Caracterisació (matemàtiques)

En matemàtiques, una caracterisació d'un objecte és un conjunt de condicions que, si be poden ser diferents de la definició de l'objecte, són llògicament equivalents a ella. Dir que "la propietat P caracterisa a l'objecte X" significa que X no solament posseïx la propietat P, sino que X és el únic que posseïx la propietat P (és dir, P és una propietat definitoria de X). De manera similar, es diu que un conjunt de propietats P caracterisa a X quan estes propietats distinguixen a X de tots els demés objectes. Encara que una caracterisació identifica un objecte de forma única, poden existir vàries caracterisació per a un mateix objecte. Algunes expressions matemàtiques comunes per a una caracterisació de X en térmens de P inclouen "P és una condició necessària i suficient per a que es done X" i "X es complix si i solament si es dona P".

També és comú trobar enunciats com «La propietat Q caracterisa a I llevat isomorfismes». El primer tipo d'enunciat expressa, en atres paraules, que l'extensió de P és un conjunt unitari, mentres que el segon indica que l'extensió de Q és una única classe d'equivalència (en el cas de l'isomorfisme, en l'eixemple donat; depenent de cóm s'utilise llevat, podria estar involucrada alguna atra relació d'equivalència).

Una referència sobre terminologia matemàtica senyala que «característic» prové del terme grec «kharax», «estaca puntaguda»:

Del grec «kharax» deriva «kharakhter», un instrument utilisat per a marcar o gravar un objecte. Una volta marcat un objecte, es tornava distintiu, per lo que el caràcter d'alguna cosa va passar a significar la seua naturalea distintiva. El sufix grec tardà -istikos va convertir el substantiu caràcter en l'adjectiu característic, que, ademés de mantindre el seu significat adjectival, més vesprada també es va convertir en sustantiu.

Aixina com en química, una propietat característica d'un material servirà per a identificar una mostra, o en l'estudi de materials, estructures i propietats determinaran la seua caracterisació, en matemàtiques es dona una busca contínua per a expressar propietats que distinguixquen una característica desijada en una teoria o sistema. La caracterisació no és exclusiva de les matemàtiques, pero ya que la ciència és abstracta, gran part de l'activitat pot descriure's com "caracterisació". Per eixemple, en Mathematical Reviews, a partir de 2018, més de 24.000 artículs contenen la paraula en el títul de l'artícul, i 93.600 en algun lloc de la revisió.

En un context arbitrari d'objectes i característiques, les caracterisació s'han expressat per mig d'una relació binaria aRb, lo que significa que l'objecte a posseïx la característica b. Per eixemple, b pot significar una propietat abstracta o concreta. Els objectes poden considerar-se l'extensió del món, mentres que les característiques són expressions d'intensitat. Un programa continu de caracterisació de diversos objectes conduïx al seu categorisació.

Caracterisació en matemàtiques superiors

Les caracterisació són particularment importants en matemàtiques superiors, a on ocupen un gran volum de teoria en els cursos típics de pregrado. Es coneixen comunament com "condicions necessàries i suficients" o "enunciats condicionals". Les caracterisació ajuden a presentar objectes complexos d'una forma més accessible per al seu estudi, i molts tipos d'objectes en matemàtiques tenen múltiples caracterisació. En ocasions, una caracterisació en particular es generalisa més fàcilment a contexts abstractes que les demés, i sol elegir-se com a «definició» del concepte generalisat.

En anàlisis real, per eixemple, la propietat de completitud dels número real té vàries caracterisació útils:

• La propietat del llímit superior mínim
• La propietat del llímit inferior màxim
• La propietat dels intervals anidados
• El teorema de Bolzano-Weierstrass
• La convergència de la successió de Cauchy

Un curs universitari típic d'anàlisis real començaria en la primera d'estes propietats, la propietat del llímit superior mínim, com a definició axiomàtica dels número real (a voltes denominada "axioma de completitud" en els texts), i gradualment la demostraria fins a aplegar a l'última: la convergència de les successions de Cauchy. Les demostracions són prou complexes. Entre estes cinc caracterisació, la perspectiva de les successions de Cauchy resulta ser la més fàcil de generalisar i s'elegix com la "definició" de la completitud d'una propietat abstracta d'un espai mètric. No obstant, la propietat de cota superior mínima sol ser la més útil per a demostrar fets sobre els número real en sí mateixos, com la propietat del teorema del valor intermig. Per lo tant, les caracterisació més útils i generalizables a voltes són diferents.

