Teoria d'número trascendente

La teoria dels número trascendente és una branca de teoria de números que investiga els número trascendente (números que no són solucions de cap equació algebraica en coeficients racionals), tant de manera qualitativa com a quantitativa.

Transcendència

Artícul principal → Número trascendente.

El teorema fonamental de l'àlgebra afirma que si es té un polinomi no constant en coeficients racionals (o de manera equivalent, per mig d'eliminació de denominadors, en coeficients sancers), llavors eixe polinomi tindrà una raïl en els número complejo. És dir, per a qualsevol polinomi no constant $P$ en coeficients racionals existirà un número complejo $\alpha$ tal que $P(\alpha )=0$. La teoria de la transcendència s'ocupa de la pregunta inversa: donat un número complejo $\alpha$, ¿existix un polinomi $P$ en coeficients racionals tals que $P(\alpha )=0?$? Si no existix tal polinomi, llavors el número es diu transcendent.

Més generalment, la teoria tracta sobre l'independència algebraica de números. Un conjunt de números {α₁, α₂, …, α_n} es diu algebraicamente independent sobre un cos K si no hi ha cap polinomi P distint de zero en n variables en coeficients en K tal que P(α₁, α₂, …, α_n) = 0. Aixina que averiguar si un número donat és transcendent és realment un cas especial d'independència algebraica, a on n =  1 i el cos K és el cos dels número racional.

Una noció relacionada és si existix una forma tancada per a un número, inclosos exponencials i logaritmos, aixina com operacions algebraiques. Hi ha vàries definicions de forma tancada, i les qüestions sobre les formes tancades a sovint es poden reduir a qüestions sobre transcendència.

Història

Aproximació per número racional: de Liouville a Roth

L'us del terme transcendent per a referir-se a un objecte que no és algebraic es remonta a el XVII, quan Gottfried Leibniz va demostrar que la funció sen no era una funció algebraica. La qüestió de si certes classes de números podrien ser trascendentes es remonta a 1748, quan Leonhard Euler va afirmar que el número log_ab no era algebraic per als número racional a i b un b donat, no existix cap número racional c tal que b = a^c.

L'afirmació de Euler no va ser provada fins a el XX, pero casi cent anys despuix de la seua afirmació Joseph Liouville sí va conseguir provar l'existència de números que no són algebraics, alguna cosa que fins a llavors no se sabia en certea. Els seus artículs originals sobre el tema en la década de 1840 varen esbossar arguments usant fraccions contínues per a construir número trascendente. Més alvance, en la década de 1850, va donar una condició necessària per a que un número fora algebraic i, per lo tant, una condició suficient per a que un número fora transcendent. Este criteri de transcendència tampoc era lo suficientment forta com per a ser necessari i, de fet, no conseguix justificar que el número i és transcendent. Pero el seu treball va proporcionar una classe més àmplia d'número trascendente, ara coneguts com números de Liouville en el seu honor.

El criteri de Liouville afirmava essencialment que els número algebraico no poden aproximar-se adequadament per mig d'número racional. En conseqüència, si un número pot aproximar-se molt be per mig d'número racional, llavors deu ser transcendent. El significat exacte de "molt ben aproximat" en el treball de Liouville es relaciona en cert exponent. Va demostrar que si α és un número algebraico de grau d ≥ 2 i ε és qualsevol número major que zero, llavors l'expressió

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^{d+\epsilon }}$

pot satisfer-se solament en un número finito d'número racional p/q. Usar açò com a criteri de transcendència no és una qüestió baladí, ya que cal comprovar si existixen infinites soluciones p/q per a cada d ≥ 2.

En el XX, el treball d'Axel Thue, Carl Siegel, i Klaus Roth va reduir l'exponent en el treball de Liouville de (d + ε) a (d/2 + 1 + ε), i finalment, en 1955, a (2 + ε). Este resultat, conegut com el teorema de Thue-Siegel-Roth, és ostensiblement el millor possible, ya que si l'exponent (2 + ε) es reemplaça per sol 2, llavors el resultat ya no és verdader. No obstant, Serge Lang conjeturó una millora del resultat de Roth; en particular, conjeturó que (q^2+ε) en el denominador del costat dret podria reduir-se a $q^2{\text{log (q)}}^{1+ϵ}$.

El treball de Roth va culminar de forma efectiva la llabor iniciada per Liouville, i la seua teorema va permetre als matemàtics provar la transcendència de molts més números, com el número de Champernowne. No obstant, la teorema encara no és lo suficientment forta per a detectar tots els número trascendente, i moltes constants famoses, incloses i i π, no són o no se sap que siguen molt aproximables en el sentit anterior.

