Topología de Zariski

En la topología de Zariski en el pla afí, esta gràfica d'un polinomi és tancada

En geometria algebraica i àlgebra conmutativa, la topología de Zariski és una topología que es definix principalment per les seues conjunts tancats. És molt diferent de les topología que s'usen comunament en anàlisis real o anàlisis complex; en particular, no és un espai de Hausdorff. Esta topología va ser introduïda principalment per Oscar Zariski i després generalisada per a fer del conjunt d'ideals cosins d'un anell conmutativo (denominat espectre de l'anell) un espai topològic.

La topología de Zariski permet utilisar ferramentes de topología per a estudiar varietats algebraiques, inclús quan el cos subjacent no és un cos topològic. Esta és una de les idees bàsiques de la teoria d'esquemes, que permet construir varietats algebraiques generals unint varietats afins d'una manera similar a la teoria de varietats, que es construïxen pegant atles, que són subconjunts oberts d'espais afins reals.

Es definix la topología de Zariski d'una varietat algebraica com la topología que els seus conjunts tancats són els subconjunts algebraics de la varietat. En el cas d'una varietat algebraica sobre els número complex, la topología de Zariski és, per lo tant, menys específica que la topología habitual, ya que cada conjunt algebraic està tancat per a la topología habitual.

La generalisació de la topología de Zariski al conjunt d'ideals cosins d'un anell conmutativo es deriva del teorema dels zeros de Hilbert, que establix una correspondència biyectiva entre els punts d'una varietat afí definida sobre un cos algebraicamente tancat i els ideals màxims de l'anell dels seus funcions regulars. Açò sugerix definir la topología de Zariski sobre el conjunt dels ideals màxims d'un anell conmutativo com la topología tal que un conjunt d'ideals màxims és tancat si i solament si és el conjunt de tots els ideals màxims que contenen un ideal dau. Una atra idea bàsica de la teoria d'esquemes d'Alexander Grothendieck és considerar com a punts no solament els punts habituals corresponents als ideals màxims, sino també totes les varietats algebraiques (irreducibles), que corresponen a ideals cosins. Aixina, la topología de Zariski sobre el conjunt d'ideals cosins (l'espectre) d'un anell conmutativo és la topología tal que un conjunt d'ideals cosins és tancat si i solament si és el conjunt de tots els ideals cosins que contenen un ideal fix.

Topología de Zariski de varietats

En geometria algebraica clàssica (és dir, la part de la geometria algebraica en la que no s'utilisen esquemes, que varen ser introduïdes per Alexander Grothendieck al voltant de 1960), la topología de Zariski es definix en varietats algebraiques. La topología de Zariski, definida sobre els punts de la varietat, és la topología tal que els conjunts tancats són els subconjunts algebraics de la varietat. Com les varietats algebraiques més elementals són les varietats afins i les varietats proyectivas, resulta útil fer esta definició més explícita en abdós casos. Se supon que s'està treballant sobre un cos algebraicamente tancat k fix (en geometria algebraica clàssica, k sol ser el camp dels número complex).

Varietats afins

Primer, es definix la topología sobre l'espai afí ${𝔸}^n,$ format per les n-tuplas d'elements de k. La topología es definix especificant els seus conjunts tancats, en lloc dels seus conjunts oberts, i estos es consideren simplement tots els conjunts algebraics en ${𝔸}^n$. És dir, els conjunts tancats són aquells de la forma

$V(S)=\{x\in {𝔸}^n\mid f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in S\}$

a on S és qualsevol conjunt de polinomis en n variables sobre k. És una verificació senzilla per a demostrar que:

• V(S) = V((S)), a on (S) és l'ideal generat pels elements de S
• Per a dos ideals qualssevol de polinomis I, J, es té que

• 1. $V(I)\cup V(J)=V(IJ);$
  2. $V(I)\cap V(J)=V(I+J).$

D'això es deduïx que les unions finitas i les interseccions arbitràries dels conjunts V(S) també tenen esta forma, de modo que estos conjunts formen els conjunts tancats d'una topología (de manera equivalent, els seus complements, denotats D (S) i cridats conjunts oberts principals, formen la topología mateixa). Esta és la topología de Zariski en ${𝔸}^n.$

