Tensors en coordenades curvilíneas

Les coordenades curvilíneas es poden formular per mig del càlcul tensorial, en aplicacions importants en física i ingenieria, particularment per a descriure el transport de cantitats físiques i la deformació de la matèria en mecànica de decorreguts i mecànica de mijos continus.

Àlgebra vectorial i tensorial en coordenades curvilíneas tridimensionals

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

l'àlgebra elemental de vectores i tensors en coordenades curvilíneas s'utilisa en part de la lliteratura científica més antiga sobre mecànica i física, i pot ser indispensable per a comprendre el treball de principis i mediats de el XX, com per eixemple el text de Green i Zerna.^[1] En esta secció es donen algunes relacions útils en l'àlgebra de vectores i tensors de segon orde en coordenades curvilíneas. La notació i el contingut són principalment de Ogden,^[2] Naghdi,^[3] Simmonds,^[4] Green i Zerna,^[1] Basar i Weichert,^[5] i Ciarlet.^[6]

Transformacions de coordenades

Consideren-se dos sistemes de coordenades en variables de coordenades $(Z^{1}, Z^{2}, Z^{3})$ i $(Z^{\overset{´}{1}}, Z^{\overset{´}{2}}, Z^{\overset{´}{3}})$ , que es representaran en breu com $Z^{i}$ i $Z^{\overset{´}{i}}$ respectivament, assumint sempre que l'índex $i$ va de l'1 al 3. Se supon que estos sistemes de coordenades estan integrats en el mateix espai euclídeo tridimensional. Les coordenades $Z^{i}$ i $Z^{\overset{´}{i}}$ es poden usar per a explicar-se entre sí, perque a mida que es produïx un desplaçament en la llínea de coordenades d'un sistema de coordenades, es pot usar l'atre per a descriure la nova posició. D'esta manera, les coordenades $Z^{i}$ i $Z^{\overset{´}{i}}$ estan relacionades entre sí per mig de funcions

Z^{i} = f^{i} (Z^{\overset{´}{1}}, Z^{\overset{´}{2}}, Z^{\overset{´}{3}})

per a

i = 1, 2, 3

lo que es pot escriure com

Z^{i} = Z^{i} (Z^{\overset{´}{1}}, Z^{\overset{´}{2}}, Z^{\overset{´}{3}}) = Z^{i} (Z^{\overset{´}{i}})

per a

\overset{´}{i}, i = 1, 2, 3

Estes tres equacions juntes també es denominen transformació de coordenades de $Z^{\overset{´}{i}}$ a $Z^{i}$ . Esta transformació es denota com $T$ . Per lo tant, es representarà la transformació del sistema de coordenades en variables de coordenades $Z^{\overset{´}{i}}$ al sistema de coordenades en coordenades $Z^{i}$ com:

Z = T (\overset{´}{z})

De manera similar, es pot representar $Z^{\overset{´}{i}}$ en funció de $Z^{i}$ de la següent manera:

Z^{\overset{´}{i}} = g^{\overset{´}{i}} (Z^{1}, Z^{2}, Z^{3})

per a

\overset{´}{i} = 1, 2, 3

De manera similar, es poden escriure les equacions lliures de manera més compacta com

Z^{\overset{´}{i}} = Z^{\overset{´}{i}} (Z^{1}, Z^{2}, Z^{3}) = Z^{\overset{´}{i}} (Z^{i})

per a

\overset{´}{i}, i = 1, 2, 3

Estes tres equacions juntes també es denominen transformació de coordenades de $Z^{i}$ a $Z^{\overset{´}{i}}$ . Ara, es denota esta transformació per $S$ , i es representarà la transformació del sistema de coordenades en variables de coordenades $Z^{i}$ al sistema de coordenades en coordenades $Z^{\overset{´}{i}}$ com:

\overset{´}{z} = S (z)

Si la transformació $T$ és biyectiva, llavors es denomina a l'image de la transformació, concretament $Z^{i}$ , un conjunt de coordenades admissibles' $Z^{\overset{´}{i}}$ . Si $T$ és llineal, el sistema de coordenades $Z^{i}$ es denominarà sistema de coordenades afí. De lo contrari, $Z^{i}$ es denominarà sistema de coordenades curvilíneo.

Jacobiano

Com ara es veu que les coordenades $Z^{i}$ i $Z^{\overset{´}{i}}$ estan relacionades entre sí per mig de funcions, es pot prendre la derivada de la variable de coordenades $Z^{i}$ sobre la variable de coordenades $Z^{\overset{´}{i}}$ i considerar que

\frac{\partial Z^{i}}{\partial Z^{\overset{´}{i}}} \overset{d e f}{=} J_{\overset{´}{i}}^{i}

per a

\overset{´}{i}, i = 1, 2, 3

. Estes derivades es poden organisar en una matriu, pose's per cas

J

, en la que

J_{\overset{´}{i}}^{i}

és l'element en la

i

-ésima fila i en la

\overset{´}{i}

-ésima columna

J = (\begin{matrix} J_{\overset{´}{1}}^{1} & J_{\overset{´}{2}}^{1} & J_{\overset{´}{3}}^{1} \\ J_{\overset{´}{1}}^{2} & J_{\overset{´}{2}}^{2} & J_{\overset{´}{3}}^{2} \\ J_{\overset{´}{1}}^{3} & J_{\overset{´}{2}}^{3} & J_{\overset{´}{3}}^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial Z^{1}}{\partial Z^{\overset{´}{1}}} & \frac{\partial Z^{1}}{\partial Z^{\overset{´}{2}}} & \frac{\partial Z^{1}}{\partial Z^{\overset{´}{3}}} \\ \frac{\partial Z^{2}}{\partial Z^{\overset{´}{1}}} & \frac{\partial Z^{2}}{\partial Z^{\overset{´}{2}}} & \frac{\partial Z^{2}}{\partial Z^{\overset{´}{3}}} \\ \frac{\partial Z^{3}}{\partial Z^{\overset{´}{1}}} & \frac{\partial Z^{3}}{\partial Z^{\overset{´}{2}}} & \frac{\partial Z^{3}}{\partial Z^{\overset{´}{3}}} \end{matrix})

La matriu resultant es diu matriu jacobiana.

Vectores en coordenades curvilíneas

Siga (b'₁, b₂, b₃) una base arbitrària per a l'espai euclídeo tridimensional. En general, els vectores de la base no són ni vectores unitaris ni mútuament ortogonals. No obstant, es requerix que siguen linealmente independents. Llavors, un vector v' es pot expressar com^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐯 = v^{k} 𝐛_{k}

Les components v^k són les components contravariantes del vector v.

La base recíproca (b¹, b², b³) està definida per la relació^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐛^{i} \cdot 𝐛_{j} = δ_{j}^{i}

a on δⁱ _j és la delta de Kronecker.

El vector v també es pot expressar en térmens de la base recíproca:

𝐯 = v_{k} 𝐛^{k}

Les components v_k són les components covariants del vector $𝐯$ .

