Espai pseudoeuclídeo

En matemàtiques i física teòrica, un espai pseudoeuclídeo és un espai en coordenades reals $n$ -dimensional finit, associat en una forma quadràtica no degenerada $q$ . Dita forma quadràtica pugues, realisant l'elecció d'una base adequada $(i 1, ..., i n)$ , aplicar-se a un vector $x = x 1 i 1 + ... + x n i n$ , donant

q (x) = (x_{1}^{2} + \dots + x_{k}^{2}) - (x_{k + 1}^{2} + \dots + x_{n}^{2})

que es denomina la vector

x

.

Para espais euclídeos, $k = n$ , lo que implica que la forma quadràtica és positiva-definida.^[1] Quan $0 \neq k \neq n$ , $q$ és una forma quadràtica isotrópica. Tinga's en conte que si $i \leq k$ i $j > k$ , llavors $q (i i + i j) = 0$ , llavors $i i + i j$ és un vector nul. En un espai pseudoeuclídeo en $k \neq n$ , a diferència de lo que succeïx en un espai euclídeo, existixen vectores en magnitut negativa.

De la mateixa manera que el terme espai euclídeo, el terme espai pseudoeuclídeo pot referir-se a un espai afí o a un espai vectorial,^[2] encara que este últim també es pot denominar espai afí (vore discussió punt-vector).

Geometria

La geometria d'un espai pseudoeuclídeo és consistent, a pesar de la ruptura d'algunes propietats de l'espai euclídeo; més notablement, es verifica que no és un espai mètric com s'explica a continuació. El concepte d'estructura afí no canvia, i per lo tant tampoc ho fan els de llínea recta, pla, subespacio afí i, en general, el de varietat llineal (segments).

Magnitut positiva, zero i negativa

$n = 3$ , $k$ és 1 o 2, depenent de l'elecció del signe de $q$

Un vector nul és un vector per al que la forma quadràtica és zero. A diferència de lo que ocorre en un espai euclídeo, el vector pot ser distint de zero, en el cas del qual és ortogonal a sí mateixa.

Si la forma quadràtica és indefinida, un espai pseudoeuclídeo té un con recte de vectores nuls dau per ${x : q (x)=0$ }. Quan l'espai pseudoeuclídeo proporciona un model del espai-temps (vore més avall), el con nul es diu con de llum de l'orige.

El con nul separa dos conjunts oberts,^[3] per als que $q (x) > 0$ i $q (x) < 0$ . Si $k \geq 2$ , llavors el conjunt de vectores per als que $q (x) > 0$ és conexo. Si $k = 1$ , llavors consistix en dos parts desunides, una en $x 1 > 0$ i una atra en $x 1 < 0$ . Es poden fer declaracions similars per als vectores per als que $q (x) < 0$ si $k$ es reemplaça per $n - k$ .

Interval

La forma quadràtica $q$ correspon al quadrat d'un vector en el cas euclídeo. Per a definir la norma vectorial (i la distància) d'una manera invariante, es tenen que obtindre les raïls quadrades de les magnituts, lo que conduïx possiblement a distàncies imaginàries; vore número imaginario. Pero inclús per a un triàngul en magnituts positives dels tres costats (les raïls quadrades dels quals són reals i positives), la desigualtat triangular no es complix en general.

Per lo tant, els térmens norma i distància s'eviten en la geometria pseudoeuclídea, sent reemplaçats per magnitut i interval respectivament.

No obstant, per a una curva que els seus vectores tangentes tenen tots magnituts en el mateix signe, es definix la llongitut d'arc. Té aplicacions importants: vore temps propi, per eixemple.

Rotacions i esferes

El grup de les rotacions de dit espai és un grup ortogonal indefinit $O(q)$ , també denominat $O(k, n - k)$ sense una referència a una forma quadràtica particular.^[4] Estes "rotacions" conserven la forma $q$ , i per lo tant, la magnitut de cada vector, incloent si és positiu, zero o negatiu.

Mentres que l'espai euclídeo té una 1-esfera, l'espai pseudoeuclídeo posseïx l'hipersuperficie ${x : q (x) = 1$ } i ${x : q (x) = -1$ }. Tal hipersuperficie, cridada cuasi esfera, és conservada pel grup ortogonal indefinit propi.

