Factor de Landé

En física, el factor de Landé és una constant de proporcionalitat entre el moment magnètic d'un sistema i el corresponent número quàntic. S'utilisa per a resumir de forma efectiva els efectes que fan que es desvie el moment magnètic dels electrons desapareados d'un ion paramagnético del que tindrien eixos mateixos electrons en el buit. També és conegut com a factor giromagnético de Landé. Du el nom d'Alfred Landé, qui ho va descriure per primera volta en 1921.

Context i fòrmula

En mecànica quàntica, el cridat efecte Zeeman consistix en el desdoblament de nivells d'energia en un àtom quan s'aplica un camp magnètic extern. Quan el camp és lo prou dèbil, es pot aplicar la teoria de destorbament per a obtindre el valor del desdoblament.

El resultat al que s'aplega és que l'aument (o disminució) en l'energia d'un nivell concret depén dels números quàntics S, L, J i M_J d'eixe nivell. Si es considera un camp magnètic $\overrightarrow{B}$ paralel a la direcció espacial Z, s'obté que la variació d'energia corresponent a un estat propi del hamiltoniano d'estructura fina $|\gamma LS;J{M}_J⟩$ és:

$\Delta E={\mu }_{B}Bg{M}_J$

Símbol	Nom	Fòrmula
${\mu }_B$	Magnetón de Bohr
$g$	Factor de Landé	$g=\frac{3}{2}+\frac{S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$
	Números quàntics
J	Moment angular total
L	Moment angular orbital
S	Moment angular spin
$M_J$

Obtenció del factor de Landé

És possible deduir el valor del factor de Landé a partir de l'operador hamiltoniano d'acoplament magnètic (destorbament al hamiltoniano d'estructura fina). Este es pot escriure com seguix:

$H_B=\frac{{\mu }_B}{\hslash }B(2S_z+L_z)$

Hi ha un problema en la base utilisada. La base de vectores propis del hamiltoniano d'estructura fina és la $|J{M}_J⟩$. Els operadors $L_z$ i $S_z$ no tenen com a base de vectores propis la base $|J{M}_J⟩$. Es deu per tant expressar estos operadors en funció d'uns atres l'actuació de la qual sobre la base $|J{M}_J⟩$ sí conegam.

Per mig de la teorema de proyecció, es pot escriure, exclusivament dins del subespacio format per la base $[|J{M}_J⟩]$ en J fix, lo següent:

$S_z=\frac{⟨\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{S}⟩}{⟨{\overrightarrow{J}}^2⟩}{J}_z$

$L_z=\frac{⟨\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{L}⟩}{⟨{\overrightarrow{J}}^2⟩}{J}_z$

lo que permet reescriure $H_B$ en la forma:

$H_B=\frac{{\mu }_B}{\hslash }B\frac{2⟨\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{S}⟩+⟨\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{L}⟩}{⟨{\overrightarrow{J}}^2⟩}{J}_z$

Per un costat, es verifica que:

<$⟨{\overrightarrow{J}}^2⟩=⟨\gamma LS;J{M}_J|{\overrightarrow{J}}^2|\gamma LS;J{M}_J⟩=J(J+1){\hslash }^2$

i per un atre, de forma no tan immediata i a partir de que:

$\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}$

i que:

$\overrightarrow{L}\cdot \overrightarrow{S}=\frac{1}{2}({\overrightarrow{J}}^2-{\overrightarrow{L}}^2-{\overrightarrow{S}}^2)$

és possible fer el següent desenroll:

De forma totalment anàloga s'aplega al resultat:

$⟨\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{L}⟩=\frac{1}{2}{\hslash }^2(J(J+1)-S(S+1)+L(L+1))$

D'esta manera, s'obté la nova forma de $H_B$:

$H_B=\frac{{\mu }_B}{\hslash }B\frac{3J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}{J}_z$

Reagrupant, queda:

$H_B=\frac{{\mu }_B}{\hslash }B(\frac{3}{2}+\frac{S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)})J_z$

a on

$g=\frac{3}{2}+\frac{S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$

és el factor de Landé.

La correcció a l'energia, per teoria de destorbament de primer orde, s'obté com:

$\Delta E=⟨J{M}_J|H_B|J{M}_J⟩={\mu }_{B}Bg{M}_J$

que és el resultat al que es volia aplegar.