Constant de Gelfond

Es diu constant de Gelfond al número $e^{\pi }$, o siga, el número i elevat al número π. Establir si este número és transcendent o no va ser un dels 23 problemes que Hilbert va propondre com especialment importants en el Congrés Internacional de Matemàtics de 1900 en París. Que este número és transcendent (i per tant, irracional) va ser demostrat per Gelfond en 1934.

Una atra de les constants relacionades en esta és $2^{\sqrt{2}}$, coneguda com constant de Gelfond-Schneider.

El valor de la constant de Gelfond és

$e^{\pi }\approx \mathrm{23.140692632...}$

El seu valor pot trobar-se per mig de la fòrmula recurrent

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}$

en $k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Una volta aplegat al terme $k_n$ desijat, basta prendre:

$e^{\pi }\approx (k_N/4{)}^{-2^{1-N}}$

Curiositats

El número

$e^{\pi }-\pi \approx \mathrm{19.9991...}$ està a menys d'una milèsima d'un sancer.

$\pi +e^{\pi }$ és irracional, provat per Yuri V. Nesterenko.

Vore també

• Teorema de Gelfond-Schneider
• Problemes de Hilbert