Rotor rígit

El rotor rígit és un model que s'utilisa per a explicar el moviment dels sistemes que rotan. Un rotor rígit és un objecte rígit tridimensional, per eixemple un trompa o peonza. Per a orientar dit objecte en l'espai es necessiten tres ànguls (vore ànguls de Euler). Un cas especial de sòlit rígit és el rotor llineal, ya que és un objecte bidimensional que solament requerix dos ànguls per a orientar-ho. Les molècules diatómicas són un eixemple de rotor llineal, mentres que molècules com l'aigua (rotor asimètric), el amoniaco (rotor simètric) o el metà (rotor esfèric) són tridimensionals (vore espectroscòpia rotacional).

El rotor llineal

El model de rotor rígit llineal més simple consistix de dos masses situades a una distància fixa del seu centre de masses. La distància entre les dos masses i el valor de les masses són les magnituts característiques del model. No obstant, per a moltes molècules diatómicas este model és massa simple degut a que la distància interatómica no es poden considerar fixa. En estos casos és necessari incloure correccions al model de rotor rígit que incloguen les chicotetes variacions de la distància. Inclús en eixe cas el model del rotor rígit és un punt de partida útil (model d'orde zero).

El rotor rígit llineal mecano quàntic

El model de rotor rígit llineal es pot utilisar en mecànica quàntica per a predir l'energia rotacional d'una molècula diatómica. L'energia rotacional depén del moment d'inèrcia del sistema $I$. En el sistema de referència del centre de massas, el moment d'inèrcia és:

a on $\mu$ és la massa reduïda de la molècula i $R$ és la distància entre els dos àtoms.

D'acort en la mecànica quàntica, els nivells d'energia es determinen resolent l'equació de Schrödinger:

a on $Y$ és la funció d'ona i $\hat{H}$ és l'operador associat a l'energia o Hamiltoniano. En el cas d'un rotor rígit en un espai lliure de forces, l'operador energia correspon en l'energia cinètica del sistema:

a on $\hslash$ és la constant de Planck dividixca per $2\pi$ i ${\mathrm{\nabla }}^2$ és el Laplaciano. Degut a que el sistema té simetria esfèrica expressarem el Laplaciano en funció de les coordenades esfèriques:

Aixina, tenint en conte que per al rotor rígit $R$ és constant, la funció d'ona solament depén de $\theta$ i $\phi$ i, per tant, l'operador energia cinètica s'expressa com:

Este operador apareix en l'equació de Schrödinger per a una partícula en un potencial de simetria esfèrica, com és el cas de l'àtom d'hidrogen despuix de separar la part radial.

a on $Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )$ representa els harmònics esfèrics. Note's que com a conseqüència l'energia no depén de $m$. L'energia

és $2\ell +1$ voltes degenerada degut a que les funcions en un $\ell$ fix i distint valor de $m=-\ell ,-\ell +1,\dots ,\ell$ tenen la mateixa energia.

Definint la constant rotacional B com $B\equiv \frac{{\hslash }^2}{2I}$ podem reescriure l'energia com

Habitualment s'expressa la constant rotacional, i per tant l'energia, en números:

a on c és la velocitat de la llum. Si s'utilisa el Sistema Cegesimal d'Unitats per a h, c, i I, la constant rotacional $\overline{B}$ s'expressa en cm⁻¹, unitat molt utilisada en les espectroscòpies rotacional i vibracional. Tenint en conte que la constant rotacional $\overline{B}(R)$ depén de la distància $R$, habitualment s'expressa esta en térmens de la distància d'equilibri $R_e$ (valor en el qual l'interacció dels àtoms en el rotor és mínima) i per tant s'expressa com $B_e=\overline{B}(R_e)$.

Un espectre rotacional típic consistix d'una série de picos que corresponen en transicions entre nivells en diferents valors del número quàntic de moment angular, $\ell$. Aixina, els picos rotacionales apareixen a energies que corresponen en múltiples sancers de $2\overline{B}$.

