Principi dels intervals encaixats

Archiu:Illustration nested intervals.svg

Quatre intervals encaixats.

En matemàtica, es denomina família d'intervals encajonados (o encaixats) a una família $\{I_1,I_2,\dots \}$ de subconjunts de $ℝ$ tals que:

1. Cada u dels conjunts I_k és un interval, és dir, un conjunt de la forma $[a_k,b_k]=\{x\in ℝ|a_k\le x\le b_k\}$ (interval tancat), $(a_k,b_k)=\{x\in ℝ|a_k<x<b_k\}$ (interval obert), o semiabierto, en que la desigualtat és estricta solament en un dels extrems.
2. Es complix que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},I_{k+1}\subset I_k$, açò és, cada interval I_k està contingut en l'anterior.
3. Es té que, si els extrems de cada interval I_k són a_k i b_k, llavors $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_k-a_k)=0$, açò és, els intervals es fan cada volta més menuts i terminen sent de llongitut menor a qualsevol cantitat positiva.

Principi dels intervals encaixats

La pregunta que sorgix davant una família d'intervals encajonados $\{I_1,I_2,\dots \}$ és saber si existixen número real que pertanyguen a tots els elements d'esta família, és dir, saber si el conjunt:

$\bigcap _{k\in \mathbb{N}}{I}_k$

és buit o no.

Podem comprovar que en el cas de conjunts oberts no hi ha un resultat general. Per eixemple, la família d'intervals $I_k=(0,2^{-k}),k\in \mathbb{N}$ és una família d'intervals tots ells no buits pero en intersecció buida, ya que donat un $\epsilon >0$, cap dels intervals I_k en $k>-{\log }_2(\epsilon )$ contindrà a $\epsilon$, i 0 no pertany a cap dels I_k. En canvi, la família d'intervals encajonados $I_k=(-2^{-k},2^{-k}),k\in \mathbb{N}$ sí posseïx intersecció no buida, ya que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},0\in I_k$.

En canvi, per a les famílies d'intervals tancats encajonados existix un resultat general, conegut com a teorema o principi dels intervals encaixats, que estipula lo següent:

La prova d'esta teorema és una aplicació de la teorema de les successions monòtones. Si $I_k=[a_k,b_k]\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$, tenim que, en estar cada interval contingut en l'anterior, es té que la successió $\{a_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ és monòtona creixent i acotada superiorment per b₁; aixina mateix, $\{b_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ és monòtona decreixent i acotada inferiorment per a₁; després, abdós successions convergixen a sengles valors a i b, respectivament. Després, per definició d'intervals encajonados, el llímit de la successió (a_k - b_k) és 0, pero per teoremes de successions este llímit és a - b, per lo que concloem que a = b. En ser tots els intervals I_k tancats, veem que este número llímit pertany tots els intervals de la família.

Note's que podem demostrar que esta teorema és llògicament equivalent al axioma del suprem, és dir, podem assumir esta teorema com a axioma i prendre-ho com a base per a demostrar l'axioma del suprem com una teorema i, per tant, que el cos dels número real és un conjunt complet.

Esta teorema té un anàlec en els espais n-dimensionals ${ℝ}^n$, que senyala que qualsevol família de boles tancades encaixades $\overline{B}(\overrightarrow{x_0},r)=\{\overrightarrow{x}\in {ℝ}^n|\Vert \overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}\Vert \le r\}$ té per intersecció un únic punt.

Axioma de Cantor

Per a calcular el valor de la raïl quadrada de 2, per defecte s'escomença en 1; després un atre número $a_1$ > 1, tal que $a_1^2<2$; en seguida un número $a_2>a_1$, en $a_2^2<2$; de nou $a_3>a_2$, en $a_3^2<2$.I aixina successivament una successió creixent pero tal que el quadrat de cap terme no excedix a 2.

D'igual modo es construïx una successió decreixent tal que el quadrat de cap dels terme estiga per baix de 2 i. i.$b_i^2>2$, sent $b_{(i+i)}<b_i<2$.

Despuix es forma la successió dels intervals tancats encaixats en terme general $[a_i,b_i]$. L'únic element comú a tots lo intervals tancats és la raïl quadrada de 2. S'usa en lloc de l'axioma del suprem en la axiomatisació dels reals