Si X és un conjunt algebraic afí (irreducible o no), llavors la topología de Zariski es definix simplement com el subespacio topològic induït per la seua inclusió en algun ${𝔸}^n.$. De manera equivalent, es pot comprovar que:

• Els elements de l'anell de coordenades afins :$A(X)=k[x_1,\dots ,x_n]/I(X)$ actuen com a funcions en X de la mateixa manera que els elements de $k[x_1,\dots ,x_n]$ actuen com a funcions en ${𝔸}^n$; ací, I(X) és l'ideal de tots els polinomis que s'anulen en X.
• Per a qualsevol conjunt de polinomis S, siga T el conjunt de les seues imàgens en A(X). Llavors el subconjunt de X :$V^{\prime }(T)=\{x\in X\mid f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in T\}$ (estes notacions no són estàndar) és igual a l'intersecció en X de V(S).

Açò establix que l'equació anterior, clarament una generalisació de la definició de conjunts tancats en ${𝔸}^n$ anterior, definix la topología de Zariski en qualsevol varietat afí.

Varietats proyectivas

Deu recordar-se que l'espai proyectivo de n dimensions ${\mathbb{P}}^n$ es definix com el conjunt de classes d'equivalència de punts distints de zero en ${𝔸}^{n+1}$ en identificar dos punts que diferixen en un múltiple escalar en k. Els elements de l'anell polinomial $k[x_0,\dots ,x_n]$ no són funcions en ${\mathbb{P}}^n$ perque qualsevol punt té molts representants que produïxen diferents valors en un polinomi. No obstant, per a un polinomi homogéneu, la condició de tindre un valor zero o distint de zero en qualsevol punt proyectivo dau està ben definida, en tractar-se dels múltiples factors escalares del polinomi. Per lo tant, si S és qualsevol conjunt de polinomis homogéneus es pot parlar raonablement de que

$V(S)=\{x\in {\mathbb{P}}^n\mid f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in S\}.$

Els mateixos fets poden establir-se per a estos conjunts, excepto que la paraula ideal deu ser reemplaçada per la frase "ideal homogéneu", de modo que V(S), per a conjunts S de polinomis homogéneus, definixca una topología en ${\mathbb{P}}^n.$ Com ya s'ha vist, els complements d'estos conjunts es denoten com a D(S) o, si és provable que es produïxca confusió, D′(S ).

La topología proyectiva de Zariski es definix per a conjunts algebraics proyectivos tal com es definix l'afí per a conjunts algebraics afins, prenent la topología del subespacio. De manera similar, es pot demostrar que esta topología està definida intrínsecament per conjunts d'elements de l'anell de coordenades proyectivo, per mig de la mateixa fòrmula anterior.

Propietats

Una propietat important de les topología de Zariski és que tenen una base que consta d'elements simples, concretament D(f) per a polinomis individuals (o per a varietats proyectivas, polinomis homogéneus) f. Que estos formen una base es desprén de la fòrmula per a l'intersecció de dos conjunts tancats de Zariski donada anteriorment (aplicada repetidament als ideals principals generats pels generadors de (S)). Els conjunts oberts d'esta base es denominen conjunts oberts distinguits o bàsics. L'importància d'esta propietat resulta en particular del seu us en la definició d'un esquema afí.

Segons el teorema de la base de Hilbert i algunes propietats elementals dels anells noetherianos, cada anell de coordenades afí o proyectivo és noetheriano. Com a conseqüència, els espais afins o proyectivos en la topología de Zariski són espais topològics noetherianos, lo que implica que qualsevol subconjunt tancat d'estos espais és compacte.

No obstant, a excepció dels conjunts algebraics finitos, cap conjunt algebraic és mai un espai de Hausdorff. En l'antiga lliteratura topològica, es considerava que compacte incloïa la propietat de Hausdorff, i esta convenció encara es respecta en geometria algebraica; per lo tant, la compacidad en el sentit modern es diu cuasicompacidad en geometria algebraica. No obstant, ya que cada punt (a₁, ..., a_n) és el conjunt zero dels polinomis x₁ - a₁, ..., x_n - a_n, els punts estan tancats per lo que cada varietat satisfà l'axioma T₁.

