Grup nilpotent

En la teoria de grups, un grup nilpotent és un grup que és «casi» abeliano. De forma més precisa, sempre existix un natural n tal que, aplicant l'operació commutación, [x₁,x₂,...,x_n ] = [...[x₁,x₂],...,],x_n] a qualssevol elements x₁,x₂,...,x_n del grup, sempre obtenim l'identitat. Els grups nilpotents són utilisats en la teoria de Galois, aixina com en la classificació de grups finitos. Apareixen també en la classificació de grups de Lie.

Definició

Començarem definint les séries centrals descendents d'un grup G. Daus dos subconjunts A i B de G, es definix el commutador [A,B] com el subgrup de G generat per tots els [x,i] en x en A i i en B, llavors la série central descendent és A₀= G, A₁ = [G,G], A₂ =[ A₁,G] i en general A_i+1 = [A_i, G]. És clar que A₁ = [G,G] = G¹, és el commutador de G.

Si G és abeliano, llavors [G,G] = {i}, el subgrup trivial. Estenent esta idea es dirà que un grup G és un grup nilpotent si existix un número natural n tal que A_n és trivial. Si n és l'número natural més chicotet per al qual A_n és trivial, direm que G és nilpotent de classe n. El subgrup trivial és de classe 0, tot grup abeliano, llevat el trivial, és de classe 1. Els grups nilpotents de classe 2 són també cridats grups metabelianos.

Com a justificació del terme "nilpotent" observem la següent propietat dels elements d'un grup G nilpotent: siga g en G i definim la funció f : G → G donada per f(x) = [x,g]. Llavors esta funció és nilpotent en el sentit que existix un número natural n tal que fⁿ, la n-ésima iteración de f, envia cada element x de G a l'element identitat.

Una definició equivalent ve donada per les séries centrals ascendents de G, les quals són una successió de grups Z₀= {i}, Z₁, Z₂, ..., Z_i, ..., definits per:

$Z_{i+1}=\{x\in G|\mathrm{\forall }y\in G:[x,y]\in Z_i\}$

En este cas, Z₁ és el centre de G, i en general el grup cocient Z_i+1/Z_i és el centre de G/Z_i. Si G és un grup abeliano llavors és clar que Z₁ és G. En estes definicions un grup és cridat nilpotent de classe n si Z_n = G i n és mínim en esta propietat.

Abdós definicions de grup nilpotent són equivalents. Més encara, la série central descendent alcança el grup trivial en n passos si i només si la série central ascendent alcança G en n passos.

Eixemples

Com va ser dit més dalt un grup abeliano és nilpotent.

Considerem el grup cuaterniónico Q₈. El seu centre és {1, −1} i la seua série central descendent és {1}, {1, −1}, Q₈. Per lo tant és nilpotent de classe 2.

El grup de Heisenberg és un atre eixemple de grup nilpotent no abeliano.