Derivada d'un tensor (mecànica de mijos continus)

Les derivades d'escalares, vectores i tensorés de segon orde sobre els tensors de segon orde són de considerable utilitat en mecànica de mijos continus. Estes derivades s'utilisen en les teories d'elasticitat no llineal i plasticidad, particularment en el disseny d'algoritmes de simulació.^[1]

La derivada direccional proporciona una forma sistemàtica de trobar estes derivades.^[2]

Derivades sobre vectores i tensors de segon orde

A continuació es donen les definicions de derivades direccionals per a diverses situacions. Se supon que les funcions són lo suficientment suaus com per a poder prendre derivades.

Derivades de funcions escalares de vectores

Siga f(v) una funció en valor real del vector v. Llavors, la derivada de f(v) sobre v (o en v) és el vector definit per mig del producte escalar en qualsevol vector o

\frac{\partial f}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = D f (𝐯) [𝐮] = {[\frac{d}{d α} f (𝐯 + α 𝐮)]}_{α = 0}

per a tots els vectores o. El producte escalar anterior produïx un escalar, i si o és un vector unitari, dona la derivada direccional de f en v, en la direcció o.

Propietats:

Si $f (𝐯) = f_{1} (𝐯) + f_{2} (𝐯)$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = (\frac{\partial f_{1}}{\partial 𝐯} + \frac{\partial f_{2}}{\partial 𝐯}) \cdot 𝐮$
Si $f (𝐯) = f_{1} (𝐯) f_{2} (𝐯)$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = (\frac{\partial f_{1}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮) f_{2} (𝐯) + f_{1} (𝐯) (\frac{\partial f_{2}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮)$
Si $f (𝐯) = f_{1} (f_{2} (𝐯))$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = \frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮$

Derivades de funcions vectorials de vectores

Siga f(v) una funció en valor vectorial del vector v. Llavors la derivada de f(v) sobre v (o en v) és el tensor de segon orde definit a través del seu producte escalar en qualsevol vector o

\frac{\partial 𝐟}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = D 𝐟 (𝐯) [𝐮] = {[\frac{d}{d α} 𝐟 (𝐯 + α 𝐮)]}_{α = 0}

per a tots els vectores o. El producte escalar anterior produïx un vector, i si o és un vector unitari, dona la derivada direccional de f en v, en la direcció o.

Propietats:

Si $𝐟 (𝐯) = 𝐟_{1} (𝐯) + 𝐟_{2} (𝐯)$ llavors $\frac{\partial 𝐟}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = (\frac{\partial 𝐟_{1}}{\partial 𝐯} + \frac{\partial 𝐟_{2}}{\partial 𝐯}) \cdot 𝐮$
Si $𝐟 (𝐯) = 𝐟_{1} (𝐯) \times 𝐟_{2} (𝐯)$ llavors $\frac{\partial 𝐟}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = (\frac{\partial 𝐟_{1}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮) \times 𝐟_{2} (𝐯) + 𝐟_{1} (𝐯) \times (\frac{\partial 𝐟_{2}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮)$
Si $𝐟 (𝐯) = 𝐟_{1} (𝐟_{2} (𝐯))$ llavors $\frac{\partial 𝐟}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮 = \frac{\partial 𝐟_{1}}{\partial 𝐟_{2}} \cdot (\frac{\partial 𝐟_{2}}{\partial 𝐯} \cdot 𝐮)$

Derivades de funcions escalares de tensors de segon orde

Siga $f (𝑺)$ una funció en valor real del tensor de segon orde $𝑺$ . Llavors, la derivada de $f (𝑺)$ sobre $𝑺$ (o en $𝑺$ ) en la direcció $𝑻$ és el tensor de segon orde definit com

\frac{\partial f}{\partial 𝑺} : 𝑻 = D f (𝑺) [𝑻] = {[\frac{d}{d α} f (𝑺 + α 𝑻)]}_{α = 0}

per a tots els tensors de segon orde $𝑻$ .