Cada aplicació regular de varietats és contínua en la topología de Zariski. De fet, la topología de Zariski és la topología més dèbil (en la menor cantitat de conjunts oberts) en la que açò és cert i en la que els punts estan tancats. Açò es verifica fàcilment observant que els conjunts tancats de Zariski són simplement les interseccions de les imàgens inverses de 0 per les funcions polinomiales, considerades com a aplicacions regulars en ${𝔸}^1$.

Espectre d'un anell

En la geometria algebraica moderna, una varietat algebraica sol estar representada per la seua esquema associat, que és un espai topològic (equipat en estructures adicionals) que és localment homeomorfo respecte del espectre d'un anell. El espectre d'un anell conmutativo A, denotat Spec A, és el conjunt dels ideals cosins de A, equipat en la topología de Zariski, per a la qual els conjunts tancats són els conjunts

$V(I)=\{P\in \mathrm{Espec}A\mid P\supset I\}$

a on I és un ideal.

Per a vore la conexió en l'image clàssica, observe's que per a qualsevol conjunt S de polinomis (sobre un camp algebraicamente tancat), es deduïx del teorema dels zeros de Hilbert que els punts de V(S) (en l'antic sentit) són exactament les tuplas (a₁, ..., a_n) tals que l'ideal generat pels polinomis x₁ − a₁, . .., x_n − a_n conté S; ademés, estos són ideals màxims i segons la teorema del punt zero ("Nullstellensatz") dèbil, un ideal de qualsevol anell de coordenades afí és màxim si i solament si és d'esta forma. Per lo tant, V (S) és lo mateix que els ideals màxims que contenen S. L'innovació de Grothendieck en definir el espectre (Spec) va ser reemplaçar els ideals màxims en tots els ideals cosins. En esta formulació és natural generalisar simplement esta observació a la definició d'un conjunt tancat en l'espectre d'un anell.

Una atra forma, potser més similar a l'original, d'interpretar la definició moderna és donar-se conte de que els elements de A en realitat poden considerar-se funcions dels ideals cosins de A; és dir, com a funcions en l'espectre de A. Simplement, qualsevol ideal primer P té un cos residu corresponent, que és el cos de fraccions del cocient A/P, i qualsevol element de A té un reflex en este cos residual . Ademés, els elements que realment estan en P són precisament aquells el reflex dels quals desapareix en P. Llavors, si es pensa en l'aplicació, associada a qualsevol element a de A:

$e_a:(P\in \mathrm{Espec}A)\mapsto (\frac{amodP}{1}\in \mathrm{Frac}(A/P))$

("evaluació de a"), que assigna a cada punt el seu reflex en el camp residual, com una funció de l'espectre de A (els valors del qual, certament, es troben en diferents cossos en diferents punts), llavors es té que

$e_a(P)=0\iff P\in V(a)$

De manera més general, V(I) per a qualsevol I ideal és el conjunt comú en el que totes les funcions en I s'anulen, lo que és formalment similar a la definició clàssica. De fet, concorden en el sentit de que quan A és l'anell de polinomis sobre algun cos algebraicamente tancat k, els ideals màxims de A s'identifiquen (com es va analisar en el paràgraf anterior) en n-tuplas d'elements de k, els seus cossos residuals són simplement k, i les aplicacions de evaluació són una evaluació real de polinomis en les corresponents n-tuplas. Ya que, com es va mostrar anteriorment, la definició clàssica és essencialment la definició moderna en sol ideals màxims considerats, açò mostra que l'interpretació de la definició moderna com a conjunts de funcions en zero concorda en la definició clàssica a on abdós tenen sentit.

Aixina com l'espectre reemplaça a les varietats afins, la construcció proy reemplaça les varietats proyectivas en la geometria algebraica moderna. De la mateixa manera que en el cas clàssic, per a passar de la definició afí a la proyectiva solament es necessita reemplaçar ideal per ideal homogéneu, encara que existix una complicació que involucra el ideal màxim irrellevant, que s'analisa en l'artícul citat.