Tensors de segon orde en coordenades curvilíneas

Un tensor de segon orde es pot expressar com

𝑺 = S^{i j} 𝐛_{i} \otimes 𝐛_{j} = S_{j}^{i} 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{j} = S_{i}^{j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛_{j} = S_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j}

Les components S^ij es denominen components contravariantes, les components Sⁱ _j són les components covariants a la dreta mixtes, les components S_i ^j són les components covariants a l'esquerra mixtes, i les components S_ij es denominen components covariants del tensor de segon orde.

Tensor mètric i relacions entre components

Les cantitats g_ij, g^ij es definixen com^[4]^{: Plantilla:R/where}

g_{i j} = 𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j} = g_{j i}; g^{i j} = 𝐛^{i} \cdot 𝐛^{j} = g^{j i}

De les equacions anteriors es té que

v^{i} = g^{i k} v_{k}; v_{i} = g_{i k} v^{k}; 𝐛^{i} = g^{i j} 𝐛_{j}; 𝐛_{i} = g_{i j} 𝐛^{j}

Les components d'un vector estan relacionades per^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐯 \cdot 𝐛^{i} = v^{k} 𝐛_{k} \cdot 𝐛^{i} = v^{k} δ_{k}^{i} = v^{i}

𝐯 \cdot 𝐛_{i} = v_{k} 𝐛^{k} \cdot 𝐛_{i} = v_{k} δ_{i}^{k} = v_{i}

I també

𝐯 \cdot 𝐛_{i} = v^{k} 𝐛_{k} \cdot 𝐛_{i} = g_{k i} v^{k}

𝐯 \cdot 𝐛^{i} = v_{k} 𝐛^{k} \cdot 𝐛^{i} = g^{k i} v_{k}

Les components del tensor de segon orde estan relacionades per

S^{i j} = g^{i k} S_{k}^{j} = g^{j k} S_{k}^{i} = g^{i k} g^{j l} S_{k l}

Tensor altern

En térmens ortonormals a la dreta, el tensor altern de tercer orde es definix com

ℰ = ε_{i j k} 𝐞^{i} \otimes 𝐞^{j} \otimes 𝐞^{k}

En una base curvilínea general, el mateix tensor es pot expressar com

ℰ = ℰ_{i j k} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} \otimes 𝐛^{k} = ℰ^{i j k} 𝐛_{i} \otimes 𝐛_{j} \otimes 𝐛_{k}

Es pot demostrar que

ℰ_{i j k} = [𝐛_{i}, 𝐛_{j}, 𝐛_{k}] = (𝐛_{i} \times 𝐛_{j}) \cdot 𝐛_{k}; ℰ^{i j k} = [𝐛^{i}, 𝐛^{j}, 𝐛^{k}]

Ara,

𝐛_{i} \times 𝐛_{j} = J ε_{i j p} 𝐛^{p} = \sqrt{g} ε_{i j p} 𝐛^{p}

I per això,

ℰ_{i j k} = J ε_{i j k} = \sqrt{g} ε_{i j k}

De manera similar, es pot demostrar que

ℰ^{i j k} = \frac{1}{J} ε^{i j k} = \frac{1}{\sqrt{g}} ε^{i j k}

Operacions vectorials

Aplicació identitat

L'aplicació d'identitat I, definida per $𝐈 \cdot 𝐯 = 𝐯$ , es pot mostrar com:^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐈 = g^{i j} 𝐛_{i} \otimes 𝐛_{j} = g_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} = 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{i} = 𝐛^{i} \otimes 𝐛_{i}

Producte escalar (punt)

El producte escalar de dos vectores en coordenades curvilíneas és^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐮 \cdot 𝐯 = u^{i} v_{i} = u_{i} v^{i} = g_{i j} u^{i} v^{j} = g^{i j} u_{i} v_{j}

Producte vectorial (creuat)

El producte vectorial de dos vectores ve dau per:^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝐮 \times 𝐯 = ε_{i j k} u_{j} v_{k} 𝐞_{i}

a on ε_ijk és símbol de Levi-Civita i 'i_i és un vector de base cartesiana. En coordenades curvilíneas, l'expressió equivalent és:

𝐮 \times 𝐯 = [(𝐛_{m} \times 𝐛_{n}) \cdot 𝐛_{s}] u^{m} v^{n} 𝐛^{s} = ℰ_{s m n} u^{m} v^{n} 𝐛^{s}

a on $ℰ_{i j k}$ és el tensor altern de tercer orde. El producte vectorial de dos vectores ve dau per:

𝐮 \times 𝐯 = ε_{i j k} {\hat{u}}_{j} {\hat{v}}_{k} 𝐞_{i}

a on ε_ijk és el símbol de Levi-Civita i $𝐞_{i}$ és un vector de base cartesiana. Per lo tant,

𝐞_{p} \times 𝐞_{q} = ε_{i p q} 𝐞_{i}

i

𝐛_{m} \times 𝐛_{n} = \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{m}} \times \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{n}} = \frac{\partial (x_{p} 𝐞_{p})}{\partial q^{m}} \times \frac{\partial (x_{q} 𝐞_{q})}{\partial q^{n}} = \frac{\partial x_{p}}{\partial q^{m}} \frac{\partial x_{q}}{\partial q^{n}} 𝐞_{p} \times 𝐞_{q} = ε_{i p q} \frac{\partial x_{p}}{\partial q^{m}} \frac{\partial x_{q}}{\partial q^{n}} 𝐞_{i} .

Per això,

(𝐛_{m} \times 𝐛_{n}) \cdot 𝐛_{s} = ε_{i p q} \frac{\partial x_{p}}{\partial q^{m}} \frac{\partial x_{q}}{\partial q^{n}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q^{s}}

Tornant al producte vectorial i usant les relacions:

{\hat{u}}_{j} = \frac{\partial x_{j}}{\partial q^{m}} u^{m}, {\hat{v}}_{k} = \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{n}} v^{n}, 𝐞_{i} = \frac{\partial x_{i}}{\partial q^{s}} 𝐛^{s},

s'obté

𝐮 \times 𝐯 = ε_{i j k} {\hat{u}}_{j} {\hat{v}}_{k} 𝐞_{i} = ε_{i j k} \frac{\partial x_{j}}{\partial q^{m}} \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{n}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q^{s}} u^{m} v^{n} 𝐛^{s} = [(𝐛_{m} \times 𝐛_{n}) \cdot 𝐛_{s}] u^{m} v^{n} 𝐛^{s} = ℰ_{s m n} u^{m} v^{n} 𝐛^{s}

Operacions tensoriales

Aplicació identitat

Es pot mostrar que l'aplicació identitat $𝖨$ definida per $𝖨 \cdot 𝐯 = 𝐯$ és^[4]^{: Plantilla:R/where}

𝖨 = g^{i j} 𝐛_{i} \otimes 𝐛_{j} = g_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} = 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{i} = 𝐛^{i} \otimes 𝐛_{i}

