Grup cuaterniónico

Taula de multiplicar del grup cuaterniónicoico (forma simplificada) 1 i j k 1 1 i j k i i −1 k −j j j −k −1 i k k j −i −1

En teoria de grups, el grup cuaterniónico (o també grup dels cuaterniones) ₈X (a voltes simplement denotat per Q) és un grup no abeliano d'orde huit, isomorfo al subconjunt de huit elements $\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}$ dels cuaterniones baix la multiplicació. Està donat per la presentació de grup

${\mathrm{Q}}_8=⟨\overline{e},i,j,k\mid {\overline{e}}^2=e,i^2=j^2=k^2=ijk=\overline{e}⟩,$

a on i és l'element identitat i Plantilla:Overline commuta en els demés elements del grup. Estes relacions, descobertes per William Rowan Hamilton, també generen els cuaterniones com un àlgebra sobre els número real.

Una atra presentació de Q₈ és

${\mathrm{Q}}_8=⟨a,b\mid a^4=e,a^2=b^2,ba=a^{-1}b⟩.$

Com a molts atres grups finitos, pot realisar-se com el grup de Galois d'un determinat cos de número algebraico.

Comparació en el grup diédrico

Diagrama cíclico de ₈X. Cada color especifica una série de potències de qualsevol element conectat a l'element identitat i=1. Per eixemple, el cicle en roig reflectix el fet de que i²= Plantilla:Overline, i³= Plantilla:Overline i i⁴= i. El cicle roig també reflectix que Plantilla:Overline²= Plantilla:Overline, Plantilla:Overline³= i i Plantilla:Overline⁴= i

El grup cuaterniónico ₈X té el mateix orde que el grup diédrico D₄, pero una estructura diferent, com ho mostren les seues grafos cíclico i de Cayley:

	Q8	D4
Grafo de Cayley	Fleches roges conecten g→gi, i les verdes g→gj.
Grafo cíclico

En els diagrames de D₄, els elements del grup estan marcats en la seua acció sobre una lletra F en la seua representació definitoria respecte a 'R². No es pot fer lo mateix en ₈X, ya que no té una representació fidel en R² o R³. D₄ pot realisar-se com un subconjunt dels cuaterniones dividits de la mateixa manera que ₈X pot vore's com un subconjunt dels cuaterniones.

Taula de Cayley

×	i	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	j	Plantilla:Overline	k	Plantilla:Overline
i	i	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	j	Plantilla:Overline	k	Plantilla:Overline
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	j	Plantilla:Overline	k
i	i	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	i	k	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	j
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	i	i	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	k	j	Plantilla:Overline
j	j	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	k	Plantilla:Overline	i	i	Plantilla:Overline
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	j	k	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	i
k	k	Plantilla:Overline	j	Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline	i
Plantilla:Overline	Plantilla:Overline	k	Plantilla:Overline	j	i	Plantilla:Overline	i	Plantilla:Overline

La taula de Cayley (taula de multiplicar) per a ₈X ve donada per:

Propietats

Els elements i, j i k tenen tots orde quatre en ₈X i dos d'ells generen el grup complet. Una atra presentació de ₈X basada en sol dos elements per a botar-se esta redundància és:

$⟨x,y\mid x^4=1,x^2=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

Per eixemple, en escriure els elements del grup en formes normals mínimes lexicográficamente, es pot identificar:

El grup cuaterniónico té la propietat inusual de ser hamiltoniano: ₈X no és abeliano, pero cada subgrup és normal. Cada grup hamiltoniano conté una còpia de ₈X.

El grup cuaterniónico ₈X i el grup diédrico D₄ són els dos eixemples més menuts d'un grup no abeliano nilpotent.

El centre i el subgrup commutador de ₈X és el subgrup $\{e,\overline{e}\}$. l'automorfisme intern de ₈X ve dau pel mòdul del grup en el seu centre, és dir, el grup cocient ${\mathrm{Q}}_8/\{e,\overline{e}\},$ que és isomorfo al grup de Klein V. El grup d'automorfisme complet de ₈X és isomorfo a S₄, el grup simètric de quatre lletres (consulte's Representacions matriciales a continuació) , i el grup d'automorfisme extern de ₈X és, per tant, S₄/V, que és isomorfo a S₃.

El grup cuaterniónico ₈X té cinc classes de conjugació, $\{e\},\{\overline{e}\},\{i,\overline{i}\},\{j,\overline{j}\},\{k,\overline{k}\},$ i, per tant, cinc representacions irreductibles sobre els número complejo, en dimensions 1, 1, 1, 1, 2:

Representació trivial.