Propietats:

Si $f (𝑺) = f_{1} (𝑺) + f_{2} (𝑺)$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝑺} : 𝑻 = (\frac{\partial f_{1}}{\partial 𝑺} + \frac{\partial f_{2}}{\partial 𝑺}) : 𝑻$
Si $f (𝑺) = f_{1} (𝑺) f_{2} (𝑺)$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝑺} : 𝑻 = (\frac{\partial f_{1}}{\partial 𝑺} : 𝑻) f_{2} (𝑺) + f_{1} (𝑺) (\frac{\partial f_{2}}{\partial 𝑺} : 𝑻)$
Si $f (𝑺) = f_{1} (f_{2} (𝑺))$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝑺} : 𝑻 = \frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}} (\frac{\partial f_{2}}{\partial 𝑺} : 𝑻)$

Derivades de funcions tensoriales de tensors de segon orde

Siga $𝑭 (𝑺)$ una funció tensorial de segon orde del tensor de segon orde $𝑺$ . Llavors la derivada de $𝑭 (𝑺)$ sobre $𝑺$ (o en $𝑺$ ) en la direcció $𝑻$ és el tensor de quart orde definit com

\frac{\partial 𝑭}{\partial 𝑺} : 𝑻 = D 𝑭 (𝑺) [𝑻] = {[\frac{d}{d α} 𝑭 (𝑺 + α 𝑻)]}_{α = 0}

per a tots els tensors de segon orde $𝑻$ .

Propietats:

Si $𝑭 (𝑺) = 𝑭_{1} (𝑺) + 𝑭_{2} (𝑺)$ llavors $\frac{\partial 𝑭}{\partial 𝑺} : 𝑻 = (\frac{\partial 𝑭_{1}}{\partial 𝑺} + \frac{\partial 𝑭_{2}}{\partial 𝑺}) : 𝑻$
Si $𝑭 (𝑺) = 𝑭_{1} (𝑺) \cdot 𝑭_{2} (𝑺)$ llavors $\frac{\partial 𝑭}{\partial 𝑺} : 𝑻 = (\frac{\partial 𝑭_{1}}{\partial 𝑺} : 𝑻) \cdot 𝑭_{2} (𝑺) + 𝑭_{1} (𝑺) \cdot (\frac{\partial 𝑭_{2}}{\partial 𝑺} : 𝑻)$
Si $𝑭 (𝑺) = 𝑭_{1} (𝑭_{2} (𝑺))$ llavors $\frac{\partial 𝑭}{\partial 𝑺} : 𝑻 = \frac{\partial 𝑭_{1}}{\partial 𝑭_{2}} : (\frac{\partial 𝑭_{2}}{\partial 𝑺} : 𝑻)$
Si $f (𝑺) = f_{1} (𝑭_{2} (𝑺))$ llavors $\frac{\partial f}{\partial 𝑺} : 𝑻 = \frac{\partial f_{1}}{\partial 𝑭_{2}} : (\frac{\partial 𝑭_{2}}{\partial 𝑺} : 𝑻)$

Gradient d'un camp tensorial

El gradient, $\nabla 𝑻$ , d'un camp tensorial $𝑻 (𝐱)$ en la direcció d'un vector constant arbitrari c es definix com:

\nabla 𝑻 \cdot 𝐜 = \lim_{α \to 0} \frac{d}{d α} 𝑻 (𝐱 + α 𝐜)

El gradient d'un camp tensorial d'orde n és un camp tensorial d'orde n+1.

Coordenades cartesianas

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

Si $𝐞_{1}, 𝐞_{2}, 𝐞_{3}$ són els vectores base en un sistema de coordenades cartesianas, en les coordenades dels punts indicades per ( $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ), llavors el gradient del camp tensorial $𝑻$ ve dau per

\nabla 𝑻 = \frac{\partial 𝑻}{\partial x_{i}} \otimes 𝐞_{i}

Ya que els vectores de la base no varien en un sistema de coordenades cartesiano, tenim les següents relacions per als gradient d'un camp escalar $ϕ$ , un camp vectorial v' i un camp tensorial de segon orde $𝑺$ .

\begin{matrix} \nabla ϕ & = \frac{\partial ϕ}{\partial x_{i}} 𝐞_{i} = ϕ_{, i} 𝐞_{i} \\ \nabla 𝐯 & = \frac{\partial (v_{j} 𝐞_{j})}{\partial x_{i}} \otimes 𝐞_{i} = \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}} 𝐞_{j} \otimes 𝐞_{i} = v_{j, i} 𝐞_{j} \otimes 𝐞_{i} \\ \nabla 𝑺 & = \frac{\partial (S_{j k} 𝐞_{j} \otimes 𝐞_{k})}{\partial x_{i}} \otimes 𝐞_{i} = \frac{\partial S_{j k}}{\partial x_{i}} 𝐞_{j} \otimes 𝐞_{k} \otimes 𝐞_{i} = S_{j k, i} 𝐞_{j} \otimes 𝐞_{k} \otimes 𝐞_{i} \end{matrix}

Coordenades curvilíneas

Artícul principal → Tensors en coordenades curvilíneas.