Acció d'un tensor de segon orde sobre un vector

L'acció de $𝐯 = 𝑺 𝐮$ es pot expressar en coordenades curvilíneas com

v^{i} 𝐛_{i} = S^{i j} u_{j} 𝐛_{i} = S_{j}^{i} u^{j} 𝐛_{i}; v_{i} 𝐛^{i} = S_{i j} u^{i} 𝐛^{i} = S_{i}^{j} u_{j} 𝐛^{i}

Producte intern de dos tensors de segon orde

El producte intern de dos tensors de segon orde $𝑼 = 𝑺 \cdot 𝑻$ es pot expressar en coordenades curvilíneas com

U_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} = S_{i k} T_{. j}^{k} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} = S_{i}^{. k} T_{k j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j}

Alternativament,

𝑼 = S^{i j} T_{. n}^{m} g_{j m} 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{n} = S_{. m}^{i} T_{. n}^{m} 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{n} = S^{i j} T_{j n} 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{n}

Determinant d'un tensor de segon orde

Si $𝑺$ és un tensor de segon orde, llavors el seu determinant està definit per la relació

[𝑺 𝐮, 𝑺 𝐯, 𝑺 𝐰] = \det 𝑺 [𝐮, 𝐯, 𝐰]

a on $𝐮, 𝐯, 𝐰$ són vectores arbitraris i

[𝐮, 𝐯, 𝐰] : = 𝐮 \cdot (𝐯 \times 𝐰) .

Relacions entre vectores de bases curvilínea i cartesiana

Sean (i'₁, i₂, i₃) els vectores d'una base cartesiana habituals per a l'espai euclídeo de referència, i siguen

𝐛_{i} = 𝑭 𝐞_{i}

a on F_i és un tensor de transformació de segon orde que assigna ii a b_i. Llavors,

𝐛_{i} \otimes 𝐞_{i} = (𝑭 𝐞_{i}) \otimes 𝐞_{i} = 𝑭 (𝐞_{i} \otimes 𝐞_{i}) = 𝑭 .

D'esta relació es pot demostrar que

𝐛^{i} = 𝑭^{- T} 𝐞^{i}; g^{i j} = [𝑭^{- 1} 𝑭^{- T}]_{i j}; g_{i j} = [g^{i j}]^{- 1} = [𝑭^{T} 𝑭]_{i j}

Siga $J : = \det 𝑭$ el jacobiano de la transformació. Llavors, a partir de la definició del determinant,

[𝐛_{1}, 𝐛_{2}, 𝐛_{3}] = \det 𝑭 [𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}] .

Ya que

[𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}] = 1

s'obté

J = \det 𝑭 = [𝐛_{1}, 𝐛_{2}, 𝐛_{3}] = 𝐛_{1} \cdot (𝐛_{2} \times 𝐛_{3})

Es poden derivar varis resultats interessants utilisant les relacions anteriors.

Primer, considere's

g : = \det [g_{i j}]

Llavors

g = \det [𝑭^{T}] \cdot \det [𝑭] = J \cdot J = J^{2}

De manera similar, es pot demostrar que

\det [g^{i j}] = \frac{1}{J^{2}}

Per lo tant, utilisant el fet de que $[g^{i j}] = [g_{i j}]^{- 1}$ ,

\frac{\partial g}{\partial g_{i j}} = 2 J \frac{\partial J}{\partial g_{i j}} = g g^{i j}

Una atra relació interessant es deriva a continuació. Recordant que

𝐛^{i} \cdot 𝐛_{j} = δ_{j}^{i} \Rightarrow 𝐛^{1} \cdot 𝐛_{1} = 1, 𝐛^{1} \cdot 𝐛_{2} = 𝐛^{1} \cdot 𝐛_{3} = 0 \Rightarrow 𝐛^{1} = A (𝐛_{2} \times 𝐛_{3})

a on A és una constant, encara indeterminada. Llavors

𝐛^{1} \cdot 𝐛_{1} = A 𝐛_{1} \cdot (𝐛_{2} \times 𝐛_{3}) = A J = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{J}

Esta observació conduïx a les relacions

𝐛^{1} = \frac{1}{J} (𝐛_{2} \times 𝐛_{3}); 𝐛^{2} = \frac{1}{J} (𝐛_{3} \times 𝐛_{1}); 𝐛^{3} = \frac{1}{J} (𝐛_{1} \times 𝐛_{2})

En notació indexada,

ε_{i j k} 𝐛^{k} = \frac{1}{J} (𝐛_{i} \times 𝐛_{j}) = \frac{1}{\sqrt{g}} (𝐛_{i} \times 𝐛_{j})

a on $ε_{i j k}$ és el símbol de Levi-Civita habitual.

No s'ha identificat una expressió explícita per al tensor de transformació F perque és més útil una forma alternativa d'aplicació entre bases curvilíneas i cartesianas. Suponent un grau suficient de suavitat en l'aplicació (i en una miqueta d'abús de notació), es té que

𝐛_{i} = \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} = \frac{\partial 𝐱}{\partial x_{j}} \frac{\partial x_{j}}{\partial q^{i}} = 𝐞_{j} \frac{\partial x_{j}}{\partial q^{i}}

Similarmente,

𝐞_{i} = 𝐛_{j} \frac{\partial q^{j}}{\partial x_{i}}

D'estos resultats es té que

𝐞^{k} \cdot 𝐛_{i} = \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{i}} \Rightarrow \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{i}} 𝐛^{i} = 𝐞^{k} \cdot (𝐛_{i} \otimes 𝐛^{i}) = 𝐞^{k}

i

𝐛^{k} = \frac{\partial q^{k}}{\partial x_{i}} 𝐞^{i}

Càlcul vectorial i tensorial en coordenades curvilíneas tridimensionals

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

Simmonds,^[4] en el seu llibre sobre camps tensoriales, cita a Albert Einstein dient:^[7]

La màgia d'esta teoria difícilment deixarà d'impondre's a qualsevol que l'haja comprés verdaderament; representa un triumfo genuí del método del càlcul diferencial absolut, fundat per Gauss, Riemann, Ricci i Levi-Civita.

El càlcul vectorial i tensorial en coordenades curvilíneas generals s'utilisa en l'anàlisis tensorial en varietats curvilíneas de quatre dimensions en la relativitat general,^[8] en la mecànica de plaques curves,^[6] i per a examinar les propietats d'invarianza de les equacions de Maxwell, lo que ha segut d'interés en metamaterialés^[9]^[10] i en molts atres camps.

En esta secció es donen algunes relacions útils en el càlcul de vectores i tensors de segon orde en coordenades curvilíneas. La notació i el contingut són principalment de Ogden,^[2] Simmonds,^[4] Green i Zerna,^[1] Basar i Weichert,^[5] i Ciarlet.^[6]

Definicions bàsiques

Siga la posició d'un punt en l'espai caracterisada per tres variables de coordenades $(q^{1}, q^{2}, q^{3})$ .

El sistema de coordenades q¹ representa una curva en la que q², q³ són constants. Siga x la posició del punt relatiu a algun orige. Llavors, suponent que dita aplicació i la seua inversa existixen i són contínues, es pot escriure^[2]^{: Plantilla:R/where}

𝐱 = 𝝋 (q^{1}, q^{2}, q^{3}); q^{i} = ψ^{i} (𝐱) = [𝝋^{- 1} (𝐱)]^{i}

Els camps ψⁱ(x) es denominen funcions de coordenades curvilíneas del sistema de coordenades curvilíneas ψ(x) = φ⁻¹(x).