Forma bilineal simètrica

La forma quadràtica $q$ dona lloc a una forma bilineal simètrica definida de la següent manera:

⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{2} [q (x + y) - q (x) - q (y)] = (x_{1} y_{1} + \dots + x_{k} y_{k}) - (x_{k + 1} y_{k + 1} + \dots + x_{n} y_{n}) .

La forma quadràtica es pot expressar en térmens de la forma bilineal: $q (x) = ⟨ x, x ⟩$ .

Quan $⟨ x, y ⟩ = 0$ , llavors $x$ i $i$ són vectores ortogonals de l'espai pseudoeuclídeo.

Esta forma bilineal se sol denominar producte escalar, i algunes voltes com "producte intern" o "producte puntual", pero no definix un espai prehilbertiano i no té les propietats del producte escalar dels vectores euclídeos.

Si x i i són ortogonals i $q (x) q (y) < 0$ , llavors x és ortogonal hiperbòlic respecte a i.

La base canònica de el $n$ espai real és ortogonal. No existixen bases ortonormals en un espai pseudoeuclídeo per al que la forma bilineal és indefinida, perque no es pot usar per a definir una norma vectorial.

Subespacios i ortogonalitat

Per a un subespacio (positiu-dimensional)^[5] $O$ d'un espai pseudoeuclídeo, quan la forma quadràtica $q$ és restringida a $O$ , són possibles els següents tres casos:

$q | O$ és definida positiva o negativa. Llavors, $O$ és essencialment euclídea (fins al signe de $q$ ).

$q | O$ és indefinit, pero no degenerado. Llavors, $O$ és en sí mateixa pseudoeuclídeo. Solament és possible si $dim O \geq 2$ ; si $dim O = 2$ , lo que significa que $O$ és un pla, llavors es diu pla hiperbòlic.
$q | O$ està degenerado.

Una de les propietats més desconcertantes (per a una intuïció euclídea) de vectores i plans pseudoeuclídeos és el seu ortogonalitat. Quan dos vectors distints de zero són ortogonals, no són colineales. Les interseccions de qualsevol subespacio vectorial euclídeo en la seua complement ortogonal és el $subespacio {0$ }. Pero la definició de la subsecció anterior implica immediatament que qualsevol vector $ν$ de magnitut zero és ortogonal a sí mateixa. Per lo tant, la recta isotrópica $N = ⟨ ν ⟩$ generada per un vector nul ν és un subconjunt del seu complement ortogonal $N ⊥$ .

La definició formal del complement ortogonal d'un subespacio vectorial en un espai pseudoeuclídeo dona un resultat perfectament ben definit, que satisfà l'igualtat $dim O + dim O ⊥ = n$ per la no degeneració de la forma quadràtica.

La condició de que

O \cap O ⊥ = {0

}, o de manera equivalent,

O + O ⊥

, siga igual a tot l'espai

es pot incomplir si el subespacio $O$ conté una direcció nula.^[6] Mentres el subespacio forma una reixeta, com en qualsevol espai vectorial, esta operació $⊥$ no és una ortocomplementaació, a diferència de lo que succeïx en els espais en producte intern.

Per a un subespacio $N$ compost enterament de vectores nuls (lo que significa que la magnitut $q$ , restringida a $N$ , és igual a $0$ ), sempre es complix que:

N \subset N ⊥

o, equivalentement,

N \cap N ⊥ = N

.

Dit subespacio pot tindre fins a $min(k, n - k)$ dimensions.^[7]

Per a un subespacio $k$ euclídeo (positiu), el seu complement ortogonal és un subespacio euclídeo negatiu de dimensió $(n - k)$ , i viceversa.

Generalment, per a un subespacio $O$ $(d + + d - + d 0)$ dimensional que consta de $d +$ dimensions positives i de $d -$ dimensions negatives (vore la llei d'inèrcia de Sylvester para més detalls), el seu complement ortogonal positiu $O ⊥$ té dimensió $(k - d + - d 0)$ ; el negatiu és de dimensió $(n - k - d - - d 0)$ , mentres que les restants $d 0$ dimensions són degeneradas, estant integrades per l'intersecció $O \cap O ⊥$ .