Funcions auxiliars: de Hermite a Baker

Afortunadament, atres métodos varen ser pioners en el XIX per a tractar les propietats algebraiques de i i, en conseqüència, de π a través de l'identitat de Euler. Este treball es va centrar en l'us de les denominades funcions auxiliars, que són una classe de funcions que típicament contenen molts zeros en els punts baix consideració. Ací, molts zeros pot significar molts zeros distints, o tan sol un zero pero en una alta multiplicitat, o inclús molts zeros, tots en una gran multiplicitat. Charles Hermite va usar funcions auxiliars que s'aproximaven a les funcions $e^{kx}$ per a cada número natural $k$ en la finalitat de provar la transcendència de $e$ en 1873. El seu treball va ser desenrollat per Carl Louis Ferdinand von Lindemann en la década de 1880 per a provar que i^α és transcendent per a número algebraico α distints de zero. En particular, açò va provar que π és transcendent, ya que i^πi és algebraic, i per lo tant va respondre negativament al problema de l'antiguetat clàssica sobre si era possible obtindre la quadratura del círcul amprant un número finito d'operacions realisades exclusivament en regla i compàs. Karl Weierstraß va desenrollar el seu treball encara més i finalment va provar el teorema de Lindemann–Weierstrass en 1885.

En 1900 David Hilbert va fer pública la seua famosa colecció de problemes. El sèptim problema, i un dels més complicats en opinió de Hilbert, preguntava sobre la transcendència dels números de la forma a^b quan a i b són algebraics, a no és zero o un, i b és irracional. En la década de 1930, Aleksandr Guélfond i Theodor Schneider varen demostrar que tots eixos números eren realment trascendentes utilisant una funció auxiliar no explícita l'existència de la qual va ser assegurada pel lema de Siegel. Este resultat, el teorema de Gelfond-Schneider, va demostrar la transcendència de números com la i^π i la constant de Gelfond-Schneider.

El següent gran resultat en este camp es va produir en la década de 1960, quan Alan Baker va alvançar en un problema plantejat per Gelfond en formes llineals en logaritmos. El mateix Gelfond havia conseguit trobar un llímit inferior no trivial per a la cantitat

$|{\beta }_1\log {\alpha }_1+{\beta }_2\log {\alpha }_2|$

a on les quatre incògnites són algebraiques, sent les α ni zero ni un i les β irracionals. No obstant, havia eludit trobar llímits inferiors similars per a la suma de tres o més logaritmos. La prova del teorema de Baker contenia tals llímits, resolent el problema de número de classe de Gauss per a la classe número un en el procés. Este treball li va valdre a Baker la Medalla Fields pels seus usos per a resoldre equacions diofánticas. Des d'un punt de vista purament teòric dels número trascendente, Baker havia demostrat que si α₁, ..., α_n són número algebraico, cap d'ells zero o un, i β₁, ..., β_n són número algebraico tals que 1, β₁, .. ., β_n són linealmente independents sobre els número racional, llavors el número

${\alpha }_1^{{\beta }_1}{\alpha }_2^{{\beta }_2}\cdots {\alpha }_n^{{\beta }_n}$

és transcendent.

Atres tècniques: Cantor i Zilber

En la década de 1870, Georg Cantor va començar a desenrollar la teoria de conjunts i, en 1874, va publicar un artícul que demostrava que els número algebraico es podien posar en correspondència un a un en el conjunt dels número natural i, per lo tant, que el conjunt d'número trascendente deu ser incontable. Posteriorment, en 1891, Cantor va usar el seu intuïtiu argument diagonal per a demostrar el mateix resultat. Mentres que el resultat de Cantor a sovint se cita com purament existencial i, per lo tant, inutilisable per a construir un sol número trascendente, les demostracions en els dos artículs abans mencionats brinden métodos per a construir número trascendente.

Si ben Cantor va usar la teoria de conjunts per a provar la completitud dels número trascendente, un desenroll recent ha segut l'us de la teoria de models en intents de provar un problema no resolt en la teoria d'número trascendente, que consistix en determinar el grau de transcendència del cos

$K=\mathbb{Q}(x_1,\dots ,x_n,e^{x_1},\dots ,e^{x_n})$

per a número complejo x₁, ..., x_n que són linealmente independents sobre els número racional. Stephen Schanuel conjecturó que la resposta és a lo manco n, pero no es coneix cap demostració. No obstant, en 2004, Boris Zilber va publicar un artícul que va utilisar tècniques de teoria de models per a crear una estructura que es comporta de manera molt similar als número complejo equipats en les operacions de suma, multiplicació i exponenciación. Ademés, en esta estructura abstracta, la conjectura de Schanuel sí es complix. Desafortunadament encara no se sap si esta estructura és de fet la mateixa que la dels número complejo en les operacions mencionades; podria existir alguna atra estructura abstracta que es comporte de manera molt similar als número complejo pero a on la conjectura de Schanuel no es complix. Zilber va proporcionar varis criteris que provarien que l'estructura en qüestió era C, pero no va poder provar el cridat axioma de tancament exponencial fort. El cas més simple d'este axioma ha segut provat des de llavors, pero es requerix una prova que es complixca en tota la seua generalitat per a completar la prova de la conjectura.

Bibliografia

• Gelfond, A. O. (1960). Transcendental and Algebraic Numbers, Dover.
• Lang, Serge (1966). Introduction to Transcendental Numbers, Addison–Wesley.