Les curves de coordenades qⁱ estan definides per la família de funcions d'un paràmetro donada per

𝐱_{i} (α) = 𝝋 (α, q^{j}, q^{k}), i \neq j \neq k

en q^j, q^k arreglat.

Vector tangente per a coordenades curvilíneas

El vector tangente' a la curva xi en el punt xi(α) (o a la curva de coordenades q_i en el punt 'x) és

\frac{d 𝐱_{i}}{d α} \equiv \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}}

Gradient

Camp escalar

Siga f(x) un camp escalar en l'espai. Llavors

f (𝐱) = f [𝝋 (q^{1}, q^{2}, q^{3})] = f_{φ} (q^{1}, q^{2}, q^{3})

El gradient del camp f està definit per

[\nabla f (𝐱)] \cdot 𝐜 = \frac{d}{d α} f (𝐱 + α 𝐜) |_{α = 0}

a on c és un vector constant arbitrari. Si es definixen les components cⁱ de c, són tals que

q^{i} + α c^{i} = ψ^{i} (𝐱 + α 𝐜)

llavors

[\nabla f (𝐱)] \cdot 𝐜 = \frac{d}{d α} f_{φ} (q^{1} + α c^{1}, q^{2} + α c^{2}, q^{3} + α c^{3}) |_{α = 0} = \frac{\partial f_{φ}}{\partial q^{i}} c^{i} = \frac{\partial f}{\partial q^{i}} c^{i}

Si es configura $f (𝐱) = ψ^{i} (𝐱)$ , llavors des de $q^{i} = ψ^{i} (𝐱)$ , es té que

[\nabla ψ^{i} (𝐱)] \cdot 𝐜 = \frac{\partial ψ^{i}}{\partial q^{j}} c^{j} = c^{i}

que proporciona un mig per a extraure les components contravariantes d'un vector c.

Si b_i és la base covariant (o natural) en un punt, i si bⁱ és la base contravariante (o recíproca) en eixe punt, llavors

[\nabla f (𝐱)] \cdot 𝐜 = \frac{\partial f}{\partial q^{i}} c^{i} = (\frac{\partial f}{\partial q^{i}} 𝐛^{i}) (c^{i} 𝐛_{i}) \Rightarrow \nabla f (𝐱) = \frac{\partial f}{\partial q^{i}} 𝐛^{i}

En la següent secció s'oferix una breu justificació d'esta elecció de base.

Camp vectorial

Es pot utilisar un procés similar per a aplegar al gradient d'un camp vectorial f(x). El gradient està donat per

[\nabla 𝐟 (𝐱)] \cdot 𝐜 = \frac{\partial 𝐟}{\partial q^{i}} c^{i}

Si es considera el gradient del camp del vector de posició r(x) = x, llavors es pot demostrar que

𝐜 = \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} c^{i} = 𝐛_{i} (𝐱) c^{i}; 𝐛_{i} (𝐱) : = \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}}

El camp vectorial b_i és tangente a la curva de coordenades qⁱ i forma una base natural en cada punt de la curva. Esta base, com es va analisar al principi d'este artícul, també es denomina base curvilínea covariant. També es pot definir una base recíproca o una base curvilínea contravariante, bⁱ. Totes les relacions algebraiques entre els vectores de la base, com s'analisa en la secció sobre àlgebra tensorial, s'apliquen a la base natural i la seua recíproca en cada punt x.

Com a c és arbitrari, es pot escriure

\nabla 𝐟 (𝐱) = \frac{\partial 𝐟}{\partial q^{i}} \otimes 𝐛^{i}

Tinga's en conte que el vector de la base contravariante bⁱ és perpendicular a la superfície de la constant ψⁱ i està donat per

𝐛^{i} = \nabla ψ^{i}

Símbols de Christoffel de primera espècie

Els símbols de Christoffel de primera espècie es definixen com

𝐛_{i, j} = \frac{\partial 𝐛_{i}}{\partial q^{j}} : = Γ_{i j k} 𝐛^{k} \Rightarrow 𝐛_{i, j} \cdot 𝐛_{l} = Γ_{i j l}

Per a expressar Γ_ijk en térmens de g_ij, s'observa que

\begin{matrix} g_{i j, k} & = (𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j})_{, k} = 𝐛_{i, k} \cdot 𝐛_{j} + 𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j, k} = Γ_{i k j} + Γ_{j k i} \\ g_{i k, j} & = (𝐛_{i} \cdot 𝐛_{k})_{, j} = 𝐛_{i, j} \cdot 𝐛_{k} + 𝐛_{i} \cdot 𝐛_{k, j} = Γ_{i j k} + Γ_{k j i} \\ g_{j k, i} & = (𝐛_{j} \cdot 𝐛_{k})_{, i} = 𝐛_{j, i} \cdot 𝐛_{k} + 𝐛_{j} \cdot 𝐛_{k, i} = Γ_{j i k} + Γ_{k i j} \end{matrix}

Ya que b_i,j = b_j,i es té que Γ_ijk = Γ_jik. Usar-los per a reorganisar les relacions anteriors permet obtindre

Γ_{i j k} = \frac{1}{2} (g_{i k, j} + g_{j k, i} - g_{i j, k}) = \frac{1}{2} [(𝐛_{i} \cdot 𝐛_{k})_{, j} + (𝐛_{j} \cdot 𝐛_{k})_{, i} - (𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j})_{, k}]

Símbols de Christoffel de segona espècie

Els símbols de Christoffel de segona espècie es definixen com

Γ_{i j}^{k} = Γ_{j i}^{k}

en a on

\frac{\partial 𝐛_{i}}{\partial q^{j}} = Γ_{i j}^{k} 𝐛_{k}

Açò implica que

Γ_{i j}^{k} = \frac{\partial 𝐛_{i}}{\partial q^{j}} \cdot 𝐛^{k} = - 𝐛_{i} \cdot \frac{\partial 𝐛^{k}}{\partial q^{j}}

Atres relacions que se seguixen són

\frac{\partial 𝐛^{i}}{\partial q^{j}} = - Γ_{j k}^{i} 𝐛^{k}; \nabla 𝐛_{i} = Γ_{i j}^{k} 𝐛_{k} \otimes 𝐛^{j}; \nabla 𝐛^{i} = - Γ_{j k}^{i} 𝐛^{k} \otimes 𝐛^{j}

Una atra relació particularment útil, que mostra que el símbol de Christoffel depén solament del tensor mètric i de les seues derivades, és

Γ_{i j}^{k} = \frac{g^{k m}}{2} (\frac{\partial g_{m i}}{\partial q^{j}} + \frac{\partial g_{m j}}{\partial q^{i}} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial q^{m}})

Expressió explícita per al gradient d'un camp vectorial

Les següents expressions per al gradient d'un camp vectorial en coordenades curvilíneas són prou útils.

\begin{matrix} \nabla 𝐯 & = [\frac{\partial v^{i}}{\partial q^{k}} + Γ_{l k}^{i} v^{l}] 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{k} \\ = [\frac{\partial v_{i}}{\partial q^{k}} - Γ_{k i}^{l} v_{l}] 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{k} \end{matrix}

Representació d'un camp vectorial físic

El camp vectorial v es pot representar com

𝐯 = v_{i} 𝐛^{i} = {\hat{v}}_{i} {\hat{𝐛}}^{i}

a on $v_{i}$ són les components covariants del camp, ${\hat{v}}_{i}$ són les components físiques i (sense adició)

{\hat{𝐛}}^{i} = \frac{𝐛^{i}}{\sqrt{g^{i i}}}

són els vectores de la base contravariante normalisats.