La llei del paralelogramo i la teorema de Pitágoras

La llei del paralelogramo pren la forma

q (x) + q (y) = \frac{1}{2} (q (x + y) + q (x - y)) .

Usant l'identitat del quadrat de la suma, per a un triàngul arbitrari es pot expressar la magnitut del tercer costat a partir de les magnituts de dos costats i el seu producte de forma bilineal:

q (x + y) = q (x) + q (y) + 2 ⟨ x, y ⟩ .

Açò demostra que, per als vectores ortogonals, un anàlec pseudoeuclídeo del teorema de Pitágoras s'expressa com:

⟨ x, y ⟩ = 0 \Rightarrow q (x) + q (y) = q (x + y) .

Àngul

En general, el valor absolut $Plantilla:Absf$ de la forma bilineal de dos vectores pot ser major que $Plantilla:Sqrt$ , igual a est o menor. Açò causa problemes similars en la definició d'àngul, a l'igual de com succeïx en les distàncies.

Si $k = 1$ (solament un terme positiu en $q$ ), llavors per a vectores de magnitut positiva:

| ⟨ x, y ⟩ | \geq \sqrt{q (x) q (y)},

lo que permet la definició del àngul hiperbòlic, un anàlec de l'àngul entre estos vectores a través de la funció arc coseno hiperbòlic:^[8]

arcosh \frac{| ⟨ x, y ⟩ |}{\sqrt{q (x) q (y)}} .

Correspon a la distància en un espai hiperbòlic $(n -1)$ -dimensional. Este concepte es coneix com rapidea en el context de la teoria de la relativitat discutit més alvance. A diferència de l'àngul euclídeo, pren valors de [0, +∞) i és igual a 0 per als vectores antiparalelos.

No existix una definició raonable de l'àngul entre un vector nul i un atre vector (ya siga nul o no nul).

Àlgebra i càlcul tensorial

De la mateixa manera que els espais euclídeos, cada espai pseudoeuclídeo posseïx un àlgebra geomètrica. A diferència de les propietats anteriors, a on la tongada de $q$ per $- q$ canvia els números pero no la geometria, l'inversió de signe de la forma quadràtica en realitat altera el $àlgebra de Clifford$ , per lo que, per eixemple, $Cℓ 1,2 (R)$ i $Cℓ 2,1 (R)$ no són isomorfos.

De la mateixa manera que en qualsevol espai vectorial, es pot definir un càlcul tensorial pseudoeuclídeo. De la mateixa manera que en una estructura euclídea, hi ha operadors tensoriales, pero a diferència del cas dels tensors euclídeos, no hi ha bases a on estes operacions no canvien els valors dels components. Donat un vector $v β$ , la covariancia i contravariancia corresponents són:

v_{α} = q_{α β} v^{β},

i en la forma estàndar

q_{α β} = (\begin{matrix} I_{k \times k} & 0 \\ 0 & - I_{(n - k) \times (n - k)} \end{matrix})

els primers components $k$ de $v α$ són numèricament iguals als de $v β$ , pero el restant de $n - k$ tenen signes oposts.

La correspondència entre els tensors contravariantes i covariants fa que el càlcul tensorial en una varietat pseudoriemanniana siga anàlec al definit en les varietats riemannianas.

Eixemples

Un espai pseudoeuclídeo molt important és l'espai-temps de Minkowski, que és l'escenari matemàtic en el que es formula la teoria de la relativitat especial d'Albert Einstein. Per a l'espai de Minkowski, $n =4$ i $k =3$ ^[9] per a que

q (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} - x_{4}^{2},

La geometria associada en esta pseudométrica va ser investigada per Poincaré.^[10]^[11] El seu grup de rotació és el Grup de Lorentz. El grup de Poincaré inclou també les translacions i eixercita el mateix paper que els grups euclídeos respecte als espais euclídeos ordinaris.

Un atre espai pseudoeuclídeo és el pla $z = x + i j$ que consistix en els número complex hiperbòlics, dotats en la forma quadràtica

‖ z ‖ = z z^{*} = z^{*} z = x^{2} - y^{2} .

Est és el cas més simple d'un espai idefinido pseudoeuclídeo ( $n =2$ , $k =1$ ) i l'únic en el que el con nul dissecciona l'espai en quatre conjunts oberts. El grup $SO + (1, 1)$ està formada per les denominades rotacions hiperbòliques.