Representacions de signes en i, j, k-núcleu: ₈X té tres subgrups normals màxims: els subgrups cíclicos generats per i, j i k respectivament. Per a cada subgrup normal màxim N, s'obté una representació unidimensional factorizando a través del grup cocient G/N de 2 elements. La representació envia elements de N a 1 i elements fòra de N a −1.

Representació bidimensional: es descriu a continuació en Representacions matriciales. No és realisable sobre els número real, ya que es tracta d'una representació complexa: de fet, són solament els cuaterniones $ℍ$ considerats com un àlgebra sobre $ℂ$, i l'acció és la de multiplicar per l'esquerra per $Q_8\subset ℍ$.

La taula de caràcters de ₈X resulta ser la mateixa que la de D₄:

Representació(ρ)/Classe de conjugació	{i }	{Plantilla:Overline }	{i, Plantilla:Overline }	{j, Plantilla:Overline }	{k, Plantilla:Overline }
Representació trivial	1	1	1	1	1
Representació de signes en i-núcleu	1	1	1	−1	−1
Representació de signes en j-núcleu	1	1	−1	1	−1
Representació de signes en k-núcleu	1	1	−1	−1	1
Representació 2-dimensional	2	−2	0	0	0

No obstant, tots els caràcters irreducibles ${\chi }_{\rho }$ en les files anteriors tenen valors reals, açò dona la descomposició del àlgebra de grup real de $G={\mathrm{Q}}_8$ en ideals mínims de dos costats:

$ℝ[{\mathrm{Q}}_8]=\underset{\rho }{⨁}(e_{\rho }),$

a on els idempotents $e_{\rho }\in ℝ[{\mathrm{Q}}_8]$ corresponen als irreducibles:

$e_{\rho }=\frac{\dim (\rho )}{|G|}\sum _{g\in G}{\chi }_{\rho }(g^{-1})g,$

de modo que

$\begin{array}{cc}{e}_{\text{triv}}& =\frac{1}{8}(e+\overline{e}+i+\overline{i}+j+\overline{j}+k+\overline{k})\\ e_{i\text{-ker}}& =\frac{1}{8}(e+\overline{e}+i+\overline{i}-j-\overline{j}-k-\overline{k})\\ e_{j\text{-ker}}& =\frac{1}{8}(e+\overline{e}-i-\overline{i}+j+\overline{j}-k-\overline{k})\\ e_{k\text{-ker}}& =\frac{1}{8}(e+\overline{e}-i-\overline{i}-j-\overline{j}+k+\overline{k})\\ e_2& =\frac{2}{8}(2e-2\overline{e})=\frac{1}{2}(e-\overline{e})\end{array}$

Cada u d'estos ideals irreducibles és isomorfo a un àlgebra simple central real, els primers quatre al cos real $ℝ$. L'últim ideal $(e_2)$ és isomorfo al anell de divisió dels cuaterniones $ℍ$ per la correspondència:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}(e-\overline{e})& ⟷1,\\ \frac{1}{2}(i-\overline{i})& ⟷i,\\ \frac{1}{2}(j-\overline{j})& ⟷j,\\ \frac{1}{2}(k-\overline{k})& ⟷k.\end{array}$

Ademés, l'homomorfisme de proyecció $ℝ[{\mathrm{Q}}_8]\to (e_2)\cong ℍ$ dau per $r\mapsto r{e}_2$ té un núcleu ideal generat per l'idempotent:

$e_2^{\perp }=e_1+e_{i\text{-ker}}+e_{j\text{-ker}}+e_{k\text{-ker}}=\frac{1}{2}(e+\overline{e}),$

per lo que els cuaterniones també es poden obtindre com l'anelle cocient $ℝ[{\mathrm{Q}}_8]/(e+\overline{e})\cong ℍ$. Tinga's en conte que açò és irreducible com una representació real de $Q_8$, pero es dividix en dos còpies del irreducible bidimensional quan s'estén als número complejo. De fet, l'àlgebra de grups complexos és $ℂ[{\mathrm{Q}}_8]\cong {ℂ}^{\oplus 4}\oplus M_2(ℂ),$, a on $M_2(ℂ)\cong ℍ{\otimes }_{ℝ}ℂ\cong ℍ\oplus ℍ$ és l'àlgebra bicuaterniónica.