Camp tensorial de segon orde

El gradient d'un camp tensorial de segon orde es pot expressar de manera similar com

\nabla 𝑺 = \frac{\partial 𝑺}{\partial q^{i}} \otimes 𝐛^{i}

Expressions explícites per al gradient

Si es considera l'expressió del tensor en térmens d'una base contravariante, llavors

\nabla 𝑺 = \frac{\partial}{\partial q^{k}} [S_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j}] \otimes 𝐛^{k} = [\frac{\partial S_{i j}}{\partial q^{k}} - Γ_{k i}^{l} S_{l j} - Γ_{k j}^{l} S_{i l}] 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} \otimes 𝐛^{k}

També es pot escriure

\begin{matrix} \nabla 𝑺 & = [\frac{\partial S^{i j}}{\partial q^{k}} + Γ_{k l}^{i} S^{l j} + Γ_{k l}^{j} S^{i l}] 𝐛_{i} \otimes 𝐛_{j} \otimes 𝐛^{k} \\ = [\frac{\partial S_{j}^{i}}{\partial q^{k}} + Γ_{k l}^{i} S_{j}^{l} - Γ_{k j}^{l} S_{l}^{i}] 𝐛_{i} \otimes 𝐛^{j} \otimes 𝐛^{k} \\ = [\frac{\partial S_{i}^{j}}{\partial q^{k}} - Γ_{i k}^{l} S_{l}^{j} + Γ_{k l}^{j} S_{i}^{l}] 𝐛^{i} \otimes 𝐛_{j} \otimes 𝐛^{k} \end{matrix}

Representació d'un camp tensorial físic de segon orde

Les components físiques d'un camp tensorial de segon orde es poden obtindre utilisant una base contravariante normalisada, és dir,

𝑺 = S_{i j} 𝐛^{i} \otimes 𝐛^{j} = {\hat{S}}_{i j} {\hat{𝐛}}^{i} \otimes {\hat{𝐛}}^{j}

a on els vectores de la base en guion superior s'han normalisat. Açò implica que (novament sense suma)

{\hat{S}}_{i j} = S_{i j} \sqrt{g^{i i} g^{j j}}

Divergència

Camp vectorial

La divergència d'un camp vectorial ( $𝐯$ ) es definix com

div 𝐯 = \nabla \cdot 𝐯 = tr (\nabla 𝐯)

En térmens de components sobre una base curvilínea

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{\partial v^{i}}{\partial q^{i}} + Γ_{ℓ i}^{i} v^{ℓ} = [\frac{\partial v_{i}}{\partial q^{j}} - Γ_{j i}^{ℓ} v_{ℓ}] g^{i j}

En freqüència s'utilisa una equació alternativa per a la divergència d'un camp vectorial. Per a deduir esta relació es deu recordar que

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{\partial v^{i}}{\partial q^{i}} + Γ_{ℓ i}^{i} v^{ℓ}

Ara,

Γ_{ℓ i}^{i} = Γ_{i ℓ}^{i} = \frac{g^{m i}}{2} [\frac{\partial g_{i m}}{\partial q^{ℓ}} + \frac{\partial g_{ℓ m}}{\partial q^{i}} - \frac{\partial g_{i l}}{\partial q^{m}}]

Observant que, per la simetria de $𝒈$ ,

g^{m i} \frac{\partial g_{ℓ m}}{\partial q^{i}} = g^{m i} \frac{\partial g_{i ℓ}}{\partial q^{m}}

es té que

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{\partial v^{i}}{\partial q^{i}} + \frac{g^{m i}}{2} \frac{\partial g_{i m}}{\partial q^{ℓ}} v^{ℓ}

Recorde's que si [g_ij] és la matriu els components de la qual són g_ij, llavors l'inversa de la matriu és $[g_{i j}]^{- 1} = [g^{i j}]$ . L'inversa de la matriu està donada per

[g^{i j}] = [g_{i j}]^{- 1} = \frac{A^{i j}}{g}; g : = \det ([g_{i j}]) = \det 𝒈

a on A^ij són els menors de les components g_ij. De l'àlgebra matricial, es té que

g = \det ([g_{i j}]) = \sum_{i} g_{i j} A^{i j} \Rightarrow \frac{\partial g}{\partial g_{i j}} = A^{i j}

Per això,

[g^{i j}] = \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial g_{i j}}

Introduint esta relació en l'expressió de la divergència s'obté

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{\partial v^{i}}{\partial q^{i}} + \frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial g_{m i}} \frac{\partial g_{i m}}{\partial q^{ℓ}} v^{ℓ} = \frac{\partial v^{i}}{\partial q^{i}} + \frac{1}{2 g} \frac{\partial g}{\partial q^{ℓ}} v^{ℓ}

Una chicoteta agrupació dels térmens conduïx a una forma més compacta

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} (v^{i} \sqrt{g})

Camp tensorial de segon orde

La divergència d'un camp tensorial de segon orde es definix usant

(\nabla \cdot 𝑺) \cdot 𝐚 = \nabla \cdot (𝑺 𝐚)

a on a és un vector constant arbitrari.^[11]

En coordenades curvilíneas,

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝑺 & = [\frac{\partial S_{i j}}{\partial q^{k}} - Γ_{k i}^{l} S_{l j} - Γ_{k j}^{l} S_{i l}] g^{i k} 𝐛^{j} \\ = [\frac{\partial S^{i j}}{\partial q^{i}} + Γ_{i l}^{i} S^{l j} + Γ_{i l}^{j} S^{i l}] 𝐛_{j} \\ = [\frac{\partial S_{j}^{i}}{\partial q^{i}} + Γ_{i l}^{i} S_{j}^{l} - Γ_{i j}^{l} S_{l}^{i}] 𝐛^{j} \\ = [\frac{\partial S_{i}^{j}}{\partial q^{k}} - Γ_{i k}^{l} S_{l}^{j} + Γ_{k l}^{j} S_{i}^{l}] g^{i k} 𝐛_{j} \end{matrix}

Laplaciano

Camp escalar

El laplaciano d'un camp escalar φ(x) es definix com

\nabla^{2} φ : = \nabla \cdot (\nabla φ)

Usar l'expressió alternativa per a la divergència d'un camp vectorial permet obtindre

