Eliminació de denominadors

En matemàtiques, el método de eliminació de denominadors, també cridat de simplificació de fraccions, és una tècnica per a simplificar una equació equiparant dos expressions que són cada una una suma de funcions racionals, que inclouen fracciones simples.

Eixemple

Considere's l'equació

$\frac{x}{6}+\frac{y}{15z}=1.$

El mínim comú múltiple dels dos denominadors 6 i 15z és 30z. Llavors, es multipliquen abdós costats per 30z:

$5xz+2y=30z.$

El resultat és una equació sense fraccions.

L'equació simplificada no és totalment equivalent a l'original. Perque quan se substituïx i= 0 i z= 0 en l'última equació, abdós costats se simplifiquen a 0, per lo que s'obté 0 = 0, una veritat matemàtica. Pero la mateixa substitució aplicada a l'equació original dona com a resultat x/6 + 0/0= 1, que és matemàticament carent de sentit.

Descripció

Sense pèrdua de generalitat, es pot supondre que un membre de l'equació és 0, ya que una equació I₁= I₂ es pot reescriure de manera equivalent en la forma I₁ − I₂= 0.

Aixina que l'equació té la forma

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=0.$

El primer pas és determinar un denominador comú D d'estes fraccions, preferiblement el mínim comú denominador, que és el mínim comú múltiple de Q_i.

Açò significa que cada Q_i és un factor de D, i llavors D= R_iQ_i per a alguna expressió R_i que no siga una fracció. Després

$\frac{P_i}{Q_i}=\frac{R_i{P}_i}{R_i{Q}_i}=\frac{R_i{P}_i}{D},$

sempre que R_iQ_i no assumixca el valor 0, en el cas del qual també D és igual a 0.

Llavors es té que

$\sum _{i=1}^n\frac{P_i}{Q_i}=\sum _{i=1}^n\frac{R_i{P}_i}{D}=\frac{1}{D}\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0.$

Sempre que D no assumixca el valor 0, l'última equació és equivalent a

$\sum _{i=1}^n{R}_i{P}_i=0,$

en el que els denominadors han desaparegut.

Com es mostra en les condicions, es deu anar en conte de no introduir zeros de D (vists com a funcions dels valors desconeguts de l'equació), com solucions espurias.

Bibliografia

• Richard N. Aufmann (2012). Algebra: Beginning and Intermediate, 3 edició, Cengage Learning, p. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.