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

Si $𝐠^{1}, 𝐠^{2}, 𝐠^{3}$ són els vectores d'una base contravariante en un sistema de coordenades curvilíneas, en les coordenades dels punts indicades per ( $ξ^{1}, ξ^{2}, ξ^{3}$ ), llavors el gradient del camp tensorial $𝑻$ ve dau per (consulte^[3] per a obtindre una demostració).

\nabla 𝑻 = \frac{\partial 𝑻}{\partial ξ^{i}} \otimes 𝐠^{i}

D'esta definició s'obtenen les següents relacions per als gradient d'un camp escalar $ϕ$ , un camp vectorial v i un camp tensorial de segon orde $𝑺$ .

\begin{matrix} \nabla ϕ & = \frac{\partial ϕ}{\partial ξ^{i}} 𝐠^{i} \\ \nabla 𝐯 & = \frac{\partial (v^{j} 𝐠_{j})}{\partial ξ^{i}} \otimes 𝐠^{i} = (\frac{\partial v^{j}}{\partial ξ^{i}} + v^{k} Γ_{i k}^{j}) 𝐠_{j} \otimes 𝐠^{i} = (\frac{\partial v_{j}}{\partial ξ^{i}} - v_{k} Γ_{i j}^{k}) 𝐠^{j} \otimes 𝐠^{i} \\ \nabla 𝑺 & = \frac{\partial (S_{j k} 𝐠^{j} \otimes 𝐠^{k})}{\partial ξ^{i}} \otimes 𝐠^{i} = (\frac{\partial S_{j k}}{\partial ξ_{i}} - S_{l k} Γ_{i j}^{l} - S_{j l} Γ_{i k}^{l}) 𝐠^{j} \otimes 𝐠^{k} \otimes 𝐠^{i} \end{matrix}

a on els símbols de Christoffel $Γ_{i j}^{k}$ es definixen usant

Γ_{i j}^{k} 𝐠_{k} = \frac{\partial 𝐠_{i}}{\partial ξ^{j}} ⟹ Γ_{i j}^{k} = \frac{\partial 𝐠_{i}}{\partial ξ^{j}} \cdot 𝐠^{k} = - 𝐠_{i} \cdot \frac{\partial 𝐠^{k}}{\partial ξ^{j}}

Coordenades polars cilíndriques

En coordenades cilíndriques, el gradient ve dau per

\begin{matrix} \nabla ϕ = & \frac{\partial ϕ}{\partial r} 𝐞_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial ϕ}{\partial θ} 𝐞_{θ} + \frac{\partial ϕ}{\partial z} 𝐞_{z} \\ \nabla 𝐯 = & \frac{\partial v_{r}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{r}}{\partial θ} - v_{θ}) 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{r}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \\ + & \frac{\partial v_{θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + v_{r}) 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \\ + & \frac{\partial v_{z}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{z}}{\partial θ} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \\ \nabla 𝑺 = & \frac{\partial S_{r r}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{r r}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r r}}{\partial θ} - (S_{θ r} + S_{r θ})] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{r θ}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{r θ}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r θ}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{r z}}{\partial r} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{r z}}{\partial z} 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{r z}}{\partial θ} - S_{θ z}] 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{θ r}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{θ r}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ r}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{θ θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{θ θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ θ}}{\partial θ} + (S_{r θ} + S_{θ r})] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{θ z}}{\partial r} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{θ z}}{\partial z} 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ z}}{\partial θ} + S_{r z}] 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{z r}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{z r}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{z r}}{\partial θ} - S_{z θ}] 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{z θ}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{z θ}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{z θ}}{\partial θ} + S_{z r}] 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \otimes 𝐞_{θ} \\ + & \frac{\partial S_{z z}}{\partial r} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{z z}}{\partial z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} + \frac{1}{r} \frac{\partial S_{z z}}{\partial θ} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{θ} \end{matrix}

Divergència d'un camp tensorial

La divergència d'un camp tensorial $𝑻 (𝐱)$ es definix usant la relació recursiva

(\nabla \cdot 𝑻) \cdot 𝐜 = \nabla \cdot (𝐜 \cdot 𝑻^{𝖳}); \nabla \cdot 𝐯 = tr (\nabla 𝐯)

a on c és un vector constant arbitrari i v és un camp vectorial. Si $𝑻$ és un camp tensorial d'orde n > 1, llavors la divergència del camp és un tensor d'orde n- 1.