Eixemples

L'espectre de ℤ

• Espec de k, l'espectre del cos k és l'espai topològic en un element.
• Espec de ℤ, l'espectre dels número entero té un punt tancat per a cada número primo p corresponent al ideal màxim (p) ⊂ ℤ, i un punt genèric no tancat (és dir, el tancament del qual és tot l'espai ) corresponent a l'ideal zero (0). Llavors, els subconjunts tancats de Espec de ℤ sò precisament l'espai complet i les unions finitas de punts tancats.
• Espec de k[t], l'espectre del anell de polinomis sobre un cos k: se sap que dit anell polinòmic és un domini d'ideals principals i els polinomis irreducibles són els elements primers de k[t]. Si k és algebraicamente tancat, com per eixemple el cos dels número complex, un polinomi no constant és irreducible si i solament si és llineal, de la forma t − a, per a algun element a de k. Llavors, l'espectre consta d'un punt tancat per a cada element a de k i un punt genèric, corresponent a l'ideal zero, i el conjunt dels punts tancats és homeomorfo en l'espai afí k equipat en la seua topología de Zariski. Per este homeomorfisme, alguns autors criden recta afí a l'espectre de k[t]. Si k no és algebraicamente tancat, per eixemple el camp dels número real, el panorama es torna més complicat per l'existència de polinomis irreducibles no llineals. En este cas, l'espectre consta d'un punt tancat per a cada polinomi irreducible mónico i d'un punt genèric corresponent a l'ideal zero. Per eixemple, l'espectre de ℝ[t] consta dels punts tancats (x − a), para a en ℝ, els punts tancats (x² + px + q) a on p, q estan en ℝ i en discriminante p² − 4q < 0, i finalment un punt genèric (0). Per a qualsevol camp, els subconjunts tancats de Espec de k[t] són unions finitas de punts tancats, i tot l'espai. Açò resulta del fet de que k[t] és un domini ideal principal i, en un domini ideal principal, els ideals cosins que contenen un ideal són els factors primers de la factorisació d'un generador de l'ideal.

Atres propietats

El canvi més dràstic en la topología de l'image clàssica a la nova és que els punts ya no estan necessàriament tancats. En ampliar la definició, Grothendieck va introduir els punts genèrics, que són els punts en tancament màxim, és dir, els ideals cosins mínims. Els punts tancats corresponen als ideals màxims de A. No obstant, l'espectre i l'espectre proyectivo seguixen sent espais T₀: daus dos punts P, Q, que són ideals cosins de A, a lo manco un d'ells, per eixemple P, no conté a l'atre. Llavors D(Q) conté a P pero, per supost, no a Q.

De la mateixa manera que en la geometria algebraica clàssica, qualsevol espectre o espectre proyectivo és (cuasi) compacte, i si l'anell en qüestió és noetheriano, llavors l'espai és un espai noetheriano. No obstant, estos fets són contraris a l'intuïció: normalment no s'espera que els conjunts oberts, distints de components conexos, siguen compactes, i per a varietats afins (per eixemple, l'espai euclídeo) ni tan sols s'espera que l'espai mateix siga compacte. Est és un eixemple de la inadecuación geomètrica de la topología de Zariski. Grothendieck va resoldre este problema definint la noció de propietat d'un esquema (en realitat, d'un morfisme d'esquemes), que recupera l'idea intuïtiva de compacidad: l'operador Proy és propi, pero l'operador Espec no ho és.

Vore també

• Espai espectral

Bibliografia

• (1977).«Algebraic Geometry».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• Hulek, Klaus (2003). Elementary Algebraic Geometry, AMS. ISBN 978-0-8218-2952-3.
• (1999) The Ret Book of Varieties and Schemes, expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians edició (vol. 1358), Berlin, New York: Springer Science+Business Mija. doi:10.1007/b62130. ISBN 978-3-540-63293-1.
• Zariski Topology en MathWorld.