Constant de Gelfond-Schneider

La constant de Gelfond–Schneider es definix com:

$2^{\sqrt{2}}=\mathrm{2.6651441...}$.

Rodion Kuzmin va demostrar que era un número trascendente. Aleksandr Gelfond va demostrar en 1934 el teorema de Gelfond-Schneider, més general, i en això va resoldre completament la part del sèptim problema de Hilbert que es descriu més alvance.

La raïl quadrada d'este número és el també número trascendente

${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=\mathrm{1.6325269...}$

que servix per a mostrar que un número irracional elevat a la potència d'un número irracional a voltes pot produir un número racional, ya que este número elevat a √2 és igual a 2.

Sèptim problema de Hilbert

Part del sèptim dels vintitrés problemes de Hilbert plantejats en 1900 consistia en demostrar (o, en el seu cas, trobar un contraeixemple que refutase la conjectura) que a^b sempre és transcendent para tot número algebraico a≠0,1 i per a tot número algebraico irracional b. En el discurs va donar explícitament dos eixemples, un dels quals era la constant de Gelfond-Schneider 2^√2.

En 1919 va pronunciar un discurs sobre teoria de números i va parlar sobre tres conjectura: la hipòtesis de Riemann, l'última teorema de Fermat i la transcendència de 2^√2. Va dir que no esperava que cap dels assistents vixquera lo suficient com per a vore una demostració d'este últim resultat. No obstant, el resultat de la transcendència d'este número va ser publicat en 1934, en vida de Hilbert.

El treball de Kuzmin va demostrar el cas en que l'exponent b és un número real quadràtic.

Vore també

• Constant de Gelfond
• Número de Hilbert

Referències

• R. Kuzmin, On a new class of transcendental numbers, Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem., 7 (1930), 585-597.