\nabla^{2} φ = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} ([\nabla φ]^{i} \sqrt{g})

I ara

\nabla φ = \frac{\partial φ}{\partial q^{l}} 𝐛^{l} = g^{l i} \frac{\partial φ}{\partial q^{l}} 𝐛_{i} \Rightarrow [\nabla φ]^{i} = g^{l i} \frac{\partial φ}{\partial q^{l}}

Per lo tant,

\nabla^{2} φ = \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} (g^{l i} \frac{\partial φ}{\partial q^{l}} \sqrt{g})

Rotacional d'un camp vectorial

El rotacional d'un camp vectorial v' en coordenades curvilíneas covariants es pot escriure com

\nabla \times 𝐯 = ℰ^{r s t} v_{s | r} 𝐛_{t}

a on

v_{s | r} = v_{s, r} - Γ_{s r}^{i} v_{i}

Coordenades curvilíneas ortogonals

Suponga's, per als propòsits d'esta secció, que el sistema de coordenades curvilíneo és ortogonal, és dir,

𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j} = {\begin{matrix} g_{i i} & if i = j \\ 0 & if i \neq j, \end{matrix}

o equivalentemente,

𝐛^{i} \cdot 𝐛^{j} = {\begin{matrix} g^{i i} & if i = j \\ 0 & if i \neq j, \end{matrix}

a on $g^{i i} = g_{i i}^{- 1}$ . Com abans, $𝐛_{i}, 𝐛_{j}$ són els vectores de la base covariants i bi, b'j són els vectores de la base contravariantes. Ademés, fent que ('i¹, i², i³) siga una base cartesiana fixa i de referència. A continuació es proporciona una llista de coordenades curvilíneas ortogonals.

Tensor mètric en coordenades curvilíneas ortogonals

Artícul principal → Tensor mètric.

Siga r(x) la posició del punt x sobre l'orige del sistema de coordenades. La notació es pot simplificar observant que x = r(x). En cada punt es pot construir un chicotet element llineal dx. El quadrat de la llongitut de l'element llineal és el producte escalar dx • dx i es diu mètrica del espai. Recorde's que se supon que l'espai de referència és euclídeo quan es parla de coordenades curvilíneas. Ara, s'expressa el vector de posició en térmens de la base cartesiana fixa de fondo, és dir,

𝐱 = \sum_{i = 1}^{3} x_{i} 𝐞_{i}

Usant la regla de la cadena, es pot llavors expressar dx en térmens de coordenades curvilíneas ortogonals tridimensionals (q¹, q², q³) com

d 𝐱 = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} (\frac{\partial x_{i}}{\partial q^{j}} 𝐞_{i}) d q^{j}

Per lo tant, la mètrica ve donada per

d 𝐱 \cdot d 𝐱 = \sum_{i = 1}^{3} \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} \frac{\partial x_{i}}{\partial q^{j}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q^{k}} d q^{j} d q^{k}

La cantitat simètrica

g_{i j} (q^{i}, q^{j}) = \sum_{k = 1}^{3} \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{i}} \frac{\partial x_{k}}{\partial q^{j}} = 𝐛_{i} \cdot 𝐛_{j}

es diu tensor fonamental (o mètric) del espai euclídeo en coordenades curvilíneas.

Tinga's en conte també que

g_{i j} = \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} \cdot \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{j}} = (\sum_{k} h_{k i} 𝐞_{k}) \cdot (\sum_{m} h_{m j} 𝐞_{m}) = \sum_{k} h_{k i} h_{k j}

a on h_ij són els coeficients de Lamé.

Si es definixen els factors d'escala, h_i, usant

𝐛_{i} \cdot 𝐛_{i} = g_{i i} = \sum_{k} h_{k i}^{2} = : h_{i}^{2} \Rightarrow | \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} | = | 𝐛_{i} | = \sqrt{g_{i i}} = h_{i}

s'obté una relació entre el tensor fonamental i els coeficients de Lamé.

Eixemple: coordenades polars

Si es consideren les coordenades polars per a R², es deu tindre en conte que

(x, y) = (r \cos θ, r \sin θ)

(r, θ) són les coordenades curvilíneas, i el determinant jacobiano de la transformació (r,θ) → (r cos θ, r sense θ) és r .

Els vectores de la base ortogonal són b_r = (cos θ, sense θ), b_θ = (−r sense θ, r cos θ). Els vectores de base normalisats són i_r = (cos θ, sense θ), i_θ = (−sense θ, cos θ) i els factors d'escala són h_r = 1 i h_θ= r. El tensor fonamental és g₁₁ =1, g₂₂ =r², g₁₂ = g₂₁ = 0.

Integrals de llínea i superfície

Si es desija utilisar coordenades curvilíneas per als càlculs en vectores, és necessari realisar ajusts per a abordar les integrals de llínea, de superfície i de volum. Per a simplificar, es restringix novament la discussió a tres dimensions i coordenades curvilíneas ortogonals. No obstant, els mateixos arguments s'apliquen a problemes $n$ dimensionals, encara que hi ha alguns térmens adicionals en les expressions quan el sistema de coordenades no és ortogonal.

Integrals de llínea

Normalment, en el càlcul d'integrals llineals interessa determinar

\int_{C} f d s = \int_{a}^{b} f (𝐱 (t)) | \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | d t

a on x(t) parametriza C en coordenades cartesianas. En coordenades curvilíneas, el terme

| \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | = | \sum_{i = 1}^{3} \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} \frac{\partial q^{i}}{\partial t} |

per la regla de la cadena i la definició dels coeficients de Lamé,

\frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} = \sum_{k} h_{k i} 𝐞_{k}

i per lo tant

\begin{matrix} | \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | & = | \sum_{k} (\sum_{i} h_{k i} \frac{\partial q^{i}}{\partial t}) 𝐞_{k} | \\ = \sqrt{\sum_{i} \sum_{j} \sum_{k} h_{k i} h_{k j} \frac{\partial q^{i}}{\partial t} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}} = \sqrt{\sum_{i} \sum_{j} g_{i j} \frac{\partial q^{i}}{\partial t} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}} \end{matrix}

Ara, ya que $g_{i j} = 0$ quan $i \neq j$ , es té que

| \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | = \sqrt{\sum_{i} g_{i i} {(\frac{\partial q^{i}}{\partial t})}^{2}} = \sqrt{\sum_{i} h_{i}^{2} {(\frac{\partial q^{i}}{\partial t})}^{2}}

i es pot procedir normalment.

