Problema de Galois invers

En teoria de Galois, el problema de Galois invers planteja si tot grup finito pot ser el grup de Galois d'alguna extensió dels número racional. Este problema, propost inicialment per Hilbert en el sigle XIX, permaneix sense resoldre.

Més generalment, siga $G$ un grup finito dau, i siga $K$ un cos. Llavors la pregunta és: ¿existix una extensió de cossos galoisiana $L/K$ tal que el grup de Galois de l'extensió siga isomorfo a $G$? Es diu que $G$ és realisable sobre $K$ si dit cos $L$ existix.

Resultats parcials

Pese a ser un problema obert, es coneixen molts detalls sobre alguns casos particulars. Se sap, per eixemple (Šafarevič), que tot grup finito és realisable sobre qualsevol cos de funcions en una variable sobre els número complejo $ℂ$, i més generalment sobre cossos de funcions en una variable sobre qualsevol cos algebraicamente tancat de característica zero. Šafarevič va mostrar que tot grup finito resoluble és realisable sobre $\mathbb{Q}$. També se sap que els 26 grups esporàdics, a excepció del grup de Mathieu $M_{23}$, són realisables sobre $\mathbb{Q}$.

Hilbert havia mostrat que esta qüestió està relacionada en una pregunta de racionalitat para $G$: si $K$ és una extensió qualsevol de $\mathbb{Q}$, en la que $G$ actua com a grup d'automorfismes i el cos fix per $G$, $K^G$, és racional sobre $\mathbb{Q}$, llavors $G$ és realisable sobre $\mathbb{Q}$. Ací «racional» significa que és una extensió purament transcendental de $\mathbb{Q}$, generada per un conjunt algebraicamente independent. Este criteri pot, per eixemple, amprar-se per a demostrar que tots els grups simètrics són realisables.

S'ha profundisat molt en esta qüestió, per a la que encara no existix una resolució general. Alguns dels treballs portats a terme es basen en construir $G$ geomètricament com un recobriment de Galois de la recta proyectiva: en térmens algebraics, escomençar en una extensió del cos $\mathbb{Q}(t)$ de funcions racionals en una indeterminada $t$; despuix aplicar el teorema de irreducibilidad de Hilbert per a especialisar $t$, de tal manera que es conserve la seua grup de Galois.

Un eixemple senzill: els grups cíclicos

És possible, per mig de resultats clàssics, construir explícitament un polinomi que el seu grup de Galois sobre $\mathbb{Q}$ siga el grup cíclico $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ per a qualsevol $n$ positiu. Per a fer açò, elegixca's un primer $p$ tal que $p\equiv 1(\mathrm{mod}n)$; açò és possible pel teorema de Dirichlet. Siga $\mathbb{Q}(\xi )$ l'extensió ciclotòmica de $\mathbb{Q}$ generada per $\xi$, a on $\xi$ és una raïl p-ésima primitiva de l'unitat; el grup de Galois de $\mathbb{Q}(\xi )/\mathbb{Q}$ és cíclico d'orde $p-1$.

ya que $n$ dividix a $p-1$, el grup de Galois té un subgrup cíclico $H$ d'orde $(p-1)/n$. El teorema fonamental de la teoria de Galois implica que el corresponent cos fix per $H$

$F=\mathbb{Q}(\xi {)}^H$

té grup de Galois $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Q}$. Prenent les sumes de conjugats de $\xi$ apropiades, d'acort en la construcció de periodos de Gauss, es pot trobar un element $\alpha$ de $F$ que genera $F$ sobre $\mathbb{Q}$, i calcular el seu polinomi mínim.

Este método pot estendre's per a comprendre tots els grups abelianos finitos, ya que cada u d'ells apareix de fet com a cocient del grup de Galois d'alguna extensió ciclotòmica de $\mathbb{Q}$. (Esta afirmació no deu confondre's en el teorema de Kronecker-Weber, un resultat molt més profunt.)

Eixemple elaborat: el grup cíclico d'orde tres

Per a $n=3$, podem prendre $p=7$. En eixe cas $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\xi )/\mathbb{Q})$ és cíclico d'orde sis. Prengam el generador $\eta$ d'este grup que mana $\xi$ a ${\xi }^3$. Estem interessats en el subgrup $H=\{1,{\eta }^3\}$ d'orde dos. Considere's l'element $\alpha =\xi +{\eta }^3(\xi )$. Per construcció, $\alpha$ queda fix per $H$, i només té tres conjugats sobre $\mathbb{Q}$, donats per

$\alpha =\xi +{\xi }^6,\beta =\eta (\alpha )={\xi }^3+{\xi }^4,\gamma ={\eta }^2(\alpha )={\xi }^2+{\xi }^5$.

Usant l'identitat $1+\xi +{\xi }^2+\dots +{\xi }^6=0$, trobem que

$\alpha +\beta +\gamma =-1$,

$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-2$, i

$\alpha \beta \gamma =1$.

Per lo tant $\alpha$ és una raïl del polinomi

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=x^3+x^2-2x-1$,

que en conseqüència té grup de Galois $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ sobre $\mathbb{Q}$.