Derivades objectives de la tensió

En mecànica del continu, les derivades objectives de tensió o taxes de canvi objectives per a la tensió són derivades temporals de la tensió mecànica que no depenen del sistema de referència.

Moltes equacions constitutives es dissenyen en forma d'una relació entre l'increment de tensió i una velocitat de deformació (o el tensor de taxa de deformació). Ademés en estes condicions, la resposta mecànica d'un material no deuria dependre del sistema de referència pel principi d'objectivitat material. En atres paraules, les equacions constitutives del material deurien ser independents del marc de referència (objectives). Si les tensions i les mides de deformació són cantitats materials (lagrangianas), llavors l'objectivitat se satisfà automàticament. No obstant, si les cantitats són espacials (eulerianas), l'objectivitat de la taxa de tensió no se satisfà automàticament, aun cuando la taxa de deformació siga objectiva.

Introducció

Erro al crear miniatura:

Fig. 1. Prediccions de tres taxes de tensió objectives baix tall

Existixen numeroses taxes de tensió objectives en mecànica de mijos continus, totes elles són formes especials de la derivada de Lie. Algunes de les taxes de tensió objectives més utilisades són:

• La taxa de Truesdell de la tensió de Cauchy,
• La taxa de Green–Naghdi de la tensió de Cauchy, i la taxa de Zaremba-Jaumann de la tensió de Cauchy.

La figura 1 es mostra el comportament de vàries taxes de tensió objectives en un esayo de cizalladura simple, a on el model de material és hipoelástico en mòduls elàstics constants. Es grafica el cocient entre la tensió tallant i el desplaçament com una funció del temps. S'utilisen els mateixos mòduls en les tres taxes de canvi objectives per a la tensió. Clarament, s'observen oscilacions espurias per a la taxa de tensió de Zaremba-Jaumann. Açò no es deu a que una taxa siga millor que una atra, sino a l'us incorrecte dels models de material aplicar les mateixes constants en diferents taxes objectives. Per esta raó, una tendència recent ha segut evitar les taxes de tensió objectives sempre que siga possible.^{cita requerida}

És relatividamente senzill comprovar que la derivada temporal de la tensió de Cauchy no és materialment objectiva:

baix rotacions de cos rígit (

$𝑸$

), el tensor de tensió de Cauchy

$𝝈$

es transforma com a

$${𝝈}_r=𝑸\cdot 𝝈\cdot {𝑸}^T;𝑸\cdot {𝑸}^T=1$$

Ya que $𝝈$ és una cantitat espacial i la transformació seguix les regles de les transformacions tensoriales, $𝝈$ és objectiva. No obstant,

$$\frac{d}{dt}({𝝈}_r)={\dot{𝝈}}_r=\dot{𝑸}\cdot 𝝈\cdot {𝑸}^T+𝑸\cdot \dot{𝝈}\cdot {𝑸}^T+𝑸\cdot 𝝈\cdot {\dot{𝑸}}^T\ne 𝑸\cdot \dot{𝝈}\cdot {𝑸}^T,.$$

Per lo tant, la taxa de tensió no és objectiva a menos que la taxa de rotació siga zero, és dir, $𝑸$ siga constant.

Erro al crear miniatura:

Figura 2. Element de material no deformat i deformat, i una gaveta elemental extreta de l'element deformat.

Per a una comprensió física de lo anterior, considerem la situació mostrada en la Figura 2. En la figura, els components del tensor de tensió de Cauchy (o tensió verdadera) es denoten en els símbols $S_{ij}$. Este tensor, que descriu les forces en un chicotet element material imaginat com extret del material en el seu estat deformat actual, no és objectiu en grans deformacions perque varia en les rotacions de cos rígit del material. Els punts materials deuen caracterisar-se per les seues coordenades lagrangianas inicials $X_i$. En conseqüència, és necessari introduir la cridada taxa de tensió objectiva $\stackrel{\circ }{S}ij$, o l'increment corresponent $\Delta Sij=\stackrel{\circ }{S}ij\Delta t$. L'objectivitat és necessària per a que $\stackrel{\circ }{S}ij$ estiga funcionalment relacionada en la deformació de l'element. Açò significa que ${\stackrel{\circ }{S}}_{ij}$ deu ser invariante baix transformacions de coordenades, particularment baix rotacions de cos rígit, i deu caracterisar l'estat del mateix element material mentres es deforma.

La taxa de tensió objectiva es pot derivar de dos maneres:

• Per mig de transformacions tensoriales de coordenades, que és el método estàndar en llibres de text d'elements finitos
• De manera variacional, a partir de la densitat d'energia de deformació del material expressada en térmens del tensor de deformació (que és objectiu per definició)

Si ben el primer método és instructivo i proporciona una visió geomètrica útil, el segon método és matemàticament més curt i té la ventaja adicional de garantisar automàticament la conservació de l'energia, és dir, assegurar que el treball de segon orde del tensor d'increment de tensió sobre el tensor d'increment de deformació siga correcte (requisit de conjugació del treball).

Taxa canvi de Truesdell per a la tensió de Cauchy

La relació matemàtica entre la tensió de Cauchy i el segon tensor de Piola-Kirchhoff és l'anomenada transformació de Piola que resulta ser l'aplicació regrediente (pull-back) associada al canvi de coordenades del tensor de tensions de Cauchy $𝝈$ o equivalentemente l'aplicació progrediente (push-forward) de $𝑺$, és dir:

$$𝑺=J{\varphi }^{*}[𝝈];𝝈=J^{-1}{\varphi }_{*}[𝑺]$$

En eixes condicions, la taxa de canvi de Truesdell per a la tensió de Cauchy es definix com la transformació de Piola de la derivada material respecte al temps del segon tensor de Piola-Kirchhoff:

$$\stackrel{\circ }{𝝈}=J^{-1}{\varphi }_{*}[\dot{𝑺}]$$

Expandint esta expressió es té que:

a on la tensió de Kirchhoff $𝝉=J𝝈$ i la derivaada de Lie de la tensió de Kirchhoff vénen donades per:

Esta última expressió es pot simplificar a l'expressió de la taxa de canvi Truesdell per a la tensió de Cauchy:

Taxa de canvi de Truesdell per a la tensió de Cauchy $$\stackrel{\circ }{𝝈}=\dot{𝝈}-𝒍\cdot 𝝈-𝝈\cdot {𝒍}^T+\text{tr}(𝒍)𝝈$$ where $𝒍$ is the velocity gradient: $𝒍=\dot{𝑭}\cdot {𝑭}^{-1}$.

Referències

Bibliografia

• J.E. Marsden, T.J. Hughes, Mathematical Foundations of Elasticity, Dover, ISBN 0-486-67865-2
• R.W. Ogden, Senar-linear Elastic Deformation, Dover, ISBN 0-486-69648-0
• G.A. Holzapfel, Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering, Wiley, 2000
• A.I. Lurie, Theory of Elasticity, Springer, 1999.
• L.B. Freund, Dynamic Fracture Mechanics, Cambridge University Press, 1990.
• J. Ignaczak, M. Ostoja-Starzewski, Thermoelasticity with Finite Wave Speeds, Oxford University Press, 2010.
• D. Bigoni, Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability, Cambridge University Press, 2012.
• Y. C. Fung, Pin Tong and Xiaohong Chen, Classical and Computational Solid Mechanics, 2nd Edition, World Scientific Publishing, 2017, ISBN 978-981-4713-64-1.