Integrals de superfície

Aixina mateix, si interessa determinar una integral de superfície, el càlcul rellevant, en la parametrización de la superfície en coordenades cartesianas és:

\int_{S} f d S = \iint_{T} f (𝐱 (s, t)) | \frac{\partial 𝐱}{\partial s} \times \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | d s d t

Novament, en coordenades curvilíneas, es té que

| \frac{\partial 𝐱}{\partial s} \times \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | = | (\sum_{i} \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} \frac{\partial q^{i}}{\partial s}) \times (\sum_{j} \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{j}} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}) |

i es fa us de la definició de coordenades curvilíneas novament per a obtindre

\frac{\partial 𝐱}{\partial q^{i}} \frac{\partial q^{i}}{\partial s} = \sum_{k} (\sum_{i = 1}^{3} h_{k i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s}) 𝐞_{k}; \frac{\partial 𝐱}{\partial q^{j}} \frac{\partial q^{j}}{\partial t} = \sum_{m} (\sum_{j = 1}^{3} h_{m j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}) 𝐞_{m}

Per lo tant,

\begin{matrix} | \frac{\partial 𝐱}{\partial s} \times \frac{\partial 𝐱}{\partial t} | & = | \sum_{k} \sum_{m} (\sum_{i = 1}^{3} h_{k i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s}) (\sum_{j = 1}^{3} h_{m j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}) 𝐞_{k} \times 𝐞_{m} | \\ = | \sum_{p} \sum_{k} \sum_{m} ℰ_{k m p} (\sum_{i = 1}^{3} h_{k i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s}) (\sum_{j = 1}^{3} h_{m j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t}) 𝐞_{p} | \end{matrix}

a on $ℰ$ és el símbol de Levi-Civita.

En forma de determinant, el producte vectorial en térmens de coordenades curvilíneas serà:

| \begin{matrix} 𝐞_{1} & 𝐞_{2} & 𝐞_{3} \\ \sum_{i} h_{1 i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s} & \sum_{i} h_{2 i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s} & \sum_{i} h_{3 i} \frac{\partial q^{i}}{\partial s} \\ \sum_{j} h_{1 j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t} & \sum_{j} h_{2 j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t} & \sum_{j} h_{3 j} \frac{\partial q^{j}}{\partial t} \end{matrix} |

Gradient, rotacional, divergència i laplaciano

En coordenades curvilíneas ortogonals en 3 dimensions, a on

𝐛^{i} = \sum_{k} g^{i k} 𝐛_{k}; g^{i i} = \frac{1}{g_{i i}} = \frac{1}{h_{i}^{2}}

es pot expressar el gradient d'un escalar o camp vectorial com

\nabla φ = \sum_{i} \frac{\partial φ}{\partial q^{i}} 𝐛^{i} = \sum_{i} \sum_{j} \frac{\partial φ}{\partial q^{i}} g^{i j} 𝐛_{j} = \sum_{i} \frac{1}{h_{i}^{2}} \frac{\partial f}{\partial q^{i}} 𝐛_{i}; \nabla 𝐯 = \sum_{i} \frac{1}{h_{i}^{2}} \frac{\partial 𝐯}{\partial q^{i}} \otimes 𝐛_{i}

Per a una base ortogonal

g = g_{11} g_{22} g_{33} = h_{1}^{2} h_{2}^{2} h_{3}^{2} \Rightarrow \sqrt{g} = h_{1} h_{2} h_{3}

La divergència d'un camp vectorial es pot escriure com

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} (h_{1} h_{2} h_{3} v^{i})

I també,

v^{i} = g^{i k} v_{k} \Rightarrow v^{1} = g^{11} v_{1} = \frac{v_{1}}{h_{1}^{2}}; v^{2} = g^{22} v_{2} = \frac{v_{2}}{h_{2}^{2}}; v^{3} = g^{33} v_{3} = \frac{v_{3}}{h_{3}^{2}}

Per lo tant,

\nabla \cdot 𝐯 = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \sum_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} (\frac{h_{1} h_{2} h_{3}}{h_{i}^{2}} v_{i})

Es pot obtindre una expressió per al laplaciano de manera similar observant que

g^{l i} \frac{\partial φ}{\partial q^{l}} = {g^{11} \frac{\partial φ}{\partial q^{1}}, g^{22} \frac{\partial φ}{\partial q^{2}}, g^{33} \frac{\partial φ}{\partial q^{3}}} = {\frac{1}{h_{1}^{2}} \frac{\partial φ}{\partial q^{1}}, \frac{1}{h_{2}^{2}} \frac{\partial φ}{\partial q^{2}}, \frac{1}{h_{3}^{2}} \frac{\partial φ}{\partial q^{3}}}

Llavors, es té que

\nabla^{2} φ = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \sum_{i} \frac{\partial}{\partial q^{i}} (\frac{h_{1} h_{2} h_{3}}{h_{i}^{2}} \frac{\partial φ}{\partial q^{i}})

Les expressions per al gradient, la divergència i el laplaciano es poden estendre directament a n dimensions.

El rotacional d'un camp vectorial ve dau per

\nabla \times 𝐯 = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \sum_{i = 1}^{n} 𝐞_{i} \sum_{j k} ε_{i j k} h_{i} \frac{\partial (h_{k} v_{k})}{\partial q^{j}}

a on ε_ijk és el símbol de Levi-Civita.

Eixemple: coordenades polars cilíndriques

Per a les coordenades cilíndriques es té que

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 𝐱 = 𝝋 (q^{1}, q^{2}, q^{3}) = 𝝋 (r, θ, z) = {r \cos θ, r \sin θ, z}

i

{ψ^{1} (𝐱), ψ^{2} (𝐱), ψ^{3} (𝐱)} = (q^{1}, q^{2}, q^{3}) \equiv (r, θ, z) = {\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}, \tan^{- 1} (x_{2} / x_{1}), x_{3}}

a on

0 < r < \infty, 0 < θ < 2 π, - \infty < z < \infty

Llavors, els vectores de les bases covariant i contravariante són

\begin{matrix} 𝐛_{1} & = 𝐞_{r} = 𝐛^{1} \\ 𝐛_{2} & = r 𝐞_{θ} = r^{2} 𝐛^{2} \\ 𝐛_{3} & = 𝐞_{z} = 𝐛^{3} \end{matrix}

a on $𝐞_{r}, 𝐞_{θ}, 𝐞_{z}$ són els vectores unitaris en les direccions $r, θ, z$ .

Tinga's en conte que les components del tensor mètric són tals que

g^{i j} = g_{i j} = 0 (i \neq j); \sqrt{g^{11}} = 1, \sqrt{g^{22}} = \frac{1}{r}, \sqrt{g^{33}} = 1

lo que demostra que la base és ortogonal.