Vore també

Referències

↑ Els espais euclídeos es consideren un cas especial dels espais pseudoeuclídeos; vore, per eixemple, (2013).«Clifford Algebras and Spinor Structures».Springer Science & Business Mija..
↑ (2013).«Clifford Algebras and Spinor Structures».Springer Science & Business Mija. [1]
↑ S'assumix la topología estàndar sobre $R n$
↑ Qué és el "grup de rotacions", depén de la definició exacta de rotació. Els grups "O" contenen rotacions impròpies. Les transformacions que preserven l'orientació formen el grup $SO(q)$ , o $SO(k, n - k)$ , pero este tampoc és conexo si tant $k$ com $n - k$ són positius. El grup $SO + (q)$ , que preserva l'orientació en les magnituts positives i negatives separades, és un anàlec (conexo) del grup de rotacions euclídeas $SO(n)$ . En efecte, tots estos grups són grups de Lie de dimensions $n (n - 1)/2$ .
↑ S'assumix un subespacio vectorial, pero les mateixes conclusions són certes per a una varietat llineal afí, en l'única complicació de que la forma quadràtica sempre es definix per mig de vectores, i no usant punts.
↑ És dir, $O \cap O ⊥$ és no zero solament si la forma quadràtica $q$ restringida a $O$ és degenerada.
↑ Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
↑ Note's que $cos (i arcosh s) = s$ , aixina, quan $s' >0$ poden entendre's com a ànguls imaginaris.
↑ Algunes representacions ben establides usen $k =1$ i índexs coordenats iniciant-se des de $0$ (i llavors $q (x)= x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), pero açò és equivalent a canviar els signes signes de $q$ .
↑ H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico vaig donar Palermo
↑ B. A. Rosenfeld (1988) A History of Senar-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Bibliografia

(1981).«The Theory of Spinors».Dover Publications.New York:
Werner Greub (1963) Linear Algebra , segona edició, §12.4 Espais pseudo-euclídeos, pp. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) "Geometria euclídea i cronometría minkowskiana", American Mathematical Monthly 71: 129–44.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio pseudoeuclídeo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Els espais euclídeos es consideren un cas especial dels espais pseudoeuclídeos; vore, per eixemple, (2013).«Clifford Algebras and Spinor Structures».Springer Science & Business Mija..

[2] (2013).«Clifford Algebras and Spinor Structures».Springer Science & Business Mija. [1]

[3] S'assumix la topología estàndar sobre $R n$

[4] Qué és el "grup de rotacions", depén de la definició exacta de rotació. Els grups "O" contenen rotacions impròpies. Les transformacions que preserven l'orientació formen el grup $SO(q)$ , o $SO(k, n - k)$ , pero este tampoc és conexo si tant $k$ com $n - k$ són positius. El grup $SO + (q)$ , que preserva l'orientació en les magnituts positives i negatives separades, és un anàlec (conexo) del grup de rotacions euclídeas $SO(n)$ . En efecte, tots estos grups són grups de Lie de dimensions $n (n - 1)/2$ .

[5] S'assumix un subespacio vectorial, pero les mateixes conclusions són certes per a una varietat llineal afí, en l'única complicació de que la forma quadràtica sempre es definix per mig de vectores, i no usant punts.

[6] És dir, $O \cap O ⊥$ és no zero solament si la forma quadràtica $q$ restringida a $O$ és degenerada.

[7] Thomas E. Cecil (1992) Lie Sphere Geometry, page 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[8] Note's que $cos (i arcosh s) = s$ , aixina, quan $s' >0$ poden entendre's com a ànguls imaginaris.

[9] Algunes representacions ben establides usen $k =1$ i índexs coordenats iniciant-se des de $0$ (i llavors $q (x)= x 02 - x 12 - x 22 - x 32$ ), pero açò és equivalent a canviar els signes signes de $q$ .

[10] H. Poincaré (1906) On the Dynamics of the Electron, Rendiconti del Circolo Matematico vaig donar Palermo

[11] B. A. Rosenfeld (1988) A History of Senar-Euclidean Geometry, page 266, Studies in the history of mathematics and the physical sciences #12, Springer ISBN 0-387-96458-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]