Energia cinètica rotacional

En el camp de la física, la energia cinètica de rotació o energia rotacional és l'energia cinètica d'un cos rígit, que gira entorn a un eix fix. Esta energia depén del moment d'inèrcia i de la velocitat angular del cos. Mentres més alluntada estiga la massa del cos respecte a l'eix de rotació, es necessitarà més energia per a que el cos adquirixca una velocitat angular.

Açò pot ser ilustrat pel següent experiment: dos esferes d'idèntica massa i ràdio es coloquen sobre un pla inclinat. Una de les esferes està feta d'un material llauger, com el plàstic. Esta esfera és massiça i sòlida. L'atra esfera, en canvi, és hueca i està feta d'un material més dens que el plàstic. L'esfera hueca rodarà més llentament, ya que tota la seua massa s'acumula en una prima capa, que està a una certa distància de l'eix de rotació. L'esfera massiça es mourà més ràpidament, ya que percentualment les seues partícules es troben més prop de l'eix de rotació i per lo tant es mouran més llentament, ya que estes descriuen una trayectòria més curta que les partícules de la superfície de l'esfera.

L'energia rotacional és, entre atres coses, de gran importància para: turbinas, motorés, generadorés, neumàtics i rodas, eixs, hèliçs.

Moment d'inèrcia

En mecànica clàssica

Un cos que trencada entorn a l'eix x en velocitat angular $\omega$ posseïx l'energia rotacional:

A on:

$I_x$: Moment d'inèrcia del cos entorn a l'eix x.

$\omega$: Velocitat angular

En general, açò es pot expressar com:

A on:

$I$: Tensor d'inèrcia

$\overrightarrow{\omega }$: Velocitat angular

Per a calcular l'energia d'un cos que trencada entorn a un eix arbitrari (vector unitari$\hat{n}$), la velocitat angular s'expressarà pels seus components vectorials:

$\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{n}=\omega \cdot \left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)$   a on   $\left|\hat{n}\right|=1$

en el qual els components de n que representa els components de la direcció de l'eix de x,i i z. L'energia de rotació és ara:

$E_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}\sum _{\alpha ,\beta =1}^3{I}_{\alpha \beta }{n}_{\alpha }{n}_{\beta }{\omega }^2=\frac{1}{2}{\theta }_n{\omega }^2$

Ací és ${\theta }_n$ el moment d'inèrcia respecte a un eix arbitrari $\hat{n}$

${\theta }_n=\sum _{\alpha ,\beta =1}^3{I}_{\alpha \beta }{n}_{\alpha }{n}_{\beta }$

Eixemple

Un cos que gira al voltant de la diagonal formada per la seua superfície xy té la següent velocitat angular:

$\overrightarrow{\omega }=\omega \hat{n}$   a on   $\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

En conseqüència, el moment d'inèrcia respecte a este eix:

${\theta }_n={\hat{n}}^{T}I\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)\left(\begin{array}{ccc}{I}_{11}& I_{12}& I_{13}\\ I_{12}& I_{22}& I_{23}\\ I_{13}& I_{23}& I_{33}\end{array}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}{I}_{11}+I_{12}+\frac{1}{2}{I}_{22}$

Ara un obté l'energia rotacional:

$E_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}{\theta }_n{\omega }^2=(\frac{1}{4}{I}_{11}+\frac{1}{2}{I}_{12}+\frac{1}{4}{I}_{22}){\omega }^2$

En mecànica relativista

A diferència del cas clàssic, l'energia cinètica de rotació en mecànica relativista no pot ser representada simplement per un tensor d'inèrcia constant i una expressió quadràtica a partir d'ell en el que intervinga la velocitat angular. El cas simple d'una esfera en rotació ilustra este punt; si suponem una esfera d'un material suficientment rígit per a que pugam despreciar les deformacions per culpa de la rotació (i, per tant, els canvis de densitat) i tal que la seua velocitat angular satisfaça la condició $\omega R<c$ es pot calcular l'energia cinètica $E_c$ a partir de la següent integral:

Integrant l'expressió anterior s'obté l'expressió:

Archiu:Kinetic Energy of a sphere.png

Comparació entre l'expressió per a l'energia cinètica d'una esfera d'acort en la mecànica clàssica i la mecànica relativista (ací R és el radi, ω la velocitat angular i m₀ la massa en repòs de l'esfera.

Per a una esfera en rotació els punts sobre l'eix no tenen velocitat de translació mentres que els punts més alluntats de l'eix de gir tenen una velocitat $\omega R$, a mida que esta velocitat s'aproxima a la velocitat de la llum l'energia cinètica de l'esfera tendix a créixer sense llímit. Açò contrasta en l'expressió clàssica que es dona a continuació:

Paradòxicament, dins de la teoria especial de la relativitat, el supòsit de que és possible construir un sistema rotar progressivament més ràpit una esfera sobre el seu eix, du a que els punts més alluntats de l'eix de gir alcancen la velocitat de la llum aplicant al cos una cantitat finita d'energia $(E_c=m{R}^2{\omega }^2/2)$. La qual cosa revela que el supòsit no pot ser correcte quan alguns punts de la perifèria del sòlit estan movent-se a velocitats propenques a la de la llum.

Este fet té importància en alguns objectes astonómicos en condicions extremes com les estreles de neutrons a on s'ha vist que el seu frenat magnètic només pot ser explicat se si se supon un moment magnètic depenent de la velocitat angular que evolucione en el temps. Si s'aproxima una estrela de neutrons per una esfera, l'expressió (*) comporta que el moment d'inèrcia efectiu vindria dau per:

Moment angular

En mecànica clàssica

L'energia rotacional es pot expressar a través del moment angular:

$E_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\omega }\cdot \overrightarrow{L}=\frac{{\overrightarrow{L}}^2}{2I}$   a on   $\overrightarrow{L}=I\cdot \overrightarrow{\omega }$

cal senyalar que, en general, el moment angular i la velocitat angular no són paraleles entre sí (llevat en la rotació al voltant d'un eix principal d'inèrcia).