Les components distintes de zero del símbol de Christoffel de segona espècie són

Γ_{12}^{2} = Γ_{21}^{2} = \frac{1}{r}; Γ_{22}^{1} = - r

Representació d'un camp vectorial físic

Els vectores de la base contravariante normalisats en coordenades polars cilíndriques són

{\hat{𝐛}}^{1} = 𝐞_{r}; {\hat{𝐛}}^{2} = 𝐞_{θ}; {\hat{𝐛}}^{3} = 𝐞_{z}

i les components físiques d'un vector v són

({\hat{v}}_{1}, {\hat{v}}_{2}, {\hat{v}}_{3}) = (v_{1}, v_{2} / r, v_{3}) = : (v_{r}, v_{θ}, v_{z})

Gradient d'un camp escalar

El gradient d'un camp escalar, f(x), en coordenades cilíndriques ara es pot calcular a partir de l'expressió general en coordenades curvilíneas, i té la forma

\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} 𝐞_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} 𝐞_{θ} + \frac{\partial f}{\partial z} 𝐞_{z}

Gradient d'un camp vectorial

De manera similar, es pot demostrar que el gradient d'un camp vectorial, v(x), en coordenades cilíndriques és

\begin{matrix} \nabla 𝐯 & = \frac{\partial v_{r}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{r}}{\partial θ} - v_{θ}) 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{r}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial v_{θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + v_{r}) 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial v_{z}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{z}}{\partial θ} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \end{matrix}

Divergència d'un camp vectorial

Usant l'equació per a la divergència d'un camp vectorial en coordenades curvilíneas, es pot demostrar que la divergència en coordenades cilíndriques és

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝐯 & = \frac{\partial v_{r}}{\partial r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + v_{r}) + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{matrix}

Laplaciano d'un camp escalar

El laplaciano es calcula més fàcilment tenint en conte que $\nabla^{2} f = \nabla \cdot \nabla f$ . En coordenades polars cilíndriques

𝐯 = \nabla f = [v_{r} v_{θ} v_{z}] = [\frac{\partial f}{\partial r} \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} \frac{\partial f}{\partial z}]

Per això,

\nabla \cdot 𝐯 = \nabla^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} (\frac{1}{r} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = \frac{1}{r} [\frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r})] + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Representació un camp tensorial físic de segon orde

Les components físiques d'un camp tensorial de segon orde són els que s'obtenen quan el tensor s'expressa en térmens d'una base contravariante normalisada. En coordenades polars cilíndriques estes components són:

\begin{matrix} {\hat{S}}_{11} & = S_{11} = : S_{r r}, & {\hat{S}}_{12} & = \frac{S_{12}}{r} = : S_{r θ}, & {\hat{S}}_{13} & = S_{13} = : S_{r z} \\ {\hat{S}}_{21} & = \frac{S_{21}}{r} = : S_{θ r}, & {\hat{S}}_{22} & = \frac{S_{22}}{r^{2}} = : S_{θ θ}, & {\hat{S}}_{23} & = \frac{S_{23}}{r} = : S_{θ z} \\ {\hat{S}}_{31} & = S_{31} = : S_{z r}, & {\hat{S}}_{32} & = \frac{S_{32}}{r} = : S_{z θ}, & {\hat{S}}_{33} & = S_{33} = : S_{z z} \end{matrix}

Gradient d'un camp tensorial de segon orde

Usant les definicions anteriors és possible demostrar que el gradient d'un camp tensorial de segon orde en coordenades polars cilíndriques es pot expressar com

\begin{matrix} \nabla 𝑺 & = \frac{\partial S_{r r}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r r}}{\partial θ} - (S_{θ r} + S_{r θ})] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{r r}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{r θ}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r θ}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{r θ}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{r z}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r z}}{\partial θ} - S_{θ z}] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{r z}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{θ r}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ r}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{θ r}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{θ θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ θ}}{\partial θ} + (S_{r θ} + S_{θ r})] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{θ θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{θ z}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ z}}{\partial θ} + S_{r z}] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{θ z}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{z r}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{z r}}{\partial θ} - S_{z θ}] 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{z r}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{z θ}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{z θ}}{\partial θ} + S_{z r}] 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{z θ}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{z z}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial S_{z z}}{\partial θ} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{z z}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \end{matrix}

Divergència d'un camp tensorial de segon orde

La divergència d'un camp tensorial de segon orde en coordenades polars cilíndriques es pot obtindre a partir de l'expressió del gradient recopilant els térmens a on el producte escalar dels dos vectores externs en els productes diàdics és distint de zero. Per lo tant,

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝑺 & = \frac{\partial S_{r r}}{\partial r} 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{r θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{r z}}{\partial r} 𝐞_{z} \\ + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r θ}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ θ}}{\partial θ} + (S_{r θ} + S_{θ r})] 𝐞_{θ} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ z}}{\partial θ} + S_{r z}] 𝐞_{z} \\ + \frac{\partial S_{z r}}{\partial z} 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{z θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{z z}}{\partial z} 𝐞_{z} \end{matrix}

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 (1968) Theoretical Elasticity, Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Ogden, R. W. (2000). Nonlinear elastic deformations, Dover.
↑ (1972) S. Flügge (ed.). Handbook of Physics (vol. VIa/2), pp. 425–640.
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 Simmonds, J. G. (1994). A brief on tensor analysis, Springer. ISBN 0-387-90639-8.
↑ ^5,0 ^5,1 (2000) Numerical continuum mechanics of solids: fonamental concepts and perspectives, Springer.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Ciarlet, P. G. (2000). Theory of Shells (vol. 1), Elsevier Science.
↑ Einstein, A. (1915). The Einstein Decade, p. 213.
↑ (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.. ISBN 0-7167-0344-0.
↑ “Anisotropic conductivities that cannot be detected by EIT” (2003). Physiological Measurement 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.
↑ “General relativity in electrical engineering” (2006). New Journal of Physics 8 (10). doi:10.1088/1367-2630/8/10/247. Bibcode: 2006NJPh....8..247L.
↑ «The divergence of a tensor field». Introduction to Elasticity/Tensors. Wikiversidad. Consultat el 2010-11-26.

Bibliografia

Spiegel, M. R. (1959). Vector Analysis, New York: Schaum's Outline Séries. ISBN 0-07-084378-3.
Arfken, George (1995). Mathematical Methods for Physicists, Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensores en coordenadas curvilíneas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Green-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 (1968) Theoretical Elasticity, Oxford University Press. ISBN 0-19-853486-8.

[Ogden00-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Ogden, R. W. (2000). Nonlinear elastic deformations, Dover.

[Naghdi-3] (1972) S. Flügge (ed.). Handbook of Physics (vol. VIa/2), pp. 425–640.

[Simmonds-4] 4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 Simmonds, J. G. (1994). A brief on tensor analysis, Springer. ISBN 0-387-90639-8.

[Basar-5] 5,0 ^5,1 (2000) Numerical continuum mechanics of solids: fonamental concepts and perspectives, Springer.

[Ciarlet-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 Ciarlet, P. G. (2000). Theory of Shells (vol. 1), Elsevier Science.

[Lanczos-7] Einstein, A. (1915). The Einstein Decade, p. 213.

[Misner-8] (1973) Gravitation, W. H. Freeman and Co.. ISBN 0-7167-0344-0.

[Greenleaf-9] “Anisotropic conductivities that cannot be detected by EIT” (2003). Physiological Measurement 24 (2): 413–419. doi:10.1088/0967-3334/24/2/353. PMID 12812426.

[Leonhardt-10] “General relativity in electrical engineering” (2006). New Journal of Physics 8 (10). doi:10.1088/1367-2630/8/10/247. Bibcode: 2006NJPh....8..247L.

[11] «The divergence of a tensor field». Introduction to Elasticity/Tensors. Wikiversidad. Consultat el 2010-11-26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Plantilla:R/where

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]