Coordenades cartesianas

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

En un sistema de coordenades cartesiano es tenen les següents relacions per a un camp vectorial v' i un camp tensorial de segon orde $𝑺$

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝐯 & = \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}} = v_{i, i} \\ \nabla \cdot 𝑺 & = \frac{\partial S_{i k}}{\partial x_{i}} 𝐞_{k} = S_{i k, i} 𝐞_{k} \end{matrix}

a on en la notació tensorial indexada para derivades parcials s'utilisa en les expressions situades més a la dreta. Tinga en conte que

\nabla \cdot 𝑺 \neq \nabla \cdot 𝑺^{𝖳} .

Per a un tensor simètric de segon orde, la divergència també sol escriure's com^[4]

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝑺 & = \frac{\partial S_{k i}}{\partial x_{i}} 𝐞_{k} = S_{k i, i} 𝐞_{k} \end{matrix}

L'expressió anterior s'utilisa a voltes com a definició de $\nabla \cdot 𝑺$ en forma de component cartesiano (a sovint també escrit com $div 𝑺$ ). Tinga's en conte que dita definició no és coherent en el restant d'este artícul (consulte's la secció sobre coordenades curvilíneas).

La diferència sorgix de si la diferenciació es realisa respecte de les files o columnes de $𝑺$ , i és convencional. Açò es demostra en un eixemple. En un sistema de coordenades cartesiano, el tensor (matriu) de segon orde $𝐒$ és el gradient d'una funció vectorial $𝐯$

\begin{matrix} \nabla \cdot (\nabla 𝐯) & = \nabla \cdot (v_{i, j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}) = v_{i, j i} 𝐞_{i} \cdot 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j} = {(\nabla \cdot 𝐯)}_{, j} 𝐞_{j} = \nabla (\nabla \cdot 𝐯) \\ \nabla \cdot [{(\nabla 𝐯)}^{𝖳}] & = \nabla \cdot (v_{j, i} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}) = v_{j, i i} 𝐞_{i} \cdot 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j} = \nabla^{2} v_{j} 𝐞_{j} = \nabla^{2} 𝐯 \end{matrix}

L'última equació és equivalent a la definició/interpretació alternativa^[4]

\begin{matrix} {(\nabla \cdot)}_{alt} (\nabla 𝐯) = {(\nabla \cdot)}_{alt} (v_{i, j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j}) = v_{i, j j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j} \cdot 𝐞_{j} = \nabla^{2} v_{i} 𝐞_{i} = \nabla^{2} 𝐯 \end{matrix}

Coordenades curvilíneas

Artícul principal → Tensors en coordenades curvilíneas.

Nota: A continuació s'utilisa el conveni de suma d'Einstein d'índexs repetits.

En coordenades curvilíneas, les divergències d'un camp vectorial v' i d'un camp tensorial de segon orde $𝑺$ són

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝐯 & = (\frac{\partial v^{i}}{\partial ξ^{i}} + v^{k} Γ_{i k}^{i}) \\ \nabla \cdot 𝑺 & = (\frac{\partial S_{i k}}{\partial ξ_{i}} - S_{l k} Γ_{i i}^{l} - S_{i l} Γ_{i k}^{l}) 𝐠^{k} \end{matrix}

Més generalment,

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝑺 & = [\frac{\partial S_{i j}}{\partial q^{k}} - Γ_{k i}^{l} S_{l j} - Γ_{k j}^{l} S_{i l}] g^{i k} 𝐛^{j} \\ = [\frac{\partial S^{i j}}{\partial q^{i}} + Γ_{i l}^{i} S^{l j} + Γ_{i l}^{j} S^{i l}] 𝐛_{j} \\ = [\frac{\partial S_{j}^{i}}{\partial q^{i}} + Γ_{i l}^{i} S_{j}^{l} - Γ_{i j}^{l} S_{l}^{i}] 𝐛^{j} \\ = [\frac{\partial S_{i}^{j}}{\partial q^{k}} - Γ_{i k}^{l} S_{l}^{j} + Γ_{k l}^{j} S_{i}^{l}] g^{i k} 𝐛_{j} \end{matrix}

