a on l'interacció apareix per les restriccions de moviment sobre un espai menut.

En el món macroscòpic de la mecànica orbital d'astres, el terme acoplament espin-òrbita s'usa a voltes en el mateix sentit que resonància espin-òrbita.

Generalment, es calcula usant la teoria perturbacional: se supon que les atres interaccions és molt més intenses, i es tracta l'acoplament espin-òrbita com un destorbament menor. En este sentit, són habituals diferents aproximacions, segons els casos, com es detalla més avall. Cal tindre en conte que a camps magnètics alts, estos dos moments es desacoplan, donant lloc a un patró diferent de nivells d'energia descrit pel efecte Zeeman, i disminuïx l'importància relativa del terme d'acoplament espin-òrbita.

Esquema LS o de Russell-Saunders

L'interacció espin-òrbita aixina considerada està directament relacionada en el desdoblament a camp nul i en el factor g de Landé: si hi ha elongació axial en la coordinació del ion metàlic, un $\lambda$ positiu implica un g<2 i un D<0. Compressió axial i $\lambda$ negatiu tenen el mateix resultat, mentres que les atres dos combinacions tenen el resultat opost (g>2 i D>0).

Este esquema supon que l'interacció electrostàtica és molt més intensa que la magnètica, i també que els camps magnètics externs són dèbils. En àtoms llaugers (generalment Z<30, o metalés de la primera série de transició), els espin electrònics s_i interaccionen entre sí i resulten en un moment angular d'espin S. De la mateixa manera, els moments angulars orbitales l_i formen un moment angular orbital total L. L'interacció entre els números quàntics L and S és cridada acoplament Russell-Saunders o acoplament LS. S i L se sumen i formen un moment angular total J:

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}\therefore \overrightarrow{L}=\sum _i{\overrightarrow{l}}_i,\overrightarrow{S}=\sum _i{\overrightarrow{s}}_i$.

El hamiltoniano model que descriu l'efecte sobre l'energia és el següent:

${\hat{\mathscr{H}}}_{LS}=\lambda \overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}$,

a on $\lambda$ és positiu per a capes d'orbitales d menys que semillenas (d1-d4), negatiu per a capes més que semillenas (d6-d9) i nul per a capes buides i semillenas.

Per a medir valors mijos de l'energia no es pot utilisar la funció d'ona en la base estàndar, $|ls{m}_1{m}_2⟩$, ya que no es pot expressar el hamiltoniano en dita base. Per a això s'utilisa la base normal $|lsj{m}_j⟩$ que sí té eixa propietat i els Coeficients Clebsch—Gordan que nos enllacen una base i una atra:

$|lsj{m}_j⟩=\sum _{m_1,m_2}{C}_{m_1{m}_2}^{j{m}_j}|ls{m}_1{m}_2⟩$

Esquema j-j

La situació és diferent en els àtoms més pesats, a on les interacciones espin-òrbita freqüentment són de talles comparables a les interacciones espin-espin i/o les òrbita-òrbita, per lo que S i J ya no són bons números quàntics per a eixos sistemes. El esquema j-j és l'opost al de Russell-Saunders, i es basa en una interacció magnètica és molt més intensa que l'electrostàtica. És vàlida especialment per als actínits, i, en menor mida, per als lantànits.

En els casos en els que les interacciones espin-òrbita són comparativament menudes, lo més adequat és combinar cada moment angular orbital individual l_i en el seu corresponent moment angular d'espin s_i, originant moments angulars individuals j_i, i sumar estos per a obtindre el moment angular total J

$𝐉=\sum _i{𝐣}_i=\sum _i({𝐥}_i+{𝐬}_i).$

Acoplament intermijos

Quan és necessària una aplicació simultànea de les dos interaccions, per ser de magnitut comparable, la resolució del problema presenta una complexitat molt major, i no és possible aplegar a solucions analítiques generals. En estos casos, és útil i ilustrativo representar diagrames de correlació entre les dos aproximacions anteriors. En general, estos no presentaran una correspondència biunívoca entre estats, sino que mostraran mescles, per la regla de no cruzamiento.