Rotor rígit en forma arbitrària

Un rotor rígit en forma arbitrària és un cos rígit que pot rotar lliurement respecte del seu centre de masses en les tres direccions de l'espai R³ (considerant que este està lliure de camps). Aixina, l'energia del sistema consistix només de l'energia cinètica rotacional (i, en el seu cas, de l'energia traslacional del sistema que en ser constant en un espai lliure de camps pot ignorar considerant el sistema de referència fix en el sòlit rígit).

Un sòlit rígit pot caracterisar-se (parcialment) pels tres autovalores del tensor d'inèrcia que tenen valors reals no negatius i es coneixen en el nom de moments principals d'inèrcia. En espectroscòpia de microones—l'espectroscòpia basada en transicions rotacionales—usualment es classifiquen les molècules (considerant-les com a rotors rígits) d'acort en els valors relatius dels moments principals d'inèrcia (I_a, I_b, I_c):

• rotors esfèrics (I_a = I_b = I_c)
• rotors simètrics
  • rotors simètrics achatados (I_a = I_b < I_c)
  • rotors simètrics allargats (I_a < I_b = I_c)
• rotors asimètrics (I_a < I_b < I_c)

Coordenades del rotor rígit

Diferents branques de la física i l'ingenieria utilisen diferents coordenades per a descriure la cinemàtica d'un rotor rígit. En física molecular els ànguls de Euler s'usen casi exclusivament. En les aplicacions Mecano quàntiques és ventajós usar els ànguls de Euler en un conveni que és una extensió del conveni físic de les coordenades esfèriques polars.

El primer pas és considerar un sistema de referència dextrógiro i ortonormal (un sistema d'eixos ortonormal de 3 dimensions) unit al rotor (sistema de referència fix en el cos). Este sistema de referència es pot fixar arbitrariamente al cos, encara que normalment s'usen els eixos principals com a sistema de referència—els autovectores normalisats del tensor d'inèrcia que, degut a que és simètric, sempre es poden elegir orto normals. Quan el rotor posseïx un eix de simetria, este sol coincidir en algun dels eixos principals. És convenient elegir l'eix z fix al cos com l'eix de simetria de major orde.

Primer, s'escomença alineant el sistema de referència fix en el cos en un sistema de referència fix en l'espai (eixos de laboratori), de tal manera que els eixos x, i, i z fixos en el cos coincidixen en els eixos X, I, i Z fixos en l'espai. Segon, es rotan el cos i el seu sistema de referència respecte de l'eix z un àngul positiu $\alpha$ (seguint la regla de rotació de la mà dreta), que mou l'eix $y$ a un eix $y^{\prime }$. Tercer, es trencada el cos i el seu sistema de referència un àngul positiu $\beta$ respecte de l'eix $y^{\prime }$. L'eix z del sistema de referència fix en el cos té, despuix de les dos rotacions, un àngul llongitudinal $\alpha$ (habitualment denominat $\phi$) i un àngul polar o colatitud $\beta$ (habitualment denominat $\theta$), abdós sobre el sistema de referència fix en l'espai. Si el rotor anara de simetria cilíndrica respecte de l'eix z, com el rotor rígit llineal, la seua orientació en l'espai estaria especificada sense ambigüitat en este punt.

Si el sistema no té simetria cilíndrica (axial), és necessari especificar una última rotació respecte del seu eix z (en coordenades polars $\beta$ i $\alpha$ ) en la finalitat d'especificar completament la seua orientació. Tradicionalment l'àngul associat a esta última rotació es denomina $\gamma$.

La matriu que representa les tres rotacions consecutives s'obté com el producte:

Siga $𝐫(0)$ el vector de posició d'un punt arbitrari $𝒫$ del rotor respecte del sistema de referència fix en el cos. Els elements de $𝐫(0)$ són les coordenades de $𝒫$ respecte del cos. Inicialment $𝐫(0)$ és també el vector de coordenades de $𝒫$ respecte del sistema fix en l'espai. En acabant de que el cos trencada, les coordenades de $𝒫$ fixes en el cos no canvien, mentres que les coordenades de $𝒫$ respecte de l'espai canvien a:

En particular, si $𝒫$ es troba inicialment en l'eix Z fix en l'espai, llavors les seues coordenades fixes en l'espai són:

que mostra la correspondència en les coordenades esfèriques polars (en la convenció física).