Representacions matriciales

Taula de multiplicar del grup cuaterniónico com a subgrup del SL(2,C). Les entrades estan representades per sectors corresponents als seus arguments: 1 (vert), i (blava), −1 (roig), −i (groc)

La representació del complex irreducible bidimensional descrit anteriorment dona el grup cuaterniónico ₈X com un subgrup del grup llineal general $\mathrm{GL}(2,ℂ)$. El grup cuaterniónico és un subgrup multiplicativo de l'àlgebra de cuaterniones:

$ℍ=ℝ1+ℝi+ℝj+ℝk=ℂ1+ℂj,$

que té una representació regular $\rho :ℍ\to \mathrm{M}(2,ℂ)$ per multiplicació per l'esquerra sobre sí mateixa considerat com un espai vectorial complex en base $\{1,j\},$ de modo que $z\in ℍ$ correspon a l'aplicació llineal $ℂ$ ${\rho }_z:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).$ La representació resultant

$\{\begin{array}{c}\rho :{\mathrm{Q}}_8\to \mathrm{GL}(2,ℂ)\\ g⟼{\rho }_g\end{array}$

que ve donada per:

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right).\end{array}$

Ya que totes les matrius anteriors tenen determinant unitari, esta és una representació de ₈X en el grup llineal especial $\mathrm{SL}(2,ℂ)$.

Una variant dona una representació per matrius unitàries (taula de la dreta). Siga $g\in {\mathrm{Q}}_8$ l'aplicació llineal ${\rho }_g:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot j{g}^{-1}{j}^{-1},$ de modo que $\rho :{\mathrm{Q}}_8\to \mathrm{SU}(2)$ estiga donat per:

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right).\end{array}$

Val la pena senyalar que els físics utilisen exclusivament una convenció diferent per a que la representació matricial $\mathrm{SU}(2)$ siga coherent en les matrius de Pauli habituals:

$\begin{array}{ccccc}& e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=1_{2\times 2}& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -i\\ -i& 0\end{array}\right)=-i{\sigma }_x& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=-i{\sigma }_y& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\end{array}\right)=-i{\sigma }_z\\ & \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-1_{2\times 2}& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)=i{\sigma }_x& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=i{\sigma }_y& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)=i{\sigma }_z.\end{array}$

Esta elecció particular és convenient i elegant quan es descriuen estats d'espin -1/2 en la base $({\overrightarrow{J}}^2,J_z)$ i es considera operadors en escala del moment angular $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y.$

Archiu:Quaternion group; Cayley table; subgroup of GL(2,3).svg

Taula de multiplicar del grup cuaterniónico com a subgrup de SL(2,3). Els elements del cos es denoten per 0, +, −

També hi ha una important acció de ₈X en l'espai vectorial bidimensional sobre elcos finito ${𝔽}_3=\{0,1,-1\}$ (taula de la dreta). Una representació modular $\rho :{\mathrm{Q}}_8\to \mathrm{SL}(2,3)$ ve donada per

$\begin{array}{cccc}e\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)& i\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)& j\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)& k\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\\ \bar{e}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)& \bar{i}\mapsto \left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)& \bar{j}\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& -1\end{array}\right)& \bar{k}\mapsto \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right).\end{array}$

Esta representació es pot obtindre de l'extensió del cos:

${𝔽}_9={𝔽}_3[k]={𝔽}_{3}1+{𝔽}_{3}k,$

a on $k^2=-1$ i el grup multiplicativo ${𝔽}_9^{\times }$ té quatre generadors, $\pm (k\pm 1),$ d'orde 8. Per a cada $z\in {𝔽}_9,$, l'espai vectorial ${𝔽}_3$ bidimensional ${𝔽}_9$ admet una aplicació llineal:

$\{\begin{array}{c}{\mu }_z:{𝔽}_9\to {𝔽}_9\\ {\mu }_z(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{array}$

Ademés es té l'automorfisme de Frobenius $\varphi (a+bk)=(a+bk{)}^3$ que satisfà ${\varphi }^2={\mu }_1$ i $\varphi {\mu }_z={\mu }_{\varphi (z)}\varphi .$. Llavors, les matrius de representació anteriors són:

$\begin{array}{cc}\rho (\overline{e})& ={\mu }_{-1},\\ \rho (i)& ={\mu }_{k+1}\varphi ,\\ \rho (j)& ={\mu }_{k-1}\varphi ,\\ \rho (k)& ={\mu }_k.\end{array}$

Esta representació realisa ₈X com un subgrup normal de GL(2, 3). Aixina, per a cada matriu $m\in \mathrm{GL}(2,3)$, es té un automorfisme de grup

$\{\begin{array}{c}{\psi }_m:{\mathrm{Q}}_8\to {\mathrm{Q}}_8\\ {\psi }_m(g)=mg{m}^{-1}\end{array}$

en ${\psi }_I={\psi }_{-I}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{Q}}_8}.$ De fet, generen el grup d'automorfisme complet com:

$\mathrm{Aut}({\mathrm{Q}}_8)\cong \mathrm{PGL}(2,3)=\mathrm{GL}(2,3)/\{\pm I\}\cong S_4.$

que és isomorfo al grup simètric S₄, ya que les assignació llineals $m:{𝔽}_3^2\to {𝔽}_3^2$ permuten els quatre subespacios unidimensionals de ${𝔽}_3^2,$, és dir, els quatre punts del espai proyectivo ${\mathbb{P}}^1({𝔽}_3)=\mathrm{PG}(1,3).$

Ademés, esta representació permuta els huit vectores distints de zero de ${𝔽}_3^2,$ donant una inclusió de ₈X en el grup simètric S₈, ademés de les inclusions donades per les representacions regulars.

Grup de Galois

Richard Dedekind va considerar el cos $\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]$ en intentar relacionar el grup cuaterniónico en la teoria de Galois. En 1936 Ernst Witt va publicar la seua aproximació al grup cuaterniónico a través de la teoria de Galois.

En 1981, Richard Dean va demostrar que el grup cuaterniónico es pot realisar com el grup de Galois Gal(T/Q') a on Q és el cos dels número racional i T és el cos de descomposició del polinomi

$x^8-72x^6+180x^4-144x^2+36$.

El desenroll utilisa el teorema fonamental de la teoria de Galois per a especificar quatre cossos intermijos entre Q i T i els seus grups de Galois, aixina com dos teoremes sobre l'extensió cíclica de grau quatre sobre un cos.

Grup cuaterniónico generalisat

Un grup cuaterniónico generalisat _4nX d'orde 4n està definit per la presentació

$⟨x,y\mid x^{2n}=y^4=1,x^n=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩$

per a un número entero n ≥ 2, en el grup cuaterniónico habitual dau per n = 2. Coxeter flama a _4nX grup dicíclico $⟨2,2,n⟩$, un cas especial dels grups de punts en tres dimensions $⟨\ell ,m,n⟩$ i relacionat en el grup polièdric $(p,q,r)$ i el grup diédrico $(2,2,n)$. El grup cuaterniónico generalisat es pot realisar com el subgrup de ${\mathrm{GL}}_2(ℂ)$ generat per

$\left(\begin{array}{cc}{\omega }_n& 0\\ 0& {\bar{\omega }}_n\end{array}\right)\text{y }\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

a on ${\omega }_n=e^{i\pi /n}$. També es pot realisar com el subgrup cuaterniónico unitari generat per $x=e^{i\pi /n}$ i $y=j$.

Els grups cuaterniónicos generalisats tenen la propietat de que cada subgrup abeliano és cíclico. Es pot demostrar que un p-grup finito en esta propietat (cada subgrup abeliano és cíclico) és cíclico o un grup cuaterniónico generalisat com es va definir anteriorment. Una atra caracterisació és que un p-grup finito en el que hi ha un subgrup únic d'orde p és cíclico o un grup cuaterniónico isomorfo a un generalisat de 2 grups. En particular, per a un cos finito F en característica impar, el subgrup 2-Sylow de SL₂(F) no és abeliano i té solament un subgrup d'orde 2, per lo que este subgrup 2-Sylow deu ser un grup cuaterniónico generalisat, Plantilla:Harv. Suponent que p^r siga el tamany de F, a on p és primer, el tamany del subgrup 2-Sylow de SL₂(F) és 2ⁿ, a on n= ord₂(p² − 1) + ord₂(r).

El teorema de Brauer-Suzuki mostra que els grups els subgrups dels quals 2-Sylow són cuaterniones generalisats no poden ser simples.

Una atra terminologia reserva el nom de "grup cuaterniónico generalisat" per a un grup dicíclico d'orde una potència de 2, que admet la presentació

$⟨x,y\mid x^{2^m}=y^4=1,x^{2^{m-1}}=y^2,y^{-1}xy=x^{-1}⟩.$

Vore també

• Hexadecacoron
• Grup tetraèdric binario
• Àlgebra de Clifford
• Grup dicíclico
• Cuaternión de Hurwitz
• Anex:Grups finitos d'orde baix

Bibliografia

• Coxeter, H. S. M. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Dean, Richard A. (1981) "Un polinomi racional el grup del qual són els cuaterniones", American Mathematical Monthly 88:42-5.
• (1980).«Finite Groups».Chelsea.New York:
• P.R. Girard (1984) "El grup dels cuaterniones i la física moderna", European Journal of Physics 5:25-32.