Un atre eixemple d'este fenomen es troba en física. La mecànica hamiltoniana és una caracterisació de la mecànica clàssica, equivalent a les lleis de Newton. No obstant, és molt més fàcil de generalisar a la mecànica quàntica i a la mecànica estadística, lo que és la seua principal virtut. No obstant, és una caracterisació diferent la mecànica lagrangiana, que sol preferir-se per a l'estudi de la pròpia mecànica clàssica.

Ya que el resultat d'una caracterisació és equivalent a la definició o axioma(s) inicial(és) de l'objecte, pot utilisar-se com a definició equivalent, a partir de la qual es pot demostrar la definició original com una teorema. Açò planteja la qüestió de quin és la millor definició en una situació donada, entre les moltes opcions possibles. No existix una resposta absoluta, pero l'elecció de la definició per part dels autors de llibres o artículs sol dependre de consideracions estètiques o pedagògiques, aixina com de la convenció, l'història i la tradició. Per als número real, la propietat de cota superior mínima pugues haver-se elegit per ser més fàcil de deprendre que les successions de Cauchy.

Un dels resultats més importants en anàlisis complex és un resultat de caracterisació: el fet de que totes les funcions localment diferenciables en número complejo són analítiques (iguals a les seues séries de Taylor).

Les caracterisació són molt comunes en àlgebra abstracta, a on a sovint adopten la forma de «teoremes d'estructura», que expressen l'estructura d'un objecte de forma senzilla. Estos resultats solen ser molt difícils de demostrar. En la teoria de matrius, la forma canònica de Jordan és una caracterisació, o teorema d'estructura, per a matrius complexes, i la teorema espectral ho és igualment per a matrius simètriques (si són reals) o matrius hermíticas (si són complexes). Segons la teorema espectral, les matrius simètriques reals són precisament aquelles que tenen una base de autovectores perpendiculars (denominats eixos principals en física). En la teoria de grups, existix una teorema d'estructura per als grups abelianos finitos que establix que tot grup d'este tipo és un producte directe de grups cíclicos.

Com enunciats condicionals, les caracterisació són, en cert sentit, el tipo de teorema matemàtica més forta, lo que concorda en la dificultat de les seues demostracions. Considere's una teorema matemàtica genèrica que establix que A implica B. Si B no implica A, es pot dir que la teorema és dèbil, ya que l'enunciat B demostrat és més dèbil que l'ingredient A, al no ser lo suficientment fort com per a demostrar A per sí solament. En una caracterisació, no obstant, B deu implicar també A; l'afirmació demostrada és tan forta com l'ingredient, i no pot ser més fort. En cert sentit, tal resultat «utilisa» tota l'estructura de per a demostrar B.

Eixemples

• Un número racional, generalment definit com la raó de dos sancers, pot caracterisar-se com un número en representació decimal finita o periòdica.

Un paralelogramo és un quadrilàter els costats oposts del qual són paralels. Una de les seues característiques és que les seues diagonals es bisecan mútuament. Açò significa que les diagonals de tots els paralelogramos es bisecan mútuament i, a l'inversa, que qualsevol quadrilàter que les seues diagonals es bisecan mútuament deu ser un paralelogramo.

• "Entre les distribucions de provabilitat definides en l'interval de 0 a 8 en la recta real, la absència de memòria caracterisa a les distribucions exponencials". Esta afirmació significa que les distribucions exponencials són les úniques distribucions de provabilitat sense memòria, sempre que la distribució siga contínua com es va definir anteriorment (vore caracterisació de distribucions de provabilitat para més informació).
• "Segons el teorema de Bohr-Mollerup, entre totes les funciones f tals que f(1) = 1 i x f(x) = f(x + 1) per a x > 0, la log-convexidad caracterisa a la funció gamma. Açò significa que, entre totes estes funcions, la funció gamma és l'única que presenta convexidad logarítmica.
• El círcul es caracterisa com una varietat per ser unidimensional, compacte i conexo. Ací, la caracterisació, com a varietat diferenciable, depén del difeomorfismo.

Vore també

• Caracterisació de la categoria d'espais topològics
• Caracterisació de la funció exponencial
• Característica (matemàtica)
• Logaritmo decimal
• Teorema de classificació
• Característica de Euler
• Caràcter (matemàtiques)