Conéixer la variació en el temps dels ànguls de Euler junt en les coordenades inicials $𝐫(0)$ determina la cinemàtica del rotor rígit.

Energia cinètica clàssica

Les següents expressions són una generalisació de l'expressió de l'energia rotacional per al cas més simple, el d'un objecte que trencada al voltant de un eix.

Supondrem que el sistema de referència fix en el cos és un sistema de referència d'eixos principals; este sistema de referència diagonaliza el tensor d'inèrcia instantàneu $𝐈(t)$ (expressat respecte del sistema de referència fix en l'espai), i.i.,

a on els ànguls de Euler depenen del temps i, per tant, determinen la dependència en el temps de $𝐈(t)$ simplement prenent l'inversa d'esta equació. Esta notació implica que a $t=0$ els ànguls de Euler són zero, de tal manera que a $t=0$ el sistema de referència fix en el cos coincidix en el sistema de referència fix en l'espai.

L'energia cinètica clàssica T del rotor rígit es pot expressar de diferents formes:

• en funció de la velocitat angular,
• en forma Lagrangiana,
• en funció del moment angular, i
• en forma Hamiltoniana.

Com cada una d'estes formes té la seua utilitat i es pot trobar en els llibres de text, les presentarem totes elles ací.

Expressió en funció de la velocitat angular

L'expressió de T en funció de la velocitat angular és,

en

El vector $𝝎=({\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z)$ conté les components de la velocitat angular del rotor expressada respecte del sistema de referència fix en el cos. Es pot demostrar que $𝝎$ no és la derivada respecte del temps de cap vector, en contrast en la definició de velocitat habitual. Els punts sobre els ànguls de Euler depenents del temps indiquen la derivada respecte del temps. La velocitat angular satisfà les equacions de moviment denominades equacions de Euler (sòlits) (sense torque, ya que s'ha supost un rotor en un espai lliure de camps).

Forma lagrangiana

Substituint l'expressió de $𝝎$ en T permet obtindre l'energia cinètica en la forma lagrangiana (en funció de les derivades respecte del temps dels ànguls de Euler). En notació matricial s'expressa com:

a on $𝐠$ és el tensor de la mètrica expressat en els ànguls de Euler —un sistema de coordenades curvilíneas no-ortogonal—

Expressió en funció del moment angular

A sovint l'energia cinètica s'escriu en funció del moment angular $\overrightarrow{L}$ del rotor rígit. Este vector és una magnitut que es conserva (independent del temps). Els seus components, $𝐋$, respecte del sistema de referència fix en el cos es relacionen en la velocitat angular per mig de

Degut a que el sistema de referència fix en el cos es mou (depén del temps), estes components no són independents del temps. Si volguérem representar $\overrightarrow{L}$ respecte del sistema de referència fix en l'espai (i, per tant, estacionario) deuríem obtindre expressions independents del temps per als seus components. L'energia cinètica pren la forma

Forma hamiltoniana

La forma hamiltoniana de l'energia cinètica s'escriu en funció dels moments generalisats

a on s'ha utilisat que $𝐠$ és simètric. En la forma hamiltoniana l'energia cinètica és:

sent l'inversa del tensor de la mètrica

Esta inversa del tensor de la mètrica es necessita per a obtindre l'operador de Laplace-Beltrami, que (multiplicat per $-{\hslash }^2$) permet obtindre l'operador mecano quàntic d'energia per al rotor rígit.

El Hamiltoniano clàssic anterior es pot reescriure de la següent forma, necessària en l'integral de fase que apareix en la mecànica estadística clàssica del rotor rígit,

Referències

Artículs

Llibres