Coordenades polars cilíndriques

En coordenades polars cilíndriques

\begin{matrix} \nabla \cdot 𝐯 = & \frac{\partial v_{r}}{\partial r} + \frac{1}{r} (\frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + v_{r}) + \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \\ \nabla \cdot 𝑺 = & \frac{\partial S_{r r}}{\partial r} 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{r θ}}{\partial r} 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{r z}}{\partial r} 𝐞_{z} \\ + & \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ r}}{\partial θ} + (S_{r r} - S_{θ θ})] 𝐞_{r} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ θ}}{\partial θ} + (S_{r θ} + S_{θ r})] 𝐞_{θ} + \frac{1}{r} [\frac{\partial S_{θ z}}{\partial θ} + S_{r z}] 𝐞_{z} \\ + & \frac{\partial S_{z r}}{\partial z} 𝐞_{r} + \frac{\partial S_{z θ}}{\partial z} 𝐞_{θ} + \frac{\partial S_{z z}}{\partial z} 𝐞_{z} \end{matrix}

Rotacional d'un camp tensorial

El rotacional d'un camp tensorial d'orde n > 1 $𝑻 (𝐱)$ també es definix usant la relació recursiva

(\nabla \times 𝑻) \cdot 𝐜 = \nabla \times (𝐜 \cdot 𝑻); (\nabla \times 𝐯) \cdot 𝐜 = \nabla \cdot (𝐯 \times 𝐜)

a on c és un vector constant arbitrari i v és un camp vectorial.

Rotacional d'un camp tensorial (vectorial) de primer orde

Considere's un camp vectorial v i un vector constant arbitrari c. En notació indexada, el producte creuat ve dau per

𝐯 \times 𝐜 = ε_{i j k} v_{j} c_{k} 𝐞_{i}

a on $ε_{i j k}$ és el símbol de permutació, també conegut com a símbol de Levi-Civita. Llavors,

\nabla \cdot (𝐯 \times 𝐜) = ε_{i j k} v_{j, i} c_{k} = (ε_{i j k} v_{j, i} 𝐞_{k}) \cdot 𝐜 = (\nabla \times 𝐯) \cdot 𝐜

Per lo tant,

\nabla \times 𝐯 = ε_{i j k} v_{j, i} 𝐞_{k}

Rotacional d'un camp tensorial de segon orde

Per a un tensor de segon orde $𝑺$

𝐜 \cdot 𝑺 = c_{m} S_{m j} 𝐞_{j}

Per tant, utilisant la definició de la curvatura d'un camp tensorial de primer orde,

\nabla \times (𝐜 \cdot 𝑺) = ε_{i j k} c_{m} S_{m j, i} 𝐞_{k} = (ε_{i j k} S_{m j, i} 𝐞_{k} \otimes 𝐞_{m}) \cdot 𝐜 = (\nabla \times 𝑺) \cdot 𝐜

Per lo tant, es té que

\nabla \times 𝑺 = ε_{i j k} S_{m j, i} 𝐞_{k} \otimes 𝐞_{m}

Identitats que involucren la curvatura d'un camp tensorial

L'identitat més comunament utilisada que involucra la curvatura d'un camp tensorial, $𝑻$ , és

\nabla \times (\nabla 𝑻) = 0

Esta identitat és vàlida para camps tensoriales de tots els órdens. Per al cas important d'un tensor de segon orde, $𝑺$ , esta identitat implica que

\nabla \times (\nabla 𝑺) = 0 ⟹ S_{m i, j} - S_{m j, i} = 0

Vore també

Referències

↑ J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, Computational Inelasticity, Springer
↑ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.
↑ R. W. Ogden, 2000, Nonlinear Elastic Deformations, Dover.
↑ ^4,0 ^4,1 Fundamentals of Structural Mechanics, Springer Science & Business Mija, p. 45. ISBN 9780387233307.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Derivada de un tensor (mecánica de medios continuos)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Simo98-1] J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, Computational Inelasticity, Springer

[Marsden00-2] J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover.

[3] R. W. Ogden, 2000, Nonlinear Elastic Deformations, Dover.

[Hjelmstad2004-4] 4,0 ^4,1 Fundamentals of Structural Mechanics, Springer Science & Business Mija, p. 45. ISBN 9780387233307.

[1]

[2]

[3]

[4]